WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Pages:   || 2 | 3 |

«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ И СОЦИАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ Сборник статей VII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

СРЕДНЕВОЛЖСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ

И СОЦИАЛЬНЫХ ПРОБЛЕМ

Сборник статей VII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов Россия, г. Пенза, 2831 мая 2013 г.

ПЕНЗА 2013 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» (ПГУ) Средневолжское математическое общество Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем Сборник статей VII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов Россия, г. Пенза, 2831 мая 2013 г.

Под редакцией доктора физико-математических наук

, профессора И. В. Бойкова Mathematical and Computer Modelling of Natural Science and Social Problems (MCM2013) Proceedings of the Seventh International Conference MCM Penza, Russian Federation, 2831 May, Edited by Ilya V. Boikov Пенза Издательство ПГУ УДК ББК 22. М Математическое и компьютерное моделирование естестМ34 венно-научных и социальных проблем : сб. ст. VII Междунар.

науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов / под ред. И. В. Бойкова. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2013. – 306 с.

ISBN 978-5-94170-605- Отражены основные результаты работы VII Международной научнотехнической конференции, охватывающие следующие направления научных исследований: уравнения математической физики; теория приближения и кубатурные формулы; численные методы; математические модели экономики, экологии, демографии, социальных наук; математические модели в физике, нанотехнике и нанобиологии; нейроматематика и нейрокомпьютеры; информационные технологии в образовании.

ISBN 978-5-94170-605-1 © Пензенский государственный университет,

1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

ОБ ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ

В. В. Акашев, Т. Ф. Мамедова Мордовский государственный университет имени Н. П. Огарева, г. Саранск, Россия Многих реальные процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, поэтому одной из важнейших задач является задача изучения асимптотических свойств решений таких уравнений. При этом часто на практике, исходя из условий задачи, достаточно знать об асимптотических свойствах лишь отдельных компонент решений нелинейных дифференциальных уравнений. Основным методом исследования этого вопроса у Румянцева В. В., Озиранера А. С. [1] и Воротникова В. И. [2] является метод функций Ляпунова. Поэтому значительный интерес представляет как дальнейшее развитие этого метода в плане ослабления требований к функциям Ляпунова и указания конструктивных путей их построения, так и развитие других, альтернативных подходов к решению задач устойчивости по к части переменных. Одним из таких альтернативных подходов является метод сравнения, разработанный Е. В. Воскресенским [3].

По методу Е. В. Воскресенского для исследуемого уравнения строится так называемое уравнение сравнения. Предполагается, что поведение решения уравнения сравнения известно. Затем через эталонную функцию сравнения сравниваются решения этих двух уравнений. Удачный подбор уравнения сравнения и эталонной функции дает возможность для решения самых различных задач и, в частности, задачи исследования устойчивости решений по части переменных.

Рассмотрим уравнения:

где A() : [T, ] Hom( R n, R n ) непрерывное отображение, f C ( D ), Пусть множество N {1,2,..., n} и Ещё предположим, что f j (t, x1,..., xn ) j (t,| x j1 |,...,| x j1 |), j N, { j1,..., jq } M 0, f (t, x) colon( f1 (t, x1,..., xn ),..., f n (t, x1,..., xn )).

Фундаментальная матрица Y (t ) ( yij (t )), i, j 1, n, уравнения (1) будем считать нормирована в точке t0 [T0, ), T0 T и Y 1 (t ) ( y ij (t )).

Пусть непрерывные функции i (t ) :[T, ) R, mi (t):[T, ) R удовлетворяют неравенствам: i (t) max| yij (t)|, i M 0, Tc t0 t, если N0 ; i (t) 0, i M0, если N0 ; mi (t ) max{max | yij (t ), i (t ) |}, Выше определенные функции i (t ) называются эталонными функциями сравнения [1].

Будем считать i1 1, i2 2, iq q. Пусть при любом c 0 функции существуют при всех t t0 T0 T, B N \ M.

Рассмотрим множество Здесь c1, c2 фиксированные положительные числа. Предположим, что || || max{max sup(| i (t ) | / mi (t )), i 1, q; sup(| i (t ) | / pi (t )), i q 1, n}.

Тогда, определив обычным образом операции линейного пространства на множестве, получим линейное нормированное пространство.

Пусть c1 c, c2 фиксированные числа. Рассмотрим шар Допустим, выражение существует при любых i N, с R, 0 ; J i (t, ) o(i (t )) равномерно по 0 при t и всех i M 0. Кроме того, несобственные интегралы в (3) сходятся равномерно по t на любом компакте из [T, ) [37], тогда справедливы следующие результаты.



Теорема 1. Пусть для уравнений (1) и (2) выполняется условие (3).

Тогда при достаточно большом t0 для решения y(t : t0, y0 ), y0 R0, R0 {x : x Rn, x j 0 при j M 0}, существует решение x (t : t0, x0 ), x0 R такое, что выполняется асимптотическое равенство Теорема 2. Если решение уравнения где t0 T0 T, z0 R, t t0, то каждое решение уравнения (2) x (t : t0, x0 ) определено на множестве [T0, ).

Теорема 3. При условиях (3) и теоремы (2) для каждого решения уравнения (2) x (t : t0, x0 ), t0 T0, x0 R0, справедливо асимптотическое равенство Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы (2), теоремы (3) и условие (3). Тогда для каждого решения x (t : t0, x0 ), x0 R0, уравнения (2) существует решение y ( y : t0, y0 ), y0 R0, уравнения (1) такое, что справедливо асимптотическое равенство (4).

Результаты, полученные в теоремах 14, применим для решения задач об устойчивости дифференциальных уравнений. Уравнением сравнения здесь является уравнение (1), а исследуемым уравнением – (2), предполагаем, что уравнение (2) имеет решение x (t ) 0. Все результаты формулируются относительно него при M 0 N.

Теорема 5. Если выполняются условия теоремы 4, а условие (3) имеет место равномерно относительно 0 c c 0, Yi (t, c ) / i (t ) 0 при c 0 равномерно по t, i (t ) k, k 0, i M 0, T0 t, и уравнение (1) устойчиво по части переменных i, i M 0, то тривиальное решение уравнения (2) обладает тем же свойством.

Доказательство. Так как при || y (t0 ) |||| y0 || c( ), | yi (t : t0, y0 ) |, при c 0 равномерно по t. Отсюда следует доказательство теоремы.

1. Румянцев, В. В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В. В. Румянцев, А. С. Озиранер. – М. : Наука, 1987. – 253 с.

2. Воротников, В. И. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения / В. И. Воротников, В. В. Румянцев. – М. : Науч. мир, 2001. – 320 с.

3. Воскресенский, Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе / Е. В. Воскресенский. Саранск : Изд-во Сарат. ун-та (Саранск. филиал), 1990. – 224 с.

4. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. – М. : Мир, 1970. – 720 с.

5. Алексеев, В. М. Об одной оценке возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. М. Алексеев // Вестн. Моск. ун-та. Сер. мат., 1961. Т. 2. – C. 2836.

6. Воскресенский, Е. В. Метод сравнения в линейном анализе / Е. В. Воскресенский // Сибирский математический журнал. – 1991. № 5. – С. 311.

7. Мамедова, Т. Ф. Асимптотическая эквивалентность дифференциальных уравнений и устойчивость решений по части переменных / Т. Ф. Мамедова // Дифференциальные уравнения и их приложения : тр. I Междунар. науч. конф. Саранск, 1995. – С. 216227.

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

НЕОДНОРОДНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ

Введение. В [1] описана методика численного решения задачи на собственные значения для оператора Лапласа. Эти результаты основаны на идеях К. И. Бабенко [2]. Первую публикацию автора на эту тему см. в [3]. Программы опубликованы в [4]. Несмотря на эти публикации на западе регулярно появляются статьи о вычислении собственных чисел оператора Лапласа (свободные колебания мембраны). Настоящая работа посвящена анализу этих публикаций и сравнению с результатами автора.

1. Двумерное уравнение Лапласа в прямоугольнике.

Рассмотрим задачу на собственные значения:

или Дискретизация краевой задачи (1.1) описана в [1]. В результате получаем дискретную задачу в виде:

где m – число узлов дискретизации по x; n – число узлов дискретизации по y. D1 – матрица дискретного оператора : размера mm,;

D2 – матрица дискретного оператора : размера nn; u вектор длины N = m · n, содержащий приближённые значения собственной функции u = u(x,y) в узлах сетки; приближённое собственное значение; R диагональная матрица, содержащая на диагонали значения функции = (x,y) в узлах сетки. По х выбирается сетка:

сначала по х = x, 1, 2,..., m, затем по y = y, 1, 2,..., n ; знак кронекеровского произведения матриц; I m, I n единичные матрицы размера mm и nn соответственно. Матрицы D1 и D2 – строятся программой для решения одномерной задачи ШтурмаЛиувилля [1].

При 1, собственные значения краевой задачи (1.1) известны в аналитическом виде:

1.1. Сравнение с результатами работы [5].

Результаты расчётов в этой работе помещены в табл. 1, 2 (см. ниже).

The fundamental natural frequencies of a homogeneous (H) membrane and a non-homogeneous (NH) membrane with Ниже приведены результаты автора статьи на сетке 1010:

0.6: 0.49422143016E+01 0.67070214063E+ 0.2: 0.12548430015E+02 (1010) 0.12548430741E+02 (2020) 0. 2 (2020): 0.12548430741E+02 0.13837808305E+ 0.15125586361E+02 0.16598653501E+ Выводы: При L = 0,6 в работе определена не первая частота, а вторая. При L = 0,2 определена не первая частота, а четвёртая.

The fundamental natural frequencies of a homogeneous (H) membrane and non-homogeneous membrane from a numerically accurate solution (NHE), and of a non-homogeneous membrane from a perturbarion solution (NHP) Выводы: Результаты совпали.





1.2. Сравнение с результатами работы [6]. В этой работе рассматривается прямоугольная неоднородная мембрана с плотностью:

( x, y ) 1. Результаты представлены в табл. 1–4 (см. ниже).

Results for the first 10 frequencies for b/a = 1 and = 0.1 (second and third 1 4.335384404 4.335384227 3.610497303 3. 2 6.853837244 6.853836545 5.670792660 5. 3 6.856020159 6.856019330 5.755204660 5. 4 8.672635329 8.672633652 7.290804774 7. 5 9.690424142 9.690422167 7.942675413 7. 6 9.696016734 9.696013642 8.146392098 8. 7 11.05545104 11.05544646 9.299769374 9. 8 11.05628129 11.05627781 9.305141208 9. 9 12.63048727 12.63048290 1 0.24733083 1 0. 10 12.64211438 12.64210427 1 0.62452059 1 0. Результаты автора представлены ниже:

1 0.43316235076E+01 0.43316235075E+01 0.34823680195E+01 0.34823680194E+ 2 0.68391118091E+01 0.68391118088E+01 0.52840066039E+01 0.52840066041E+ 3 0.68604137912E+01 0.68604137914E+01 0.58464793181E+01 0.58464793183E+ 4 0.86813260550E+01 0.86813260549E+01 0.71798581721E+01 0.71798581719E+ 5 0.96497055817E+01 0.96497055820E+01 0.73318706341E+01 0.73318706341E+ 6 0.97035131843E+01 0.97035131840E+01 0.84065235181E+01 0.84065235180E+ 7 0.11066545922E+02 0.11066545922E+02 0.90738422147E+01 0.90738422147E+ 8 0.11073191181E+02 0.11073191182E+02 0.91384913045E+01 0.91384913049E+ 9 0.12544043693E+02 0.12544043693E+02 0.95982741446E+01 0.95982741444E+ 10 0.12652312543E+02 0.12652312542E+02 0.10959429219E+02 0.10959429219E+ Results for the fundamental frequency of a rectangular membrane with density Результаты автора представлены в таблице справа.

0.6 5.957896353 4. 0.4 8.252203964 6. 0.2 15.61334941 12. Results for the fundamental frequency of the rectangular membrane with density (x) = 1 + sin (x + 1/2) for = 0.1, using the LSF with N = 20 (second column).

Результаты автора представлены ниже.

b/a 1 4.265402726 4. 0.8 4.828066678 4. 0.6 5.862077020 5. 0.2 15.37382214 15.37381.2 0.15.815468733E+02 0.15815468733E+02 0.15815468733E+ First 11 frequencies of a square membrane with density (x) =1 + 0.1 sin (x + 1/2) using the LSF with N = 20 (second column). The third column are the results of Ref. [4].

Результаты автора представлены ниже (слева).

1 4.4109026259 4.4109026258 4. 2 6.9687980359 6.9687980359 6. 3 7.2100025509 7.2100025509 7. 4 9.1174239644 9.1174239644 9. 5 9.8430659105 9.8430659105 9. 6 1 0.094089976 1 0.094089976 1 0. 7 11.515840868 11.515840868 11. 8 11.616852253 11.616852253 11. 9 12.812854619 12.812854619 12. 10 13.114843313 13.114843313 13. 11 13.563312293 13.563312293 13. 1. Алгазин, С. Д. Численные алгоритмы классической математической физики / С. Д. Алгазин. – М. : Диалог-МИФИ, 2010. – 240 с.

2. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко ; под ред.

А. Д. Брюно. 2-е изд., испр. и доп. М. : Наука, 1986. 744 с. ; МоскваИжевск, РХД, 2002. 847 с.

3. Алгазин, С. Д. О численном решении задачи на собственные значения / С. Д. Алгазин, К. И. Бабенко, А. Л. Косоруков. М., 1975. 57 с. (Препр. ИПМ;

№ 108).

4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2012617739. Вычисление собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа (Lap123) / Алгазин С. Д. (RU); зарег. в Реестре программ для ЭВМ 27.08.2012. 18 с.

5. Masad, J. A. Free vibrations of a non-homogeneous rectangular membrane / J. A. Masad // Journal of Sound and Vibration. 1996. Vol. 195(4). P. 674–678.

6. Paulo Amore. A new method for studying the vibration. 2008. 3 February (Email address: paolo.amore@gmail.com).

МЕТОД R-ФУНКЦИЙ В ЧИСЛЕННОМ АНАЛИЗЕ

ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

Харьковский национальный университет радиоэлектроники, 1. Введение. Ухудшение экологической ситуации из-за обильных осадков и паводков делает актуальной проблему исследования фильтрационных течений – течений жидкости в пористом грунте. При математическом моделировании и численном анализе таких течений необходимо поставить и решить краевую задачу математической физики в области сложной геометрии. Построение решений такого класса задач требует развития принципиально новых методик.

Для решения задач математической физики, описывающих фильтрационные течения, используются различные точные и приближенные методы: разделения переменных, методы теории функций комплексного переменного, метод мажорантных областей, метод суммарных представлений, метод фиктивных областей, метод конечных элементов и др.

Классические результаты по этим методам отражены в монографиях [1–4, 5]. Каждый из перечисленных методов обладает рядом достоинств и недостатков. К основным недостаткам точных методов следует отнести ограниченный круг областей, к которым они могут быть применены, а основным недостатком приближенных методов является то, что при их реализации обычно от рассмотрения геометрически сложных участков границы области фильтрации переходят к более простым, например, составленным из отрезков прямых.

Наиболее точно и полно учесть геометрическую и аналитическую информацию, содержащуюся в краевой задаче, позволяет метод R-функций академика НАН Украины В. Л. Рвачева [6]. Для численного решения задач фильтрации метод R-функций был применен в [7, 8, 9, 10].

Целью настоящей работы является разработка на основе методов R-функций и Ритца новых средств математического моделирования и численного анализа фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями при наличии шпунтов. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: построить структуру решения смешанной краевой задачи теории фильтрации; разработать алгоритм аппроксимации неопределенной компоненты построенной структуры на основании метода Ритца; провести вычислительные эксперименты 2. Постановка задачи и математическая модель. Рассмотрим задачу движения несжимаемой жидкости под гидротехническим соружением (плотиной). На рис. 1 приведена схема фильтрации. Здесь D – область фильтрации; D0 – подводная часть плотины (флютбет); 0 – граница подземной части флютбета; 1, 2 – проницаемые участки границы; 3 – шпунт; 4 – водоупор.

Плоскую стационарную фильтрацию несжимаемой жидкости будем описывать в рамках линейного закона Дарси [5]. Функция тока ( x, y ), вводимая соотношениями где v ( v x, v y ) скорость фильтрации, удовлетворяется уравнению где коэффициент фильтрации.

Дополним уравнение (1) краевыми условиями.

На проницаемых участках границы 1 и 2 следует поставить однородное условие Неймана где n – внешняя к 1 2 нормаль. Физический смысл условия (2) заключается в постоянстве напора на 1 2. Граница флютбета со шпунтами 3 и водоупор 4 водонепроницаемы, поэтому нормальная составляющая скорости v на этих участках границы равна нулю, т.е. они являются линиями тока. Это приводит к следующим краевым условиям:

где величина Q задаёт общий расход жидкости.

Итак, для определения функции тока фильтрационного течения нужно в области D решить уравнение (1) при краевых условиях (2)–(4).

Будем считать, что все кривые в области фильтрации являются гладкими или кусочно-гладкими, а коэффициент фильтрации есть непрерывная в D функция, причем (1) – эллиптическое невырождающееся уравнение.

Основные трудности, возникающие при численном решении задачи (1)(4), вызваны неоднородностью грунта (коэффициент фильтрации зависит от координат), криволинейностью границ области фильтрации и наличием шпунта, который может быть не единственным.

3. Метод численного анализа. Для решения задачи (1)–(4) воспользуемся методами R-функций [7] и Ритца [2].

( k 0, 1, 2, 3, 4 ) – нормализованные уравнения соответствующих участков границ. Используя общий подход к построению структур решения смешанных краевых задач [7], показано, что краевым условиям (2)–(4) точно удовлетворяет пучок функций Итак, построена структура решения (5) краевой задачи (1)–(4).

В (5) положим 0 и для аппроксимации неопределенных компоненты воспользуемся методом Ритца [2] по схеме, описанной в [7].

Неопределённую компоненту представим в виде n ci i, где {i } – любая полная в пространстве L2 ( D) система функций (тригонометрические или степенные полиномы, сплайны и пр.). Тогда система функций {i }, где i 1i 1 2 D1(2) (1i ), является координатной.

Согласно методу Ритца для коэффициентов c1,..., cn получим систему линейных алгебраических уравнений:

где g D1(2), [i, j ] – энергетическое скалярное произведение, ( F, j ) – скалярное произведение в L2 ( D).

Сходимость последовательности приближенных решений задачи (1)–(4) n 1n 1 2 D1(2) (1n ) к точному решению (вообще говоря, обобщенному) следует из теорем о сходимости метода Ритца [11].

4. Результаты вычислительного эксперимента Вычислительный эксперимент был проведён для случая, когда флютбет имеет прямоугольное сечение. Для расчётов выбрана высота водопроницаемого слоя H 1. Рассмотрен случай заглубления флютбета h 0, 25 с постоянной шириной, равной 1, случаи различного расположения шпунта. Было принято, что границы 1 и 2 плоские.

Водоупор 4 также считался плоским. Во всех случаях коэффициент фильтрации принимался постоянным: 1, а расход жидкости Q 1.

1 случай. Заглубление флютбета h 0, 25, водоупор плоский, один шпунт длины 0,25. На рис. 2 приведена картина линий уровня 0, приближённого решения (для аппроксимации неопределенной компоненты использована 21 базисная функция).

2 случай. Заглубление флютбета h 0, 25, водоупор плоский, один шпунт длины 0,5. На рис. 3 приведена картина линий уровня 0, приближённого решения (для аппроксимации неопределенной компоненты использована 21 базисная функция).

3 случай. Заглубление флютбета h 0,25, водоупор плоский, два шпунта длины 0,25 и 0,5, расположенные симметрично. На рис. 4 приведена картина линий уровня 0,1 приближённого решения для N 5 (21 базисная функция).

Полученные приближенные решения сравнивались с решениями, полученными в [1] с помощью метода фиктивных областей. Результаты хорошо согласуются.

Анализ приближенного решения позволяет сделать следующие выводы.

1. Если увеличить длину одного или нескольких шпунтов, то все линии тока снизятся, расход уменьшится, выходная скорость уменьшится. Если стремиться уменьшить выходную скорость, то наиболее эффективным является удлинение крайнего правого шпунта.

2. Если увеличить длину одного шпунта, то давление на флютбет слева от этого шпунта увеличится, а справа – уменьшится; в частности, увеличение длины крайнего правого шпунта увеличит давление на флютбет всюду.

Эти выводы полностью согласуются с инженерной практикой и теоретическими результатами [5].

5. Заключение. В работе для численного решения задач фильтрации под гидротехническими сооружениями применены методы R-функций и Ритца. Предлагаемый метод численного анализа показал свою эффективность на модельных задачах и может быть использован для технических расчетов, что и определяет научную новизну и практическую значимость результатов.

1. Вабищевич, П. Н. Метод фиктивных областей в математической физике / П. Н. Вабищевич. – М. : Изд-во МГУ, 1991. – 156 с.

2. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. – М. : Лань, 2002. – 688 с.

3. Вопросы автоматизации решения задач фильтрации на ЭВМ / И. И. Ляшко, Н. В. Сергиенко, Г. Е. Мистецкий, В. В. Скопецкий. – Киев : Наук. думка, 1977. – 288 с.

4. Ляшко, Н. И. Численно-аналитическое решение краевых задач теории фильтрации / Н. И. Ляшко, Н. М. Великоиваненко. – Киев : Наук. думка, 1973. – 264 с.

5. Полубаринова-Кочина, П. Я. Теория движения грунтовых вод / П. Я. Полубаринова-Кочина. – М. : Наука, 1977. – 664 с.

6. Рвачев, В. Л. Теория R-функций и некоторые её приложения / В. Л. Рвачев. – Киев : Наук. думка, 1982. – 552 с.

7. Блишун, А. П. Математическое моделирование и численный анализ фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями с помощью метода R-функций / А. П. Блишун, М. В. Сидоров, И. Г. Яловега // Радиоэлектроника и информатика. – 2010. – № 2. – С. 40–46.

8. Блишун, А. П. Метод R-функций в задачах стационарной фильтрации со свободной границей / А. П. Блишун // Вісник Запорізького національного університету. – 2011. – № 2. – С. 29–37.

9. Семерич, Ю. С. Метод R-функций в задаче стационарной фильтрации / Ю. С. Семерич, М. В. Сидоров // Современные проблемы машиностроения : тез.

докл. конф. молодых ученых и специалистов (29 ноября – 1 декабря 2005 г.).

Харьков, 2005. – С. 30.

10. Сидоров, М. В. Математическое и компьютерное моделирование некоторых фильтрационных течений / М. В. Сидоров, А. В. Стороженко // Радиоэлектроника и информатика. – 2004. – № 4. – С. 58–61.

11. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. – М. : Наука, 1970. – 511 с.

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ПО ДВУМ ТЕСТОВЫМ СИГНАЛАМ

И. В. Бойков, Н. П. Кривулин, И. М. Мойко, Н. В. Мойко В работе предлагается метод востановления импульсных переходных функций динамических систем, описываемых интегральными уравнениями Вольтерра второго рода Метод основан на применении интегральных к системе, состоящей из двух уравнений, и полученной в результате подачи на вход динамической системы двух тестовых сигналов.

В работе используется интегральное преобразование В зависимости от ядра k (, t ) и значения пределов a, b это может быть преобразование Лапласа, Фурье, Меллина, Хартли и т.д.

Рассмотрим интегральное уравнение Утверждение: пусть функция g (t, ) удовлетворяет условию где q( ) некоторая заданная функция.

Тогда применяя интегральное преобразование (2) к уравнению (3) получим где X ( ), Y ( ) преобразование (2) функций x (t ) y (t ).

Действительно, применяя интегральное преобразование (2) к уравнению (3) и и используя условие (4), имеем Из этого выражения следует формулы справедливость (5). Отметим, что данное утверждений является обобщением теоремы Бореля [1], полученное для интегрального преобразования Лапласа.

Рассмотрим динамическую систему, описываемую уравнением (2), у которой x (t ) входной сигнал, f (t ) выходной сигнал и g (t, ) импульсная переходная функции, удовлетворяющая условию (4).

Требуется восстановить функцию g (t, ).

Пусть x1 (t ) и x2 (t ) два линейно-независимых входных сигнала.

Тогда Применяя интегральное преобразование (2) к системе интегральных уравнений (6) получим систему нелинейных алгебраических уравнений с неизвестными функциями G ( s ) и q( s ). Решая систему (7) относительно этих функций, находим G ( s ) и q(t ). Функция g (t, ) может быть найдена применением преобразования обратного преобразованию (2) или из решения интегрального уравнения Рассмотрим конкретный случай применения преобразования Меллина (применения преобразований Лапласа и Фурье рассмотрены в работе [2]).

Пусть функция f (t ) определена при t 0 и удовлетворяет условиям где 1, 2 вещественные числа 1 2.

Тогда преобразование Меллина определяется формулой Обратное преобразование Меллина определяется формулой Рассмотрим динамическую систему, описываемую интегральным уравнением Здесь x (t ) входной сигнал, f (t ) выходной сигнал. Требуется восстановить функцию g (t, ). Пусть функция g (t, ) удовлетворяет следующему условию: существуют аналитические в области 1 s 2.

функции q( s ) и u( s ) такие, что Пусть функции X ( s ), F ( s ) преобразования Меллина функций x (t ), f (t ). Тогда преобразование Меллина (8) для уравнения (9) в предположении выполнения (10) имеет вид В самом деле, найдем преобразование Меллина для функции f (t ) :

Тогда функция g (t, ) определяется формулой Вычисляя интеграл в правой части формулы (11) по квадратурным формулам [3], получаем приближенное значение импульсной переходной функции.

импульсная перходная функция восстанавливается по двум сигналам Действительно, обозначим преобразование Меллина функций x (t ) и f (t ) через X ( s ) и F ( s ), соответственно. Будем считать, что функции q( s ) и G ( s ) аналитические при 1 s 2.

Пусть x1 (t ) и x2 (t ) два линейно-независимых входных сигнала.

Тогда Изображение системы интегральных уравнений (12) приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений с неизвестными функциями G ( s ) и q( s ). Решая систему (13) относительно этих функций, находим G ( s ) и q(t ). Функция g (t, ) находится по формуле Для вычисления последнего интеграла можно использовать различные вычислительные методы. Наиболее удобным является использование квадратурных формул [3].

1. Эфрос, А. М. Операционное исчисление и контурные интегралы / А. М. Эфрос, А. М. Данилевский. Харьков : Государственное научно-техническое издательство Украины, 1937. 384 с.

2. Бойков, И. В. Определение временных характеристик линейных систем с распределенными параметрами / И. В. Бойков, Н. П. Кривулин // Метрология.

2012. № 8. С. 3–14.

3. Бахвалов, Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М. : Наука, 2009. 630 с.

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

МЕТОДАМИ ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В работе [1] рассматривается диэлектрическая среда с сегнетоэлектрическими эллипсоидальными включениями. На поверхности каждой гранулы имеется тонкий не обладающий сегнетоэлектрическими свойствами («мертвый») слой. Чтобы найти распределение электрического поля в каждой из трех рассматриваемых областей (1 сегнетоэлектрик с диэлектрической проницаемостью 1 = f, 2 «мертвый»

слой с диэлектрической проницаемостью 2, 3 диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 3 ) решается уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах.

Рис. 1. Структура сегнетоэлектрической гранулы В работе [2] была рассмотрена задача определения эффективной диэлектрической проницаемости сегнетоэлектрической поликристаллической пленки, содержащей гранулы сферической формы. В работах [1] и [2] дано решение поставленной задачи для гранул сферической и эллипсоидальной формы. Требуется построить эффективный алгоритм для исследования общего случая.

Ниже предлагается альтернативный подход к решению данной задачи, допускающий распространение на произвольную область.

Краевая задача для уравнения Лапласа Рассмотрим систему которая является канонической формой общей линейной эллиптической системы уравнений в двумерной области.

Вводя в рассмотрение комплексную функцию систему уравнений (1) можно записать в виде где Решения системы уравнений (1) подробно рассмотрены в [3].

Обобщенная задача РиманаГильберта Задача А. Пусть требуется отыскать в области G решение w = u iv уравнения удовлетворяющее краевому условию Задача (4)(5) называется обобщенной задачей РиманаГильберта или задачей А. При F 0, 0 будем иметь однородную задачу A.

В отношении данных задачи А примем следующие предположения, совокупность которых будем называть в дальнейшем условиями I.

Определения классов L p,2 ( E ), C,1,...,k даны в [3].

Решение задачи А мы будем искать в классе непрерывных в замкнутой области G функций.

Внутри области G, как это следует из теоремы 3.1 [3] искомое решение, если оно существует, принадлежит классу C, =.

В замкнутой же области решение может не принадлежать этому классу.

Характер непрерывности в замкнутой области, очевидно, зависит еще от характера гладкости границы области и функций,,, фигурирующих в краевом условии. При выполнении условий I решение задачи А можно искать в некотором классе C (G ), (по [3]).

Изучение задачи А всегда можно, также без ущерба для общности рассуждений, привести к случаю, когда F 0, т.е. можно ограничиться отысканием решения однородного уравнения удовлетворяющего краевому условию вида (5). Для этого достаточно решение задачи искать в виде суммы где w некоторое частное решение уравнения (4). Тогда для w0 мы будем иметь краевую задачу для однородного уравнения (6) с граничным условием Постановка задачи Возьмем в исходной задаче РиманаГильберта коэффициенты F и B равными нулю, тогда исходная задача примет вид:

Следовательно, исходя из формул, полученных в [3], решение такой задачи будет выражаться в виде:

И зная, что ( z ) произвольная аналитическая функция, аппроксимируем ее отрезком ряда Для полученной задачи за краевое условие примем граничное условие Дирихле. Подставляя w( z ) в граничное условие, приходим к уравнению:

В качестве рассматриваемой области возьмем круг произвольного радиуса. В итоге получим следующую задачу:

Алгоритм решения полученной задачи:

1. Из краевого условия, зная w( z ) на границе, определяем функцию ( z ) на границе из уравнений:

Для вычисления данных интегралов можно применить два подхода:

А. Перейти к полярным координатам, а затем применять квадратуры.

Б. Внутренний интеграл в декартовой системе координат вычисляем аналитически, а внешний по специальным квадратурным формулам.

3. Так как ( z ) аналитическая функция, определим ее значение в области G по формуле Коши:

4. Значения ( z ) внутри G находим из системы Таким образом можно найти значение искомой функции в произвольной точке.

Мы рассмотрели случай плоской задачи, теперь переходим к трехмерной области.

Кубатурные формулы вычисления интегралов типа Коши Пусть D односвязная область, ограниченная гладкой поверхностью S. Пусть F потенциальное в области D поле, удовлетворяющее уравнениям divF z = q z, rotF z = 0, z D. В пространстве R3 поле F z представлено формулой Помпей:

здесь n единичный вектор внешней нормали к поверхности S ; r и r радиус-векторы точек, причем конец радиус-вектора r лежит в области D ; r r расстояние между концами радиус-векторов r и r ; CD дополнение D до R3. В случае, если в области D рассматривается уравнение Лапласа, то, так как в D divF ( z ) = 0, решение этого уравнения описывается формулой (15), в которой второй интеграл в левой части равен нулю. Поэтому для решения задачи о распределении электрического поля внутри области D нужно вычислить соответствующий интеграл.

Первый из интегралов, входящих в формулу (15) называется трехмерным аналогом интеграла типа Коши.

При практическом использовании эти формулы имеют два недостатка:

1) их использование требует предварительного вычисления в аналитической форме достаточно сложных интегралов;

2) точность вычисления неравномерна во всей области изменения параметра r.

Ниже представлена кубатурная формула свободная от этих недостатков.

Вычисление интегралов типа Коши сводится к вычислению интегралов вида Поэтому для простоты обозначений ограничимся рассмотрением интеграла где = [0,1]2, область D куб [0,1]3 в R3.

Вначале построим кубатурную формулу для вычисления интеграла J.

tk = k/N, k = 0,1,..., N и покроем квадрат более мелкими квадратами В каждом квадрате kl построим интерполяционный полином n x, y; kl степени по каждой переменной. Положим n = r при r и n = 3 при r = 0,1, 2. Интерполяционный полином n x, y; kl в квадрате kl имеет вид:

где Предположим вначале, что точка x, y и x, y ij. Представим полином n x, y; kl в виде отрезка ряда Тейлора по степеням x x и y y. Полученный полином обозначим через tn x, y; n x, y; kl и при этом отметим, что полином tn x, y; n x, y; kl определен во всей области.

Обозначим через l1,..., lm, m = [n/2] 1 узлы полинома Лежандра степени m, определенные на сегменте [ 1,1], а через l1,..., lm их образы при отображении сегмента [ 1,1] на сегмент [tl, tl 1 ], l = 0,1,..., N 1.

Обозначим через Pmm [, kl ] оператор, отображающий функцию, определенную в квадрате kl на множество интерполяционных полиномов степени m 1 по каждой переменной, построенных по узлам tv и tv, v = 1, 2,..., m.

Интегралу J поставим в соответствие кубатурные формулы Повторяя рассуждения, проведенные в работах [5, 6, 7], можно показать, что погрешность кубатурной формулы (17) на классе Замечание 1. Кубатурная формула (18) более удобная при практическом применении, так как не требует вычисления в аналитическом виде большого числа элементарных интегралов, но имеет большую погрешность.

Замечание 2. Переход от полиномов вида m x, y; kl к полиномам вида tm x, y; m x, y; kl может быть проделан в среде MAPLE, в которой предусмотрены алгебраические преобразования. Точно также в этой среде могут быть вычислены в аналитической форме все интегралы, входящие в формулу (17).

В случае, если точка x, y, z не лежит на поверхности, кубатурная формула (17) преобразуется к следующему виду:

Рассмотрим второй метод вычисления интегралов типа Коши.

Для этого рассмотрим интеграл J x, y, z как функцию трех переменных x, y, z, определенную в области G. Так как функция J x, y, z гармоническая в области, то ее наилучшее приближение осуществляется локальными сплайнами. При этом в качестве значений аппроксимируемой функции J x, y, z в узлах локальных сплайнов берутся результаты вычисления интегралов J x, y, z. Полученный в результате этого приближенный метод восстановления функции J x, y, z является оптимальным по порядку среди всевозможных методов восстановления,использующих Nm значений подинтегральной функции x, y.

1. Вендик, О. Г. Нелинейные свойства среды с эллипсоидальными сегнетоэлектрическими нановключениями / О. Г. Вендик, Н. Ю. Медведева, С. П. Зубко // Физика твердого тела. 2009. Т. 51, вып. 7. С. 14051406.

2. Вендик, О. Г. Размерный эффект в наноструктурированных сегнетоэлектрических пленках / О. Г. Вендик, Н. Ю. Медведева, С. П. Зубко // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33, вып. 6. С. 814.

3. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. М. :

Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 512 с.

4. Жданов, М. С. Аналоги интегралов типа Коши в теории геофизических полей / М. С. Жданов. М. : Наука, 1984. 328 с.

5. Бойков, И. В. Оптимальные методы представления потенциальных полей / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия РАН. Физика Земли. 2003. № 4.

С. 6876.

6. Бойков, И. В. Приближенное решение обратной задачи теории потенциала / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, В. И. Крючко, А. В. Филиппов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. 2006. № 6. С. 12 21.

7. Бойков, И. В. Повышение точности приближенного вычисления поверхностных интегралов / И. В. Бойков, А. В. Филиппов // Надежность и качество : тр.

Междунар. симп. Пенза, 2006. С. 297298.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА

ПЕРЕМЕШИВАНИЯ ВЯЗКИХ СМЕСЕЙ

МЕТОДОМ R-ФУНКЦИЙ

Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Введение. Задача математического моделирования и численного анализа перемешивания вязких смесей часто встречается во многих прикладных областях, в частности, в химической, фармацевтической и пищевой промышленностях [1, 2, 3]. Кроме того, проблема перемешивания жидкостей представляет фундаментальную научную проблему, тесно связанную с современными концепциями хаотической и регулярной динамики [4, 5, 6]. Известно, что при некоторых условиях ламинарные течения могут приводить к интенсивному (хаотическому) перемешиванию.

Большинство методов, используемых при моделировании таких процессов, не обладают свойством универсальности и их сложно применять для «непримитивных» областей. Обычно задача перемешивания решалась для таких простых областей, как круг, полукруг, круговой сектор и т.д.

[4, 5, 6, 3], однако для изучения процесса перемешивания в более сложных областях, предложенный в этих работах математический аппарат, не применим. Точно учесть геометрию области можно, используя конструктивный аппарат теории R-функций, предложенный акад. НАН Украины В.Л. Рвачевым [7]. Поэтому разработка новых методов численного анализа задачи перемешивания, основанных на применении метода R-функций, является актуальной научной проблемой.

Целью данной работы является разработка методов математического моделирования и численного анализа процесса перемешивания вязкой несжимаемой жидкости, вызванного системой точечных вихрей, методами R-функций и Ритца. Решение задачи перемешивания состоит из двух этапов:

1) определение поля скоростей течения жидкости (формализм Эйлера);

2) исследование траекторий движения отдельных частиц жидкости (формализм Лагранжа).

Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [8].

1. Постановка задачи. Рассмотрим плоское квазистационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в конечной односвязной области с кусочно-гладкой границей. Пусть граница области состоит из участков 1, 2, 3, 4, причем 2, 4 находятся в состоянии покоя, а 1, 3 попеременно движутся в противоположные стороны со скоростями v top (t ) и v bot (t ) соответственно (рис. 1).

Решение первой части задачи перемешивания заключается в получении поля скоростей ( v x, v y ) в области течения. Будем считать, что рассматриваемое течение относится к ползущим и нелинейными слагаемыми в уравнениях НавьеСтокса можно пренебречь, т.е. будем моделировать течение в приближении Стокса.

Плоское квазистационарное стоксово течение будем описывать с помощью функции тока ( x, y, t ), вводимой соотношениями Для функции тока ( x, y, t ) можно поставить краевую задачу:

где n – внешняя нормаль к ; 2 – бигармонический оператор.

Решение задачи (1), (2) можно представить в виде где 1 ( x, y ) – решение задачи а 2 ( x, y ) – решение задачи Решение второй части задачи перемешивания заключается в решении уравнений движения лагранжевой частицы и в построении и анализе траекторий движения (точка означает дифференцирование по времени).

2. Метод численного анализа. Для решения задач (4), (5) и (6), (7) воспользуемся методами R-функций [7] и Ритца [9].

Функции с такими свойствами могут быть построены с помощью R-функций для достаточно широкого класса областей [7].

Можно показать, что структуры решения краевых задач (4), (5) и (6), (7) имеют вид:

где 1 0 2 0 3 0 4, 1, 2 – неопределенные компоненты структур, Для аппроксимации неопределенных компонент в (10) воспользуемся методом Ритца [7].

Итак, решение первой части задачи перемешивания получено.

Решение второй части задачи перемешивания представляет собой решение задачи Коши любым численным методом, например, методом РунгеКуттыМерсона. Здесь (согласно (3)) приближенное по Ритцу решение задачи (1), (2).

3. Результаты компьютерного моделирования. Вычислительный эксперимент проводился для прямоугольной полости (0, a) (0, b), заполненной вязкой несжимаемой жидкостью. Боковые стенки полости находятся в состоянии покоя, а верхняя и нижняя движутся попеременно со скоростями v top (t ) и v bot (t ). Изучался квазистационарный режим с перекрытием, когда одна стенка начинает свое движение до того, как его закончила другая. Были исследованы области с различными геометрическими параметрами. Решение второй части задачи перемешивания производилось в рамках подхода Лагранжа (задача (8), (9)) и проводилось в несколько этапов: нахождение и исследование типа стационарных точек, построение фазовых траекторий, исследование эволюции линейного и плоского элементов, помещённых в рассматриваемую область. Уравнения движения частицы интегрировались численно.

Расположение стационарных точек для различных параметров области приведено на рис. 2 ( – седло; – центр).

Также была исследована эволюция (в течение 10 периодов) линейного элемента (отрезка, образованного четырьмя фиксированными точками, которые соединены между собой). Отрезок помещался в окрестность точки типа «центр» и типа «седло» при a 1, b 3. Результаты приведены на рис. 3. Анализируя результаты, видно, что при попадании отрезка в окрестность точки типа «центр» через 10 периодов он переместился незначительно от окрестности этой точки. В то же время отрезок, помещённый в окрестность точки типа «седло», значительно изменил своё положение, что свидетельствует о наличии хаоса в окрестности гиперболической точки.

Рис. 3. Эволюция линейного элемента в окрестности стационарной точки Аналогичные выводы можно сделать, проследив эволюцию плоского элемента (прямоугольника, заданного девятью точками). Результаты приведены на рис. 4.

Рис. 4. Эволюция плоского элемента в окрестности стационарной точки Выводы. В работе предложен метод численного анализа задачи перемешивания вязкой смеси, вызванного попеременным движением стенок. При этом, благодаря использованию метода R-функций, выражение для функции тока получается в аналитическом виде, что выделяет наш метод среди остальных методов решения краевых задач. Ещё одним преимуществом предложенного метода является то, что решение может быть получено для достаточно сложной области, что делает его универсальным. Решение второй части задачи перемешивания позволяет моделировать процесс перемешивания, анализировать его эффективность, основываясь на изучении поведения отдельных частиц. Этим определяет научную новизну и практическую значимость работы.

1. Андриевский, Б. Р. Управление хаосом: методы и приложения. II. Приложения / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. – 2004. – № 4. – С. 3–34.

2. Оттино, Дж. М. Перемешивание жидкостей / Дж. М. Оттино // В мире науки. – 1989. – № 3. – С. 34–44.

3. Табор, М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. – М. : Эдиториал УРСС, 2001. – 320 с.

4. Андриевский, Б. Р. Управление хаосом: методы и приложения. I. Методы / Б. Р. Андриевский, А. Л. Фрадков // Автоматика и телемеханика. – 2003. – № 5. – С. 3–45.

5. Ареф, Х. Развитие хаотической адвекции / Х. Ареф // Нелинейная динамика. – 2006. – Т. 2, № 1. – С. 111–133.

6. Мелешко, В. В. Смешивание вязких жидкостей / В. В. Мелешко, Т. С. Краснопольская // Нелинейная динамика. – 2005. – Т. 1, № 1. – С. 69–109.

7. Рвачев, В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В. Л. Рвачев. – Киев : Наук. думка, 1982. – 552 с.

8. Артюх, А. В. Об одном методе математического моделирования некоторых процессов перемешивания с помощью метода R-функций / А. В. Артюх, Н. В. Гибкина, М. В. Сидоров // АСУ и приборы автоматики. – 2008. – Вып. 143. – С. 67–73.

9. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. – М. : Наука, 1970. – 512 с.

РЕТРОСПЕКТИВНАЯ ЗАДАЧА О СТРУКТУРЕ

НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЕ

При создании новых образцов техники, функционирование которых сопровождается протеканием интенсивных процессов теплопереноса, все большая роль отводится теплофизическим исследованиям, тепловому проектированию и экспериментальной отработке тепловых режимов технических объектов. Особое значение вопросы теплообмена приобретают в таких областях техники, как авиационная и ракетнокосмическая, в энергетике и металлургии.

Эффективность принятых проектно-конструкторских и технологических решений во многом зависит от глубины и достоверности изучения явлений теплообмена, от адекватности модельных представлений теплофизических процессов, протекающих на поверхностях раздела различных фаз, внутри материалов и конструкций. При этом все большее значение придается экспериментальным исследованиям и, как следствие, созданию эффективных методов диагностики и идентификации теплообменных процессов по результатам экспериментов и испытаний.

В основу этих методов могут быть положены решения обратных задач теплообмена, причем в ряде случаев обратные задачи являются практически единственным средством получения необходимых результатов.

Таким образом, развитие теории и методологии обратных задач теплообмена, как актуального направления исследований, вызвано насущными потребностями практики и базируется на математической теории некорректно поставленных задач, оптимальных принципах планирования эксперимента, современных численных методах и вычислительной технике.

Рассмотрим задачу, возникающую при моделировании процесса теплопереноса. Пусть дана изотропная упругая неограниченная трехслойная пластинка I 2 (x,y ) x (,0) (0,l) (l, ),y (, ), через боковые поверхности z которой осуществляется теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. На прямых сопряжения осуществляется идеальный термический контакт. Моделирование процесса теплопереноса в рассматриваемой среде приводит к сепаратной системе уравнений теплопроводности где функция u(t,x,y ) ( x)u1 (t,x,y ) (x)(l x)u2 (t,x,y ) ( x l )u3 (t,x,y) ограниченная в области 2 (t,x,y ) t (0, );x I 2 ; y (, ), ( x) единичная функция Хевисайда, с идеальными условиями сопряжения начальными условиями x I 2, где a 2 коэффициент температуропроводности. Поверхности z пластинки теплоизолированы.

Рассмотрим задачу: найти закон распределения температуры f (x,y ) ( x )f1 (x,y ) (x )(l x ) f 2 (x,y ) ( x l ) f3 (x,y ) в начальный момент по известному закону распределения температуры u(,x,y ) в момент времени t.

Решение задачи (1)–(4) приводит к системе интегральных уравнений типа свертки (5) относительно f j ( ), j 1, 2,3.

Для решения поставленной задачи рассмотрим прямое F и обратное F интегральные преобразования Фурье с двумя линиями сопряжения [1]:

где где j ( x, ) и *j ( x, ), j 1,2,3, это собственные функции, соответственно, прямой и сопряженной задачи ШтурмаЛиувилля.

Приведем схему численного решения системы (5).

1. Действуем на систему интегральным преобразованием Фурье на оси с двумя линиями сопряжения (6). В образах Фурье получим 2) Применим итерационный метод [2]. Введем сетку узлов достаточно большие числа. Так как преобразование Фурье ядра к уравнению (8) применим итерационный процесс k = 0,1,…,2N, j = 0,1,…,2M, n = 0,1,…, где kj подбирается из требования, чтобы qkj 1 kj K ( k, j ), k 0,1,..., 2 N, j 0,1,..., 2 M.

Находим приближенное решение f (, ).

Погрешность реализации вычислительной схемы (9) имеет три составляющие:

погрешность вычисления прямого преобразования Фурье функций k(x,y) и u(, x, y ) на сетках k, k 0,1,..., 2 N, j, j 0,1,...,2M ;

погрешность вычислений по итерационной схеме (9);

погрешность вычисления обратного преобразования Фурье функции f n (, ).

3. Действуем обратным преобразованием Фурье (7). При численной реализации интегралы в преобразованиях Фурье заменялись квадратурными формулами.

Получили приближенное решение ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в изотропной неограниченной трехслойной пластинке.

1. Елисеева, Т. В. Численное решение ретроспективной задачи о структуре нестационарного температурного поля в изотропной неограниченной трехслойной пластинке // Тр. Средневолжского математического общества. 2007. Т. 9, № 1.

С. 139144.

2. Бойков, И. В. Итерационные методы решения уравнений в свертках / И. В.Бойков // Известия вузов. Поволжский регион. Математика. – 1998. – № 2. – С. 815.

3. Алифанов, О. М. Обратные задачи теплообмена / О. М. Алифанов. М. :

Мир, 1988. 279 с.

4. Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. M. : Наука, 1973. 408 с.

5. Подстригач, Я. С. Обобщенная термомеханика / Я. С. Подстригач, Ю. М. Коляно. Киев: Наук. думка, 1976. 310 с.

ЗАДАЧА С ОБРАТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ

В МНОГОСЛОЙНОМ ПОЛУОГРАНИЧЕННОМ СТЕРЖНЕ

Необходимость постановки и решения обратных задач теплопроводности появляется в различных теплофизических исследованиях, при создании и эксплуатации технических объектов, а также при оптимизации тепловых режимов технологических процессов, связанных с нагревом или охлаждением материалов. Обратные задачи теплопроводности позволяют построить методики расчётно-экспериментального определения функций и параметров, входящих в уравнения теплового баланса на поверхности тела. Эти методики основываются на проведении сравнительных испытаний. С помощью обратных задач проводится идентификация и уточнение математических моделей теплообмена в технических системах. Задача восстановления поля температур и поля тепловых потоков в твёрдом теле по результатам внутренних температурных измерений часто сводится к решению обратной задачи теплопроводности. Таким образом, задачи математического моделирования процессов теплопередачи представляют большой теоретический и практический интерес.

Рассмотрим уравнение Пусть функция u u( x, t ) определена в кусочно-однородной полуплоскости D1 {( x, t ) x (0, l ) (l, ); t (0; )} и удовлетворяет граничному условию условиям сопряжения и начальному условию ния функции u u ( x, t ) и её производных при x 0 и при x l слева и справа соответственно, а u u ( x, t ) – ограниченная в полуплоскости D {( x, t ) x (0, ); t (0; )} функция такая, что существует предельное значение этой функции при x 0; b, c, d 0, причём Известно распределение температур при t, необходимо найти распределение температур при t 0.

Поставленная задача приводит к системе интегральных уравнений:

R 1[( )]d ;

Так как u u( x, t) ограниченная функция и c ad min(b, d ac), то полученные ряды сходятся абсолютно равномерно.

Оператор преобразования R1, обратный оператору (6), имеет вид:

Теорема. Оператор преобразования R осуществляет непрерывное отображение пространства W22 ( D ) в пространство W22 ( D1 ). Оператор R 1 осуществляет обратное непрерывное отображение.

Применяя операторы преобразования (7) к задаче (1)–(4), получим задачу для однородной области где функция u u( x, t ) определена в кусочно-однородной полуплоскости D {( x, t ) x (0, ); t (0; )} и удовлетворяет начальному условию u(0, x ) ( x ) и граничному условию u(t,0) f (t ) 0.

Известно распределение температур при t, необходимо найти распределение температур при t 0.

Полученная задача приводит к решению интегрального уравнения Для решения уравнения (8) воспользуемся итерационной схемой [2]:

раз Фурье ядра интегрального уравнения.

Решение задачи (1)(4) имеет вид:

1. Елисеева, Т. В. Операторный метод решения обобщенных задач сопряжения для уравнения Лапласа / Т. В. Елисеева // Вестник молодых ученых ПГПУ им. В. Г. Белинского. – 2003. № 2. С. 4951.

2. Бойков, И. В. Математика / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 1998. – № 2. – С. 8–15.

3. Самарский, А. А. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности / А. А. Самарский, В. И. Васильев. – М. : Наука, 1997. – 430 с.

4. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1982. – 500 с.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

За последнее десятилетия сфера интенсивного исследования и применения явлений теплообмена чрезвычайно расширилась. Она включает как ведущие направления техники (химическая технология, металлургия, строительное дело, нефтеразработка, машиностроение, агротехника и т.д.), так и основные естественные науки (биология, геология, физика атмосферы и океана и др.).

Численное моделирование процессов теплообмена в настоящее время приобретает все более значительную роль в связи с тем, что для современной науки и техники необходим достоверный прогноз таких процессов, экспериментальное изучение которых в лабораторных или натурных условиях очень сложно и дорого, а в некоторых случаях просто невозможно. Численное моделирование процессов теплопереноса все успешнее входит в практику работы различных научно-исследовательских, проектно-конструкторских и производственных учреждений.

Рассмотрим двухслойный ограниченный стержень В точке сопряжения слоев x осуществляется идеальный термический контакт. Моделирование процесса теплопереноса в рассматриваемой среде приводит к сепаратной системе уравнений теплопроводности функция Хевисайда, с идеальными условиями сопряжения граничными условиями и начальными условиями Для того, чтобы от задачи (2)(5) перейти к задаче для однородной области, введем оператор преобразования.

Оператор преобразования J1, а функция v x на интервале J x x 0, l, имеет следующий вид [1] Оператор преобразования 1 : v x v x определен по правилу Действуя на задачу (2)–(5) операторами преобразования, получим задачу для области D {(t, x ) t (0; ); x (0, l )}.

При решении дифференциального уравнения в частных производных наиболее часто используется метод конечных разностей. Идея метода решения краевых задач весьма проста и видна уже из самого названия: вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации.

Рассмотрим явно-неявную схему. Заменяем дифференциальные операторы на их конечно-разностные аналоги [1]:

интегрирования по временной координат; n – номер шага по времени;

N номер шага по координате. Таким образом, в результате аппроксимации частных производных соответствующими конечными разностями получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Полученную систему можно привести к более общему виду:

Такие уравнения называют трехточечными разностными уравнениями второго порядка.

Система (12) имеет трехдиагональную структуру, которая решается на каждом шаге по времени.

Предположим, что существуют такие наборы чисел i и i, при которых т.е. трехточечное уравнение второго порядка (12) преобразуется в двухточечное уравнение первого порядка (13). Уменьшим в связи (13) индекс на единицу и полученное выражение uin1 i 1 uin 1 i 1 подставим в данное уравнение (12):

откуда получаем Последнее равенство имеет вид (13) и будет точно с ним совпадать, если при всех i 2, 3,..., N 1 выполняется соотношения Для определения i и i необходимо знать 1 и 1, которые находятся из левого граничного условия.

uN 1, u N 2,..., u2, при условии, что uN найдено из правого граничного условия.

В качестве условия остановки счета на данном временном слое можно использовать следующее соотношение:

где точность вычислений.

На каждом временном слое решение задачи (2)(5) может быть найдено 1. Яремко, О. Э. Задача Штурма–Лиувилля для 2-периодической функции на кусочно-однородном сегменте / О. Э. Яремко, Т. В. Елисеева // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. № 8 (12).

2008. – Стр. 67–70.

2. Кузнецов, Г. В. Разностные методы решения задач теплопроводности / Г. В. Кузнецов, М. Ф. Шеремет // Томск : Изд-во Томского политехн. ун-та, 2008.

С. 811, 8991.

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ

НА МОБИЛЬНЫХ УСТРОЙСТВАХ СИСТЕМЫ ANDROID

Теория сингулярных интегральных уравнений зародилась в начале XX века в трудах выдающихся математиков Д. Гильберта и А. Пуанкаре и бурно развивалась в течение всего ХХ столетия. Причем одновременно с развитием теории развивались и численные методы.

Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений (без регуляризации) начали исследоваться значительно позже.

Первой работой в этом направлении была работа М. А. Лаврентьева, датируемая 1932 г., в которой было предложено два метода решения сингулярных интегральных уравнений первого рода, описывающих задачу обтекания воздушным потоком крыла конечного размера.

Начиная с середины 50-х гг. прошлого столетия, начался «исследовательский бум» в области численных методов решения сингулярных интегральных уравнений, который продолжается и по сегодняшний день. Этим исследованиям посвящены многие сотни статей и десятки монографий. За эти годы оформилось несколько направлений в численных методах решения сингулярных интегральных уравнений, основанных на различных идеях и подходах.

Сейчас сингулярные уравнения нашли свое активное применение в таких областях науки, как аэрогидродинамика, электростатика, теория упругости и математическая физика.

На современном этапе появилось множество средств для реалиизации численных алгоритмов, таких как параллельные ЭВМ, суперЭВМ, кластеры. Данная же работа посвящена реализации некоторых методов решения сингулярных интегральных уравнений на мобильных устройствах под управлением ОС Android.

Android – это открытая операционная система для мобильных телефонов, смартфонов, коммуникаторов, планшетных компьютеров, электронных книг, цифровых проигрывателей, наручных часов, нетбуков и смартфонов, основанная на ядре Linux и поддерживающая различные аппаратные платформы, такие как ARM, MIPS, POWER, x86.

Как правило, разработка Android-приложений осуществляется на языке Java – объектно-ориентированном языке программирования. Программы на Java транслируются в байт-код, выполняемый виртуальной машиной Java, которая обрабатывает байтовый код и передает инструкции оборудованию как интерпретатор. Достоинство подобного способа выполнения программ заключается в полной независимости байт-кода от операционной системы и оборудования, что позволяет выполнять Java-приложения на любом устройстве, для которого существует соответствующая виртуальная машина. Другой важной особенностью Java является гибкая система безопасности благодаря тому, что исполнение программы полностью контролируется виртуальной машиной. Любые операции, которые превышают установленные полномочия программы (например, попытка несанкционированного доступа к данным или соединения с другим компьютером) вызывают немедленное прерывание.

Третья и очень важная с точки зрения вычислений особенность Java заключается в том, что в стандартной библиотеке языка содержатся два класса для произведения базовых математических операций, таких как возведение в степень, взятие логарифма, синуса, косинуса и т.д.

Эти классы отличаются между собой различной точностью представления чисел на разных архитектурах процессора. Это классы Math и StrictMath. Константы и методы этих двух классов одинаковы, и, более того, некоторые методы класса Math просто вызывают анналогичные методы класса StrictMath. Однако, при использовании StrictMath одинаковый результат вычислений получается не зависимо от процессора, который установлен у пользователя программы. Изначально эта функция задумывалась создателями языка как базовая для всех примитивных типов данных и манипуляций с ними. Но, как оказалось, это не такая простая задача и обеспечение одинаковых результатов на различных платформах значительно уменьшают быстродействие. Большинство задач просто не требуют такой точности в вычислениях, для них гораздо важнее скорость этих вычислений. Это привело к разделению математической части библиотеки на быструю и выдающую одинаковый результат на разных процессорах.

Таким образом, если при решении поставленной задачи важнее скорость используется класс Math, если же необходима одинаковая работа (с точностью до бита) с примитивными типами данных выбирается класс StrictMath.

В данной работе с целью тестирования указанных классов на языке Java реализовывались приближенные вычисления сингулярного интеграла с ядром типа Коши а также приближенно решались сингулярные интегральные уравнения вида Тестируемая программа была запущена на модели телефона CJ –TbLV9, версия Android 4.0.3, версия ядра 3.0.13, процессор cortex a9 1 Гц, 32/32 кб L/D кэш 256 кб, оперативная память 512, графическое ядро PowerVR SGX 531 ultra с частотой 281 МГц.

1. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. Пенза : Изд-во ПГУ, 2004.

2. Варакин, М. В. Разработка мобильных приложений под Android / М. В. Варакин. М. : УЦ «Специалист» при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012.

3. Флэнаган, Д. JAVA справочник. Символ-Плюс / Д. Флэнаган. 4. Хашими, С. Разработка приложений для Android / С. Хашими, С. Коматинени, Д. Маклин. СПб. : Питер, 2011.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ХАОСА К РАСЧЕТУ

ЗАГРЯЗНЕНИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Теория хаоса математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем, подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос. Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной. Математические условия возникновения хаоса имеют следующий вид: система должна иметь нелинейные характеристики, быть глобально устойчивой, но иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа.

Последовательность результатов наблюдений над некоторой величиной, полученных последовательно во времени, называют временным рядом. Временной ряд называют детерминированным, если существует строгое функциональное соответствие между значениями времени регистрации и соответствующими значениями временного ряда. В этом случае значения х временного ряда в любой фиксированный момент времени t строго определены соответствующей функцией x = f(t). Однако реально встречающиеся временные ряды, как правило, являются не детерминированными, а случайными, т.е. такими, когда значение временного ряда в каждый фиксированный момент времени представляет собой некоторую случайную величину.

На практике часто возникает необходимость выявления основной тенденции изменения временного ряда (называемой трендом временного ряда), т.е. нахождения функции f (t) (рис. 1).

Решение подобной задачи существенно упрощается, если имеются определенные предположения (например, теоретические) относительно вида этой функции. Пусть искомый тренд зависит от k параметров a1, a2, ak. Тогда эти параметры могут быть найдены из условия минимизации функционала Выявление основной тенденции изменения временного ряда и нахождение его тренда позволяют с определенной степенью точности производить прогнозирование значений этого ряда, т.е. оценку значений ряда для значений времени, превышающих момент времени последнего из проведенных наблюдений.

В современной теории прогнозов временной ряд рассматривается как реализация случайного процесса, когда случайность является результатом сложного движения с многими независимыми степенями свободы. Альтернативой случайности является хаос, который имеет место в очень простых детерминистических системах.

Однако для того, чтобы использование методов теории хаоса дало адекватные результаты, необходим достаточно длинный ряд наблюдений, причем в этом ряду должны отсутствовать «белые пятна», связанные остановкой приборов для измерения концентраций на профилактику или какими-нибудь другими причинами. Естественно, что для восстановления недостающих исходных данных может быть использован некоторый метод интерполяции. Однако такой подход не может дать удовлетворительного результата в случае хаотической системы.

Дело в том, что применение интерполяции приводит к появлению либо стохастических, либо регулярных участков орбиты (в зависимости от используемого метода интерполяции), а это, в свою очередь, нарушает хаотичность аттрактора. По сути, единственным методом интерполяции в этом случае может быть использование самих методов теории хаоса для восстановления недостающих данных, например, метода нелинейного прогноза.

Действительно, если ряд непрерывных наблюдений достаточно велик (несколько тысяч значений) и он прерывается не очень длинным (не более предела предсказуемости) периодом, для которого наблюдения отсутствуют, то методы теории хаоса позволяют с достаточной точностью восстановить недостающие данные. В этом случае сначала восстанавливается аттрактор для части временного ряда, затем осуществляется прогноз, после чего полученные прогностические величины в дальнейшем используются в качестве «реальных» данных для восстановления аттрактора по всему ряду.

Для оценки удовлетворительности восстановлении аттрактора необходимо сравнить размерность Каплана-Йорка для рассматриваемых временных рядов с выбранной размерностью аттрактора, определенной по методу Грассбергера-Прокаччиа.

В рамках данной работы были взяты показатели загрязнения атмосферы пензенской области диоксидом серы, двуокисью азота и пылью в течение 5 лет с весны 2008 года по весну 2013 года. Далее для этих же лет был составлен прогноз загрязнения атмосферы теми же веществами методом нелинейного прогноза применительно к временным рядам и, в соответствии с рассмотренной в работе моделью, проведена оценка полученных результатов по методу Грассбергера-Прокаччиа.

Полученные результаты могут являться подтверждением того, что применение методов теории хаоса к временным рядам концентраций загрязняющих веществ в атмосфере вполне оправдано как с теоретической, так и практической точек зрения. При построении вычислительных схем необходимых алгоритмов был использован программный пакет Maple. Данный алгоритм может быть использован для прогнозирования возможного загрязнения окружающей среды в различных регионах.

1. Глушков, А. В. Хаос во временных рядах концентраций загрязняющих веществ в атмосфере / А. В. Глушков, Э. Н. Серга, Ю. Я. Бунякова. М., 2009.

2. Математические модели природы и общества / Н. Н. Калиткин, Н. В. Карпенко, А. П. Михайлов, В. Ф. Тишкин, М. В. Черненков. М. : Физматлит, 2005.



Pages:   || 2 | 3 |
Похожие работы:

«Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Физический факультет ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЭКОЛОГИИ (ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ ФИЗИКА) №7 Москва 2001 2 Физические проблемы экологии №7 Физические проблемы экологии (экологическая физика). №7 Под ред. В.И. Трухина, Ю.А. Пирогова, К.В. Показеева. М.: Физический факультет МГУ, 2001.— Сборник научных трудов третьей Всероссийской конференции Физические проблемы экологии (экологическая физика). Рассмотрены вопросы экологии околоземного пространства и...»

«МАТЕРИАЛЫ XIV Всероссийской научно-практической конференции имени профессора Л.П. Кулёва студентов и молодых ученых с международным участием Химия и химическая технология в XXI веке 13–16 мая 2013 г. Томск Министерство образования и наук и РФ Томский политехнический университет Институт природных ресурсов Институт физики высоких технологий Физико-технический институт МАТЕРИАЛЫ XIV Всероссийской научно-практической Л.п. куЛёВа конференции имени профессора студентоВ и моЛодых ученых с...»

«J957 г. Август Т. LXII, вып. 4 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК ФИЗИЧЕСКАЯ НАУКА ИТАЛИИ Д. Д. Иваненко Участие в Международном конгрессе по мировым постоянным в Турине осенью 1956 г. и посещение основных лабораторий позволило нам составить довольно полное представление о состоянии итальянской физической наук и и выесте с тем ознакомиться с организацией вузов и институтов. К сожалению, связи нашей и итальянской науки никогда не были очень тес-, ными. Говоря о прошлом, можно назвать поездки в Италию...»

«Материалы международной научной конференции. Хоста, Сочи, 25-29 августа 2009 г. Взгляд на характерную торсионную феноменологию Жигалов В.А. Проект Вторая физика zhigalov@gmail.com Физика является экспериментальной наукой. С.Тинг (надпись на стене кабинета 4Д.Д.Иваненко на физфаке МГУ) Постановка вопроса Изучая критику торсионной гипотезы Акимова-Шипова, я убедился, что большинство критикующих не знает не только экспериментальных фактов, лежащих в основе этой гипотезы, но и не читали...»

«ШЕСТНАДЦАТАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ МОЛОДЫХ УЧЁНЫХ И СПЕЦИАЛИСТОВ ОИЯИ ТРУДЫ КОНФЕРЕНЦИИ г. Дубна 6–11 февраля 2012 г. Объединение молодых учёных и специалистов Шестнадцатая научная конференция молодых учёных и специалистов ОИЯИ г. Дубна, 6 – 11 февраля 2012 г. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ КОМИТЕТ: А.С. Айриян – председатель М.А. Ноздрин – зампредседателя О.В. Белов Д.К. Дряблов Р.В. Пивин Ш.Г. Торосян Е.Д. Углов А.В. Филиппов ПОДГОТОВКА СБОРНИКА ТРУДОВ: А.В. Филиппов WWW: http://ayss.jinr.ru/ E-mail:...»

«оамды апараттандыру III Халыаралы ылыми-практикалы конференция УДК 51.334 ШАНЛАЯКОВА А.С., НАУРЫЗБАЕВА А.И., ТУЛЕГЕНОВА Б.А., ОРАЛХАН О.П. Казахский национальный технический университет имени К. И.Сатпаева Алматы, Казахстан ПРОБЛЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОГО АНАЛИЗА УПРАВЛЕНИЕМ КОСМИЧЕСКИМИ АППАРАТАМИ Условия работы систем космических аппаратов (КА) и его конструкционных элементов связаны с влиянием глубокого вакуума, с электромагнитной и корпускулярной радиацией, с метеорной опасностью, со своеобразными...»

«Вторая Международная научно-практическая конференция для геологов и геофизиков Сочи-2012, 2-6 мая Новая площадка для обмена опытом геологов и геофизиков: СОЧИ-2012 Вторая Международная научно-практическая конференция для геологов и геофизиков г. Сочи, Гостиничный комплекс ПАРУС 2-6 мая 2012 года Первое приглашение ГЕНЕРАЛЬНЫЕ СПОНСОРЫ конференции: (ведутся переговоры) Контактная информация: Координатор проекта: Золотая Людмила Алексеевна, тел.: +7 (495) 774-3015 е-mail: sochi2012.eago@gmail.com...»

«RELARN 2009 Организаторы конференции Фонд Развития Интернет Ассоциация научных и учебных организаций - пользователей сетей передачи данных РЕЛАРН Российский научно-исследовательский институт развития общественных сетей (АНО РосНИИРОС) Федеральное Государственное Учреждение Государственный научно-исследовательский институт информационных технологий и телекоммуникаций Организационный комитет Сопредседатели: Тихонов А.Н. Президент Ассоциации РЕЛАРН, Директор ФГУ ГНИИ ИТТ Информика Солдатов А.А....»

«88 ОТЧЕТ САО РАН 2012 SAO RAS REPORT ПУБЛИКАЦИИ СОТРУДНИКОВ ОБСЕРВАТОРИИ В 2012г. PUBLICATIONS OF OBSERVATORY STAFF MEMBERS IN 2012 1. Abramov-Maksimov V.E., Borovik V.N., Opejkina L.V. = Абрамов-Максимов В.Е., Боровик В.Н., Опейкина Л.В. Эволюция микроволнового излучения активной области NOAA 11263 перед вспышкой X6.9 (август, 2011 г.). Труды XVI всероссийской ежегодной конференции по физике Солнца Солнечная и солнечно-земная физика-2012, 24-28 сентября 2012 г., Санкт-Петербург, 151-154. 2....»

«ISSN 0552-5829 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ГЛАВНАЯ (ПУЛКОВСКАЯ) АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ОБСЕРВАТОРИЯ РАН ВСЕРОССИЙСКАЯ ЕЖЕГОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПО ФИЗИКЕ СОЛНЦА СОЛНЕЧНАЯ И СОЛНЕЧНО-ЗЕМНАЯ ФИЗИКА - 2008 ТРУДЫ Санкт-Петербург 2008 Сборник содержит доклады, представленные на Всероссийской ежегодной конференции по физике Солнца Солнечная и солнечно-земная физика – 2008 (XII Пулковская конференция по физике Солнца, 7-12 июля 2008 года, СанктПетербург, ГАО РАН). Конференция проводилась Главной (Пулковской)...»

«Министерство Природных Ресурсов и Экологии РФ Федеральное государственное унитарное предприятие Всероссийский научно-исследовательский институт геологии и минеральных ресурсов Мирового океана им. академика И.С. Грамберга Совет молодых ученых и специалистов при ФГУП ВНИИОкеангеология им. И.С. Грамберга Вторая международная конференция молодых ученых и специалистов Новое в геологии и геофизике Арктики, Антарктики и Мирового океана ФГУП ВНИИОкеангеология им. И.С. Грамберга 1-2 декабря 2010 г. г....»

«1 Комитет по образованию Администрации города Мыски Муниципальное учреждение Информационно-методический центр Комитета по образованию Администрации города Мыски XIV городская конференция школьников Сборник тезисов Мыски 2009 2 Оргкомитет Тимофеенко А.А., председатель Комитета по образованию – председатель оргкомитета Супчук Т.И., начальник МУ Информационно-методического центра Комитета по образованию Администрации города Мыски - ответственный секретарь Чернакова А.С., методист МУ...»

«НП Центр реализации идей Партнер г. Санкт-Петербург Рижский пр. д.8 196084 ИНФОРМАЦИОННОЕ ПИСЬМО УВАЖАЕМЫЕ КОЛЛЕГИ! Некоммерческое партнерство Центр реализации идей Партнер при финансовой поддержке ООО Сов-Аудит Приглашает молодых ученых, магистрантов, аспирантов, докторантов, соискателей и всех, кто занимается научными исследованиями. Всех, кому, необходима публикация статей. 14-15 июля 2013 года Международная заочная научнопрактическая конференция Теоретические и практические аспекты развития...»

«334 СОВЕЩАНИЯ И КОНФЕРЕНЦИИ состояние (Тс да 1—3 К, Рс 6—12 кбар), а соединение (TMTSF) 2 O0 4 — сверхпроводник при нулевом давлении. Стабилизация металлической фазы и реальный фазовый переход в сверхпроводящее состояние могли бы быть обязаны трехмерности (или двумерности) электронного спектра. Иными словами, наблюдаемая сверхпроводимость в (ТМТ8Р)2Х-соединениях могла бы быть обычной сверхпроводимостью в анизотропном металле. Эти соединения действительно имеют двумерные (слоистые) черты,...»

«КАРЕЛЬСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ ГОРНО-ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ПетрГУ КАФЕДРА ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ СОВЕТ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ И СПЕЦИАЛИСТОВ РЕСПУБЛИКИ КАРЕЛИЯ АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОЛОГИИ ДОКЕМБРИЯ, ГЕОФИЗИКИ И ГЕОЭКОЛОГИИ Материалы XXIII молодежной научной школы-конференции, посвященной памяти члена-корреспондента АН СССР К.О. Кратца ПЕТРОЗАВОДСК УДК [551.71/.72+550.3+502.1](063) ББК 26.33+26. А Актуальные проблемы геологии докембрия, геофизики и геоэкологии //...»

«МОУ Засосенская общеобразовательная школа УРОК - КОНФЕРЕНЦИЯ Физика в медицине и ее профессиях Подготовила: Рядодубова Н.М. 2007 год Тема урока: Физика в медицине и ее профессиях (10 класс) Цель урока. Развитие умения и навыков самостоятельной работы с научно – популярной литературой, умения анализировать и обобщать, отделять главное от второстепенного, развитие интереса к научным знаниям, углубление профориентации, воспитание чувства ответственности перед коллективом. Тип урока – конференция....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Казахский национальный университет им.аль-Фараби ИНФОРМАЦИОННОЕ ПИСЬМО № 1 3 – я Международная конференция БИОТЕХНОЛОГИЯ, НАНОТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ БИОЛОГИЯ, посвященная 85 – летию со дня рождения академика М.Х. Шигаевой 3-4 апреля 2012 года. АЛМАТЫ УВАЖАЕМЫЕ КОЛЛЕГИ! Приглашаем Вас принять участие в работе международной конференции 3 - ей Международной конференции БИОТЕХНОЛОГИЯ, НАНОТЕХНОЛОГИЯ И ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ БИОЛОГИЯ,...»

«XL Неделя наук и СПбГПУ : материалы международной научно-практической конференции. Ч. X. – СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2011. – 38 с. В сборнике публикуются материалы докладов студентов, аспирантов, молодых ученых и сотрудников Политехнического университета, вузов Санкт-Петербурга, России, СНГ, а также учреждений РАН, представленные на научно-практическую конференцию, проводимую в рамках ежегодной XL Недели науки СанктПетербургского государственного политехнического университета. Доклады...»

«Сервис виртуальных конференций Pax Grid ИП Синяев Дмитрий Николаевич Современное понимание Солнечной системы и открытые вопросы Всероссийская научная Интернет-конференция с международным участием Казань, 10 декабря 2013 года Материалы конференции Казань ИП Синяев Д. Н. 2014 УДК [52-4/52-8+523+528](082) ББК 22.6(2) С56 С56 Современное понимание Солнечной системы и открытые вопросы.[Текст] : Всероссийская научная Интернет-конференция с международным участием : материалы конф. (Казань, 10 декабря...»

«Всероссийская конференция Дефекты структуры и прочность кристаллов посвящается 100-летию со дня рождения академика Г.В.Курдюмова организована на базе XXXIX семинара Актуальные проблемы прочности и X Московского семинара Физика деформации и разрушения твердых тел 4-7 июня 2002 года Черноголовка, пансионат “Дружба” Всероссийская конференция Дефекты структуры и прочность кристаллов посвящена 100-летию со дня рождения академика Г.В.Курдюмова организована на базе XXXIX семинара Актуальные проблемы...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.