WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |

«ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ Труды 35-й Региональной молодежной конференции, 26 - 30 января 2004 г. ЕКАТЕРИНБУРГ 2004 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ...»

-- [ Страница 1 ] --

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

ПРОБЛЕМЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ

МАТЕМАТИКИ

Труды 35-й Региональной молодежной конференции,

26 - 30 января 2004 г.

ЕКАТЕРИНБУРГ

2004

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ

МАТЕМАТИКИ

Труды 35-й Региональной молодежной конференции, 26 - 30 января 2004 г.

ЕКАТЕРИНБУРГ

У Д К ПРОБЛЕМЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ: Труды 35-й Региональной молодежной конференции.

Екатеринбург: УрО РАН, 2004. ISBN 5-7691-1490-8.

Настоящее издание включает материалы 35-й Региональной конференции молодых ученых, состоявшейся с 26 по 30 января 2004 года в г. Екатеринбурге.

Представлены работы по следующим вопросам: алгебра и топология, теория функций, дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, математическая теория оптимального управления и дифференциальные игры, распознавание образов и математическое программирование, информатика и вычислительная техника.

Сборник представляет интерес для специалистов по указанным разделам математики.

Конференция проведена при финансовой поддержке РФФИ, грант №04–01–10024 и Президиума УрО РАН.

Ответственный редактор чл.-корр. РАН В.И. Бердышев Рецензенты:

акад. РАН И.И. Еремин, чл.-корр. РАН В.И. Бердышев, чл.-корр. РАН А.А. Махнев, д.ф.-м.н. А.И. Короткий, д.ф.-м.н. В.И. Максимов, д.ф.-м.н. В.Н. Ушаков, к.ф.-м.н. В.Л. Авербух, к.ф.-м.н. Е.Н. Акимова, к.ф.-м.н. М.Ю. Хачай Ответственные за выпуск:

Е.Н. Акимова, Н.А. Ваганова М.Ю. Филимонов ISBN 5-7691-1490-8.

ПРП-2004 13 (04) c П ПВ-2004 Институт математики и 8П6 (03) механики УрО РАН, 2004 г.

Алгебра и топология

О КВАЗИРАСПОЗНАВАЕМОСТИ ПО МНОЖЕСТВУ

ПОРЯДКОВ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУПП F4 (q), q НЕЧЕТНО Алексеева О.А., Кондратьев А.С. e-mail: oksana@prima.susu.ac.ru, a.s.kondratiev@imm.uran.ru Пусть G конечная группа. Обозначим через (G) множество всех порядков элементов группы G. Множество (G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга-Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда G содержит элемент порядка pq. Обозначим число компонент связности графа GK(G) через t(G), а множество его связных компонент через {i (G) | 1 i t(G)}; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 1 (G). Множество (G) частично упорядочено относительно делимости и однозначно определяется подмножеством µ(G) своих максимальных элементов.

Общее строение конечных групп G с t(G) 2 дается теоремой Грюнберга-Кегеля (см. [1, теорема A]). Конечные простые неабелевы группы с несвязным графом Грюнберга-Кегеля описаны в [1, 2].

Результаты о конечных группах с несвязным графом ГрюнбергаКегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по множеству порядков элементов (см., например, [3]). Конечная группа G называется распознаваемой (по (G)), если для конечной группы H равенство (H) = (G) влечет H G. = Выдвинута следующая Гипотеза В. Д. Мазурова. Конечные простые группы с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, как правило, распознаваемы.

Первым этапом доказательства этой гипотезы, по-видимому, будет доказательство условия квазираспознаваемости, более слабого, чем распознаваемость. Конечная простая неабелева группа P называется квазираспознаваемой, если любая конечная группа G c (G) = (P ) имеет композиционный фактор, изоморфный P.

В [4, 5] авторы показали, что все конечные простые неабелевы группы P с t(P ) 3 квазираспознаваемы, за исключением случая, когда P изоморфна группе A6.

1

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00463) и РФФИ-БРФФИ (грант 04-01-81001).

В данной работе доказывается следующая теорема в направлении исследования квазираспознаваемости групп F4 (q), q нечетно (графы Грюнберга-Кегеля этих групп имеют точно две компоненты связности).

Теорема. Пусть G конечная группа с (G) = (F4 (q)), q нечетно. Тогда цоколь группы G/F (G) изоморфен либо F4 (q), либо Ap1 (r), где p делит r 1, либо 2 Ap1 (r), где p делит r + 1. Здесь p нечетное простое число.

Наши обозначения и терминология в основном стандартны, их можно найти в [6–9]. Если n натуральное число и p простое число, то (n) обозначает множество всех простых делителей числа n. Для конечной группы G положим (G) = (|G|) и µi (G) = {n µ(G) | (n) i (G)}.

Приведем краткое доказательство теоремы. Мы часто используем следующие две предварительные леммы.

Лемма 1. [10, лемма 4]. Пусть P конечная простая группа с несвязным графом Грюнберга-Кегеля. Тогда (а) |µi (P )| = 1 для i > 1, пусть ni = ni (P ) обозначает единственный элемент из µi (P ) для i > 1;

(б) P, 1 (P ), ni для 2 i t(P ) известны.

Лемма 2. [11, лемма 2.2]. Пусть p, q простые числа такие, что pa q b = 1 для некоторых натуральных чисел a, b. Тогда (pa, q b ) = (32, 23 ), (p, 2b ), (2a, q).



Пусть G конечная группа с (G) = (L), где L = F4 (q), q нечётно. Ввиду теоремы Грюнберга-Кегеля, результата М. Р. Зиновьевой (Алеевой) [12] и леммы 1 Inn(P ) G = G/F (G) Aut(P ), где P конечная простая группа с t(P ) t(L), (F (G)) (G) 1 (G) и n2 (L) {ni (P ) | 2 i t(P )}. Далее рассматриваюся все возможности для P, описываемые в лемме 1. Мы рассмотрим только наиболее интересные случаи. Остальные случаи рассматриваются аналогично или непосредственными вычислениями.

элемент(цикл) порядка q 4 q 2 1. Следовательно, в G, а значит и в L, существует элемент x порядка q 4 q 2 1. Так как (| x |, q) = 1, то x полупростой элемент в L. Значит, x принадлежит некоторому максимальному тору T группы L. Поэтому q 4 q 2 1 делит |T |.

Ввиду [9] число |T | принимает одно из следующих значений:

Имеем Отсюда |x| делит q 2 ± q + 1 или q 4 + 1. В первом случае q 4 q делит q 2 ± q + 1, что невозможно. Во втором случае следовательно, q 4 q 2 1 = 5, откуда q 2 = 3; противоречие.

легко видеть, что q = r. Имеем Aut(P ) = Inn(P ) F, где F циклическая группа полевых автоморфизмов группы P и q 3 = p|F | для некоторого нечётного простого числа p.

Предположим, что порядок группы G/Inn(P ) делится на простое число s > 3. Тогда в G \ P существует элемент x порядка s и по [13] CP (x) 3 D4 (q0 ), где q = q0.

((q0 +1)(q0 2)+3, q0 +1) = (3, q0 +1) = 1, так как 3 делит q0 (q0 1), а (q0 (q0 1), q + 1) = 2. Поэтому q0 q0 + 1 делит q q + 1, а это противоречит тому, что s 1 (G).

Итак, G/P является {2, 3}-группой и, следовательно, Поскольку (q 8 1, q(q 6 1)) = q 2 1, (q 2 +1, q 2 1) = (q 4 +1, q 2 1) = 2, то ((q 2 +1)(q 4 +1)/4) (q(q 6 1)) =. Отсюда ((q 2 +1)(q 4 +1)/4) (F (G)). Так как подгруппа F (G) нильпотентна, то в ней найдется элемент порядка s1 s2, где s1 ( q 2 ), s2 ( q 2 ). Значит, и в L найдётся полупростой элемент порядка s1 s2. Этот элемент содержится в некотором максимальном торе T группы L, и значит, s1 s делит |T |. Но это противоречит всем возможностям для |T |.

3) Пусть P Cn (r), n = 2m 2. По лемме противоречие. Поэтому (2, r 1) = 2 и r 2 = q 4 q 2 +1, т. е. rn 1 = 2q (q 1). Положим r1 = r. Тогда (r1 1)(r1 + 1) = 2q 2 (q 2 1).

Ясно, что (r1 1, r1 +1) = 2. Поэтому 2q 2 делит либо r1 1, либо r1 +1.

Отсюда r1 + = 2aq 2 для некоторого a N и {±1}. Если = 1, противоречие. Если = +1, то 2aq 2 (2aq 2 2) = 2q 2 (q 2 1), откуда q 2 1 < 2a(aq 2 1) = q 2 1; противоречие.

По лемме q 2 (q 2 1). Но q 2 1 = (q 1)(q + 1) делится на 4; противоречие.

Итак, r = 3 и, следовательно, откуда и мы так же, как в случае 3), приходим к противоречию.

5) Пусть P Ap1 (r), где p нечетное простое число, r степень некоторого простого числа s и (p, r) = (3, 2), (3, 4). Тогда Пусть (p, r 1) = 1. Тогда (r, q) = 1,то r = q 2 и, следовательно, q 2(p2) + · · · + q 2 + 1 = q 2 1.

Но левая часть этого равенства больше q 2 1; противоречие.

1) r. Положим r1 = r 2. Тогда (r1 1)(r1 + 1) = q 2 (q 2 1) r1. Так как (r1 1, r1 + 1) делит 2 и q нечётно, то q 2 делит либо r1 1, либо r1 + 1.

следовательно, противоречие.

Итак, q 2 делит r1 + 1, т. е. r1 + 1 = aq 2 для некоторого a N.

Отсюда Если a 2, то a(aq 2 2) 2(2q 2 2) = 4(q 2 1) > q 2 1; противоречие.

Поэтому a = 1 и, следовательно, r(q 2 2) = (q 2 1)(r 1), откуда получаем q 2 r = 1, r = r1, p = 3. По лемме 2 q = 3 и r = 8. Отсюда P L3 (8). Ввиду леммы 1 и [7] имеем (G/F (G)) = {2, 3, 7}, 1 (G) = {2, 3, 5, 7, 41}. Отсюда {5, 41} (F (G)) и, следовательно, в F (G), а значит, и в L есть полупростой элемент порядка 205. Этот элемент содержится в некотором максимальном торе T группы L, откуда делит |T |. Но это противоречит всем возможностям для |T |.

Список литературы [1]. Williams J.S. Prime graph components of nite groups // J. Algebra. 1981. V. 69, № 2. P. 487-513.

[2]. Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб. 1989. Т. 180, № 6. C. 787-797.

8 Труды XXXV Молодежной школы-конференции [3]. Мазуров В.Д. Распознавание конечных простых групп S4 (q) по порядкам их элементов // Алгебра и логика. 2002. Т. 41, № 2.

С. 166-198.

[4]. Алексеева О. А., Кондратьев А. С. О распознаваемости группы E8 (q) по множеству порядков элементов // Укр. матем. ж., 2002.

Т. 54, № 7. С. 1003-1008.

[5]. Алексеева О.А., Кондратьев А.С. Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов // Сиб. матем. ж. 2003. Т. 44, № 2. С. 241-255.

[6]. Aschbacher M. Finite group theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

[7]. Conway J. H., Curtis R., Norton S., Parker R. A., Wilson R. A.

Atlas of nite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.

[8]. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. - М.: Мир, 1976.

[9]. Семинар по алгебраическим группам. - М.: Мир, 1973.

[10]. Кондратьев А.С., Мазуров В.Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб.

матем. ж. 2000. Т. 41, № 2. С. 359-369.

[11]. Tiep Pham Huu. p-Steinberg characters of nite simple groups // J. Algebra. 1997. V. 187, № 1. P. 304-319.

[12]. Алеева М.Р. О конечных простых группах с множеством порядков элементов как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Матем. заметки. 2003. Т. 73, № 3. С. 323-339.





[13]. Kleidman P.B. The maximal subgroups of the Steinberg triality groups 3 D4 (q) and of their automorphism groups // J. Algebra.

1988. V. 115, № 1. P. 182-199.

О ПОЧТИ ХОРОШИХ ПАРАХ В РЕБЕРНО

РЕГУЛЯРНЫХ ГРАФАХ

Белоусов И.Н., Гурский Е.И., Дергач А.С., Махнев А.А. Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если a, b – вершины графа, то через d(a, b) обозначается расстояние между a и b, а через i (a) – подграф графа, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии i в от вершины a. Подграф 1 (a) называется окрестностью вершины a и обозначается [a]. Граф называется реберно регулярным графом с параметрами (v, k, ), если содержит v вершин, является регулярным степени k и каждое ребро из лежит в треугольниках. Для реберно регулярного графа через b1 обозначим k 1.

В лемме 1.4.2 из [1] доказано, что если неполный связный реберно регулярный граф с параметрами (v, k, ), в котором 2k/3 1, (эквивалентно k 3b1 ), то имеет диаметр 2, v 2k 2 и выполняется неравенство В работе [2] получен аналог этого результата для реберно регулярных графов с k 3b1 2.

Пусть реберно регулярный граф с параметрами (v, k, ). Тогда степень вершины в любом µ-подграфе из не больше k 2b1.

Поэтому для µ = k 2b1 + 1 и любых вершин u, w, находящихся на расстоянии 2, выполняется неравенство µ(u, w) µ. Пару вершин (u, w), находящихся на расстоянии 2, назовем (почти) хорошей, если µ(u, w) = µ (если µ(u, w) = µ + 1). Расположение хороших и почти хороших пар в реберно регулярных графах изучалось в [3],[4]. В данной работе продолжено изучение расположения почти хороших пар в реберно регулярных графах с k 3b1 4.

Теорема 1. Пусть связный реберно регулярный граф с параметрами (v, k, ) и b1 = k 1. Если u, w, z две вершины из 2 (u), µ(u, w) = µ(u, z) = k 2b1 +2 и подграф = [u][w][z] содержит > 1 вершин, то либо вершины w, z несмежны, k 3b1 4, 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 04-01-81001).

10 Труды XXXV Молодежной школы-конференции причем в случае k = 3b1 4 получим = 2; либо вершины w, z смежны и выполняется одно из следующих утверждений:

(1) подграф является 2-кокликой и k 3b1 1;

(2) подграф является кликой, и если содержит вершину d, окрестность которой не лежит в u [w] [z] и k/ge3b1 3, то = {d, e} и (a) k = 3b1 2 вершина e несмежна с вершиной f из [u][w][z] и с вершиной g из [u] [z] [w], подграф [w] [z] [u] содержит 2k 5 вершин, b1 3 из которых смежны с d, а остальные b вершин смежны с e, вершины f, g смежны и [f ] [g] содержит [w] [z] [d] {e}, или (b) k = 3b1 3, и либо e несмежна с вершиной из [u] [w] [z] и с вершиной из [u] [z] [w], либо (с точностью до перестановки вершин w и z) e несмежна с вершиной из [u] [w] [z] и смежна с вершиной из [z] ([u] [w]), причем в последнем случае подграф [w] [z] [u] содержит 2k 6 вершин, по b1 3 из которых смежны В [5] доказано, что связный реберно регулярный граф диаметра 2 с 2k/3 2 (равносильно с k 3b1 3) либо совпадает с графом P (2) на 20 вершинах или с локально шестиугольным графом на вершинах, либо содержит не более 2k + 5 вершин. В теореме 2 этот результат уточняется.

Теорема 2. Пусть связный реберно регулярный граф диаметра 2 с k 3b1 3. Тогда либо совпадает с графом P (2) на вершинах, либо является локально шестиугольным графом на или 19 вершинах, либо число v вершин графа не больше 2k + 4.

Ключевую роль в доказательстве теоремы 1 играет следующий результат.

Лемма 1. Пусть является реберно регулярным графом с параметрами (v, k, ). Если содержит две несмежные вершины u, w с µ(u, w) = k 1, {u } = [w] u, {w } = [u] w, то выполняются следующие утверждения:

(2) если k > 2b1, то вершины u, w несмежны и µ(u, w ) = Доказательство. Пусть вершина d из [u] [w] имеет степень в графе [u] [w]. Если d смежна с w, то = + 1 и вершина d смежна с u. Если же d несмежна с w, то = и вершина d несмежна с u.

Утверждение (1) доказано.

([a] [u]) {u }, причем для d [a] [u] имеем |[d] (a u )| = |[d] (a w )|. Степень d в графе [a] [u] равна степени d в графе [a] [w]. Если k > 2b1, то u смежна с некоторой вершиной d из [a] [u], противоречие. Итак, каждая вершина из [u ] (u w ) смежна с w. Отсюда µ(u, w ) = k 1 и вершины u, w несмжны.

Лемма доказана.

Список литературы [1]. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs // Springer-Verlag. - Berlin Heidelberg New York, 1989.

[2]. Махнев А.А., Минакова И.М. Об одном классе реберно регулярных графов // Известия Гомельского госуниверситета, Вопросы алгебры, 2000, т. 3 (16), 145–154.

[3]. Махнев А.А., Веденев А.А., Кузнецов А.Н., Носов В.В. О хороших парах в реберно регулярных графах // Дискрет. матем.

2003, т. 15, 77–97.

[4]. Дрожевский А.В., Ищенко П.В., Махнев А.А., Паметов П.Ю.

О почти хороших парах вершин в реберно регулярных графах // Труды регион. молод. конф. "Проблемы теорет. и приклад.

матем.". - Екатеринбург 2003, 31–32.

[5]. Зарипов С.Р., Махнев А.А., Яблонко И.П. Реберно регулярные графы диаметра 2 с 2k/3 2 // Труды Украинского матем. конгресса, Киев 2001, секция 1: Алгебра и теория чисел, Институт математики НАН Украины. - Киев 2003, 46–61.

12 Труды XXXV Молодежной школы-конференции

МИНИМАЛЬНЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ РАСШИРЕНИЯ

ДВУХЭЛЕМЕНТНОЙ НУЛЕВОЙ ПОЛУГРУППЫ И ИХ

ПРИМЕНЕНИЕ

Цель работы найти минимальные регулярные расширения двухэлементной нулевой полугруппы, показать их применение к построению алгебр внедуальных чисел расширений алгебры дуальных чисел, в которых каждое число если не обратимо, то обязательно обобщённо обратимо, и вывести формулы для соответствующих обратных и обобщённо обратных элементов.

Рассмотрим двухэлементную нулевую полугруппу S0 = {0, } с операцией, где = 0. Полугруппа S0 не регулярна; элемент регулярен, но элемент не регулярен: 0 0 0 = 0, 0 0 = 0, Найдём минимальные регулярные расширения S0. Для этого рассмотрим множество M (S0 ), элементами которого являются матрицы всевозможных бинарных отношений на множестве S0 = {0, }:

M (S0 ) полугруппа с операцией умножения матриц, обычной во всём, кроме того, что 1 + 1 = 1. В этом можно убедиться, применив тест Лайта к элементам M2, M11, M12, составляющим порождающее множество M (S0 ) (см. [2]). Более того, M (S0 ) моноид с нейтральным элементом M10.

Все элементы моноида M (S0 ) регулярны, то есть имеют обобщённо обратные. Следовательно, и сам M (S0 ) регулярен.

Установим все соответствия 0 Mi и Mj. Очевидно, что нулю соответствует только M1. Соответствия Mj можно найти, анализируя таблицу Кэли M (S0 ): если на главной диагонали на пересечении j-ой строки и j-ого столбца стоит M1, то Mj соответствует. Получаем, что M3 и M5. Введём следующие обозначения: M (S0 )3 = {M1, M3 }, M (S0 )5 = {M1, M5 }.

Для каждого вложения S0 M (S0 )3 M (S0 ) и S0 M (S0 ) M (S0 ) найдём все возможные минимальные регулярные расширения в рамках M (S0 ), которые обозначим M [(S0 )3 ]i и M [(S0 )5 ]i соответственно. Чтобы добиться регулярности M [(S0 )3 ]i (M [(S0 )5 ]i ), необходимо добавлять к M (S0 )3 (M (S0 )5 ) сначала обобщённо обратные к M3 (M5 ) и новые элементы, появляющиеся в таблице Кэли M [(S0 )3 ]i (M [(S0 )5 ]i ), а затем обобщённо обратные к уже добавленным элементам, причём множества M [(S0 )3 ]i и M [(S0 )5 ]i должны быть замкнутыми. В итоге получили по четыре пятиэлементных минимальных регулярных расширения для M (S0 )3 и M (S0 )5, два из которых совпали:

Для каждой M [(S0 )3 ]i и M [(S0 )5 ]i (i = 1, 2, 3, 4) найдём минимальные регулярные расширения R(S0 )j полугруппы S0, установив соответствия между их элементами:

Полугруппы R(S0 )1 и R(S0 )2 задаются таблицами Кэли:

В итоге найдены два пятиэлементных минимальных регулярных расширения двухэлементной нулевой полугруппы, которые не изоморфны.

Покажем применение полученных результатов к построению алгебр внедуальных чисел расширений алгебры дуальных чисел, в которых каждое число если не обратимо, то обязательно обобщённо обратимо.

Дуальные числа это числа вида v = a + b, где a, b действибазисный элемент, 2 = 0. Кольцо V дуальных тельные числа, чисел наделено операциями сложения и умножения:

Дуальные числа допускают представление матрицами вида тимо, причём v 1 = ab. При (v) = 0, т. е. a = 0, дуальное число b необратимо, а при b = 0 такое число и не обобщённо обратимо.

Построим кольца W(1) и W(2) внедуальных чисел, содержащие кольцо V в качестве подкольца и такие, что необратимые дуальные числа b (b = 0), не обобщённо обратимые в V, обобщённо обратимы в W(1) и W(2). Внедуальные числа из W(1) это числа вида w(1) = a + b + c + d + e, где a, b, c, d, e действительные числа,,,, базисные элементы, перемножаемые в соответствии с таблицей Кэли R(S0 )1. Кольцо W(1) внедуальных чисел наделено операциями сложения и умножения:

(w(1) ) = detW(1) = a 2 (w(1) ), где = (w(1) ) = (a + d)(a + e) bc.

Обозначим µ = µ(w(1) ) = de bc. Тогда = a(a + d + e) + µ.

При (w(1) ) = 0 внедуальное число обратимо, причём [w(1) ]1 = 2 abac(µ+ad)(µ+ae) необратимо, но обобщённо обратимо: при a = 0, = µ = 0 [w(1) ] = s, t произвольные действительные числа.

Внедуальные числа из W(2) это числа вида w(2) = a + b + c + d + e, где a, b, c, d, e действительные числа,,,, базисные элементы, перемножаемые в соответствии с таблицей Кэли R(S0 )2.

Кольцо W(2) внедуальных чисел наделено операциями сложения и умножения:

(2) (2) w1 ·w2 = (a1 +b1 +c1 +d1 +e1 )(a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ) = a1 a2 + (a1 d2 + c1 b2 + c1 d2 + d1 a2 + d1 d2 ) + (a1 e2 + b1 c2 + e1 a2 + e1 c2 + e1 e2 ).

Внедуальные числа из W(2) допускают представление матрицами (w(2) ) = detW(2) = a 2 (w(2) ), где = (w(2) ) = (a + e)(a + c + d) c(b+e). Обозначим µ = µ(w(2) ) = debc. Тогда = a(a+c+d+e)+µ.

При (w(2) ) = 0 внедуальное число обратимо, причём [w(2) ]1 = 2 +(µab)ac(µ+ad)(µ+ae) число необратимо, но обобщённо обратимо: при a = 0, = µ = [w(2) ] = x+(x b+c+d+e ) µ (x c+e )(x c+d ); при a = 0, = 0 [w(2) ] = a1 +c1 [ a2 (2a+b+2c+2d+e)y(a+c+e)t]+y+y+t;

при a = = µ = 0 [w(2) ] = x + y + 1(c+d+e)xcy(c+e)t + 1(c+d+e)xcy(c+e)t ные числа. Дуальные числа b, необратимые и не обобщённо обратимые в V, обобщенно обратимы в W(1) и W(2), причём [(b)(1) ] = y, s, t произвольные действительные числа.

Таким образом, найдены два минимальных регулярных расширения двухэлементной нулевой полугруппы и построены алгебры внедуальных чисел, базисные элементы которых перемножаются в соответствии с таблицами Кэли вышеупомянутых расширений.

Список литературы [1]. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. - М.:

Мир, 1976. C. 281–293.

[2]. Клиффорд А.Х., Престон Г.Б. Алгебраическая теория полугрупп. - М.: Мир, 1972. Т. 1. С. 23–24.

О РАСПОЗНАВАЕМОСТИ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ

ОРТОГОНАЛЬНЫХ ГРУПП

Спектром (G) конечной группы G называется множество порядков ее элементов. Конечная группа G называется распознаваемой по ее спектру (кратко, распознаваемой), если для каждой конечной группы H такой, что (H) = (G), имеет место изоморфизм H G.

Поскольку любая конечная группа, обладающая нетривиальной разрешимой нормальной подгруппой, нераспознаваема (см. лемму 1 в [1]), то особый интерес представляет вопрос о распознаваемости простых и почти простых групп (группа G называется почти простой, если S G Aut(S) для некоторой неабелевой простой группы S). Первые примеры распознаваемых конечных простых групп были указаны Ши и Брандлом в середине 80-х годов прошлого века.

Они же в 1994 году доказали распознаваемость бесконечной серии простых линейных групп L2 (q), q = 9. К настоящему времени решен вопрос о распознаваемости (или нераспознаваемости) для всех групп, простые делители которых не превосходят 13 (см. [2]), доказана распознаваемость нескольких бесконечных серий конечных простых и почти простых групп. Список групп, для которых к настоящему времени решен вопрос распознаваемости см. в [2]. Однако, все имеющиеся примеры распознаваемых групп, исключая знакопеременные и симметрические группы подстановок, ограничены по размерности в следующем смысле. В силу классификационной теоремы все конечные простые неабелевы группы кроме знакопеременных групп подстановок и 26 спорадических групп являются группами лиева типа. Лиев ранг любой конечной группы, для которой решен вопрос о ее распознаваемости, не превосходит 6 для скрученных групп и 5 для нескрученных. В частности, размерность известных распознаваемых классических групп, то есть групп, имеющих 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 02-01-00495 и 02-01-39005, Совета по грантам президента РФ и государственной поддержки ведущих научных школ, проект НШ-2069.2003.1, СО РАН, грант для коллективов молодых ученых, Постановление Президиума СО РАН N 404 от 06.12.2002, а также программы "Университеты России", проект УР.04.01.028.

18 Труды XXXV Молодежной школы-конференции естественное матричное представление, не превосходит 10. Основная цель настоящей работы указать две бесконечные по размерности серии конечных простых групп, распознаваемых по своим спектрам.

А именно, серии ортогональных групп O2k +1 (2) и O2k +2 (2). Так как доказательство результата в основном опирается на лиев подход к описанию соответствующих групп, то в дальнейшем мы будем придерживаться лиевой нотации.

Теорема 1. Для каждого натурального числа m > 2 группы C2m (2) и 2 D2m +1 (2) распознаваемы.

Замечание 1. Имеют место следующие изоморфизмы:

C2m (2k ) S2·2m (2k ) O2·2m +1 (2k ), 2 D2m +1 (q) O2·2m +2 (q).

Замечание 2. Распознаваемость группы 2 D5 (2) доказана в [3]. Нераспознаваемость групп C2 (2) S4 (2) и 2 D3 (2) U4 (2) установлена соответственно в [4] и [5]. Группа же C4 (2) не является распознаваемой, так как ее спектр совпадает со спектром естественного расширения группы 2 D4 (2) с помощью внешнего автоморфизма порядка 2. Последний факт несложно проверить, используя [6]. Таким образом, по модулю теоремы 1 вопрос о распознаваемости групп C2m (2) и 2 D2m +1 (2) полностью закрыт для любого натурального числа m.

Доказательство распознаваемости группы, как правило, включает в себя два основных этапа. На первом этапе доказывается, что группа H, спектр которой равен спектру исследуемой группы G, содержит композиционный фактор, изоморфный группе G. На втором устанавливается, что H совпадает с этим фактором, то есть изоморфна самой G. Поскольку результат первого этапа сам по себе представляет значительную ценность, а к тому же, зачастую, соответствующее утверждение удается получить для более широкого класса групп, то имеет смысл выделить его в отдельную теорему.

Для ее формулировки мы воспользуемся удобным термином, предложенным недавно в [7]. Конечная простая неабелева группа G называется квазираспознаваемой, если каждая конечная группа H такая, что (H) = (G), имеет композиционный фактор, изоморфный G.

Теорема 2. Пусть m и k произвольные натуральные числа.

Группа G квазираспознаваема в каждом из следующих случаев:

Замечание 3. Тот факт, что группа 2 D3 (2) U4 (2) не является квазираспознаваемой, следует из доказательства предложения 6 в [5].

То, что группы C2 (2k ) не являются квазираспознаваемыми, следует из предложения 1 в [2]. Группа C4 (2) не является квазираспознаваемой в силу аргумента, приведенного в замечании 2 к теореме 1.

Вопрос о квазираспознаваемости групп C4 (2k ) при k > 1 остается открытым. Наконец, поскольку распознаваемость групп 2 D2 (2k ) A1 (22k ) была установлена еще Брандлом и Ши, то при доказательстве теоремы мы можем считать, что m > 1.

Список литературы [1]. Мазуров В.Д., О множестве порядков элементов конечной группы, Алгебра и логика, 33, N 1, 1994, 81-89.

[2]. Мазуров В.Д., Распознавание конечных простых групп S4 (q) по порядкам их элементов, Алгебра и логика, 41, N 2, 2002, 166Shi W., Tang C.J., A characterization of some orthogonal groups, Prog. Nat. Sci, 7, N 2, 1997, 155-162.

[4]. Мазуров В.Д., Су М.Ч., Чао Х.П., Распознавание конечных простых групп L3 (2m ) и U3 (2m ) по порядкам их элементов, Алгебра и логика, 39, N 5, 2000, 567-585.

[5]. Мазуров В.Д., Распознавание конечных простых групп по множеству порядков их элементов, Алгебра и логика, 37, N 6 1998, 651-666.

[6]. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A., Atlas of nite groups. - Oxford: Clarendon Press, 1985.

[7]. Алексеева О.А., Кондратьев А.С., Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов, Сиб. матем. ж., 44, N 2, 2003, 241-255.

ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ГРАФЫ И БЛОК-СХЕМЫ

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если a, b – вершины графа, то через d(a, b) обозначается расстояние между a и b, а через i (a) – подграф графа, индуцированный множеством вершин, которые находятся на расстоянии i в от вершины a. Подграф 1 (a) называется окрестностью вершины a и обозначается [a].

Граф называется вполне регулярным графом с параметрами (v, k,, µ), если содержит v вершин, является регулярным степени k, каждое ребро из лежит в треугольниках, и подграф [a] [b] содержит µ вершин в случае d(a, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом.

Если вершины u, w находятся на расстоянии i в, то через bi (u, w) (через ci (u, w)) обозначим число вершин в пересечении i+1 (u) (i1 (u)) с (w). Граф диаметра d называется дистанционно регулярным с массивом пересечений {b0, b1,..., bd1 ; c1,..., cd }, если значения bi (u, w) и ci (u, w) не зависят от выбора вершин u, w на расстоянии i в.

Система инцидентности (X, B) с множеством точек X и множеством блоков B называется t-(V, K, ) схемой, если |X| = V, каждый блок инцидентен ровно K точкам и любые t точек инцидентны ровно блокам. Любая 2-схема является (V, B, R, K, ) схемой, где B число блоков, каждая точка инцидентна R блокам, и имеют место равенства V R = BK, (V 1) = R(K 1).

Блок-схемы естественно возникают внутри сильно регулярных графов. Например, если для клики или коклики X графа достигается равенство в границе Хоффмана (см. [1]), то пара (X, X) является 2-схемой. В монографии Камерона-Ван Линта [2], § 8 рассматривается возможность, когда в сильно регулярном графе для некоторой вершины a пара ((a), 2 (a)) является 2-схемой, в которой точка и блок инцидентны, только если они смежны в. Важный класс примеров дают сильно регулярные графы без треугольников.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 02-01-00772).

В данной работе исследуются вполне регулярные графы диаметра d, в которых для некоторой вершины a пара (d (a), d1 (a)) является 2-схемой. В таком графе d (a) является кликой, кокликой или сильно регулярным графом.

Теорема 1. Пусть вполне регулярный граф диаметра 3, имеющий параметры (v, k,, µ). Тогда следующие утверждения равносильны:

(1) является дистанционно регулярным графом, в котором для каждой вершины a подграф 3 (a) является кликой, кокликой или сильно регулярным графом с параметрами (v, k,, µ ), где =µµ;

(2) для любой вершины a пара (3 (a), 2 (a)) является 2-схемой.

В работе рассмотрены также вполне регулярные графы диаметра 3, в которых для некоторой вершины a пара (3 (a), 2 (a)) является 2-схемой и подграф 3 (a) граф Зейделя (сильно регулярный граф с собственным значением 2). Хорошо известно, что граф Зейделя это полный многодольный граф Kr2, nn решетка, треугольный граф T (m), граф Петерсена, Клебша, Шрикханде, Шлефли или один из трех графов Чанга.

Теорема 2. Пусть вполне регулярный граф диаметра 3. Если для некоторой вершины a пара (3 (a), 2 (a)) является 2-схемой и = 3 (a) граф Зейделя, то выполняется одно из следующих утверждений:

(1) граф Петерсена и схема (, 2 (a)) имеет параметры (10, 30, 12, 4, 4);

(2) является n n решеткой и либо схема (, 2 (a)) имеет параметры (n2, 4n2, 2(n + 1), (n + 1)/2, 1), где n нечетно, либо для n 50 верно одно из утверждений:

(i) n = 3, схема (, 2 (a)) имеет параметры (9, 24, 8, 3, 2), (ii) n = 4, схема (, 2 (a)) имеет параметры (16, 360, 90, 4, 18), (iii) n = 6, схема (, 2 (a)) имеет параметры (36, 225, 50, 8, 10), (iv) n = 10, схема (, 2 (a)) имеет параметры (100, 825, 132, 16, 20), (v) n = 21, схема (, 2 (a)) имеет параметры (441, 2940, 80, 12, 2);

(3) треугольный граф T (n) и для n 50 верно одно из утверждений:

(i) n = 9, схема (, 2 (a)) имеет параметры (36, 84, 14, 6, 2), (ii) n = 11, схема (, 2 (a)) имеет параметры (55, 264, 48, 10, 8), (iii) n = 14 и схема (, 2 (a)) имеет параметры либо (91, 195, 15, 7, 1), либо (91, 546, 60, 10, 6), (iv) n = 15 и схема (, 2 (a)) имеет параметры либо (105, 910, 104, 12, 11), либо (105, 520, 104, 21, 20), (v) n = 17, схема (, 2 (a)) имеет параметры (136, 8568, 378, 6, 14), (vi) n = 20, схема (, 2 (a)) имеет параметры (190, 513, 135, 50, 35), (vii) n = 25, схема (, 2 (a)) имеет параметры (300, 4600, 414, 27, 36), (viii) n = 35, схема (, 2 (a)) имеет параметры (595, 22440, 1056, 28, 48).

Если граф из заключения теоремы 2 является дистанционно регулярным, то не может быть графом Петерсена или 33 решеткой.

Интересным представляется вопрос о существовании графа, в котором третья окрестность каждой вершины является 6 6 решеткой.

Этот гипотетический граф имеет массив пересечений {60, 45, 8; 1, 12, 50}, спектр {601, 1445, 0207, 1069 }, и граф 2 сильно регулярен с параметрами (322, 225, 160, 150).

Список литературы [1]. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs // Springer-Verlag. - Berlin Heidelberg New York. 1989.

[2]. Cameron P.J., van Lint J. Graphs, Codes and Desidns. London Math. Soc. Lecture Notes №43. - Cambridge: Cambridge Univ.

Press. 1980.

ЦЕПИ ДНК И ПРОБЛЕМА РАСПОЗНАВАНИЯ

ТРИВИАЛЬНОГО УЗЛА

e-mail: davydov@csu.ac.ru, denis.perevalov@mail.ru Биологическая постановка задачи.

В настоящее время главным объектом изучения биологии является ДНК – молекула дезоксирибонуклеиновой кислоты, составляющая основу наследственности всех живых организмов. Эта молекула представляет собой спираль, состоящую из двух комплементарных антипараллельных полинуклеиновых нитей. Полинуклеотидная нить состоит из блоков-нуклеотидов мономеров нуклеиновых кислот с пиримидиновым основанием: цитозин (C), тимин (T ); или пуриновым основанием: аденин (A), гуанин (G). Две цепи-нити удерживаются вместе и скручиваются в спираль, благодаря водородным связям между азотистыми основаниями этих цепей.

В силу комплементарности, для задания структуры ДНК достаточно перечислить последовательность нуклеотидов, расположенных вдоль лишь одной из ее нитей. На сегодняшний день имеются обширные библиотеки, в которых выписаны ДНК для многих живых существ, включая человека. Нужно отметить, что длина одной молекулы может составлять несколько миллионов букв, а общий объем генетического материала человека составляет около 3 Гб. Ясно, что для обработки таких огромных массивов информации требуются специальные методы компьютерного анализа. Разработкой таких методов занимается биоинформатика – молодая научная дисциплина, изучающая последовательности ДНК с помощью компьютера.

В то же время некоторые важные биологические процессы связаны с геометрическими свойствами расположения ДНК в пространстве, и потому такие свойства требуют изучения, выходящего за рамки комбинаторного анализа букв. Одно такое свойство – заузленность ДНК. Оказывается, что от топологического типа узла, который соответствует данной молекуле, зависят ее физические свойства 1 Работа поддержана грантом РФФИ 02–01–01013. Авторы выражают благодарность Руслану и Михаилу Шматковым (ИМ СО РАН), Марии Куликовой (ЮУрГУ), Денису Ильютко (МГУ) и Сергею Валентиновичу Ленскому (УрГУ) за предоставленные материалы и ценные замечания в ходе работы над статьей, а также Светлане Татур (УрГУ) за подготовку иллюстрации ДНК.

24 Труды XXXV Молодежной школы-конференции – скорость движения в геле и функциональные – взаимодействие с ферментами.

В связи с этим встает проблема выяснения топологического типа узла, соответствующего нитям ДНК. Для этого в биологии используются различные методики. Некоторые из них базируются на физическом разделении молекул с помощью электрофореза и сейчас наиболее часто используемы биологами. Другие основаны на анализе фотографий ДНК, полученных с помощью электронного микроскопа. Такие фотографии трудно строить, но зато с их помощью, используя топологические методы, можно точно проанализировать заузленность и тип узла ДНК.

Данная работа представляет собой мини-обзор, посвященый задаче выяснения того, является ли молекула ДНК заузленной или нет. Решение задачи строится топологическими методами, используя изображение молекулы ДНК.

Отметим, что данные методы можно применять в двух направлениях:

1. для анализа изображений ДНК, полученных с помощью электронного микроскопа.

2. для автоматического анализа заузленности ДНК при численном моделировании расположения молекулы в пространстве.

Задача распознавания тривиального узла. У проблемы распознавания тривиального узла давняя и богатая событиями история.

Первый такой алгоритм был предложен У. Хакеном в 1961 году. Алгоритм Хакена был универсальным (распознавал любой тривиальный узел), но практически нереализуемым, причем не столько из-за своей сложности, сколько из-за трудностей в его программистской реализации. Впоследствии, на основе идеологии Хакена, строились различные алгоритмы, универсальные и частичные, позволяющие распознавать и развязывать тривиальный узел.

Узлы и их эквивалентность.

Узел это образ окружности при некотором гомеоморфизме пространства S 3. Напомним, что изображаются узлы в виде проекций на плоскость; проекция будет иметь самопересечения: разные точки узла будут проектироваться в одну. Проекция называется правильной, если:

1) в одну точку плоскости проектируется не более двух точек узла;

2) проекция касательной к веревочке в любой точке представляет собой прямую (а не вырождается в точку!);

3) множество перекрестков точек проекции, в которые проектируется две различных точки узла – конечно и проекции касательных в соответствующих данному перекрестку двух точках узла не совпадают.

Для того чтобы показать, какая из проектируемых дуг узла проходит в перекрестке выше, а какая ниже (ближе к плоскости проектирования), нижнюю дугу на рисунке разрывают. Такое изображение проекции называется диаграммой узла.

26 Труды XXXV Молодежной школы-конференции Узлы считаются эквивалентными, если существует гомеоморфизм пространства на себя, переводящий один узел в другой.

Классическая теорема Райдемайстера гласит: два узла эквивалентны тогда и только тогда, когда от одного к другому можно перейти последовательностью преобразований R1, R2 R3.

Проблема распознавания тривиального узла заключается в ответе на вопрос: эквивалентен ли данный узел стандартному вложению окружности в R3 (например x2 + y 2 = 1, z = 0)?

Метод Дынникова.

Метод Дынникова использует представление узла в виде трехстраничной диаграммы.

Пусть P1, P2, P3 - три полуплоскости в евклидовом пространстве R3, границы которых совпадают: P1 = P2 = P3 = l. Обозначим их объединение P1 P2 P3 через Y. На прямой l выберем ориентацию.

Трехстраничной диаграммой зацепления назовeм замкнутую ломаную линию L Y, удовлетворяющую следующим двум условиям:

1)трансверсальность к прямой l: пересечение L l конечно, L l = A1... Am, и два ребра ломаной L, примыкающие к вершине Ak, лежат в различных полуплоскостях Pi для любого k m;

2)монотонность: ограничение ортогональной проекции R l R на каждую из связных компонент пересечения L Pi является монотонной функцией для любого i=1,2,3.

Теорема 1. (Дынников [13]) Любое зацепление можно представить трехстраничной диаграммой.

Рассмотрим множество A, состоящее из следующих двенадцати векторов:

Пусть дана некоторая неориентированная трехстраничная диаграмма L. Обозначим, как и раньше, вершины из L l через A1,..., Am, занумеровав их в порядке следования на линии переплета l. Каждой вершине Ak сопоставим ее тип - вектор xk A, определенный по следующему правилу: i-я координата вектора xk для i {1, 2, 3} равна 1, если Ak - левый конец некоторого ребра, -1, если A - правый конец некоторого ребра, 0, если Ak - не является концом ребра, Трехстраничной диаграмме L сопоставляем следующее слово в алфавите A:

Доказано, что такое слово задает зацепление, если для всех i = Например, трехстраничной диаграмме зацепления Уайтхеда, соответствует слово:

Рис. 3: Диаграмма задается словом a1 a2 d1 a3 d2 d1 d3 d2 d2 d1 d3 c2 c2 c Слова в данном алфавите образует моноид с достаточно длинным списком соотношений. Проблема распознавания тривиального узла таким образом сводится к проблеме распознавания тривиального слова, для чего Дынниковым построено несколько эффективно работающих частичных алгоритмов.

Метод Матвеева. Алгоритм был построен Матвеевым в книге [16] на основе метода Хакена и теории нормальных поверхностей.

Вообще говоря, проблему можно свести к распознаванию почти простого спайна дополнения к узлу в трехмерной сфере (спайны шара и сферы совпадают по определению: спайном замкнутого многообразия M называется спайн многобразия M \ B 3, где B 3 трехмерный шар).

Список литературы [1]. Pickering W. R. Advanced Biology Oxford University Press, 1996.

[2]. Setubal J., Meidanis J. Introduction to Molecular Computational Biology. PWS Publ. Comp., 1997.

[3]. Waterman M.S. Introduction to Computational Biology Chapman and Heil, 1995.

[4]. Sumners W. Lifting the Curtain: Using Topology to Probe the Hidden Action of Enzymes //Notices of the AMS, 42(5), 1995. P. 528– [5]. Sogo J.M., Stasiak A., Martinez-Roblez M.L., Krimer P.B., Hernandez P., Schwartzman J.B. Formation of Knots in Partially Replicated DNA Molecules //J. Mol. Biol., 286, 1999. P. 637–643.

[6]. Wang J. C. DNA Topoisomerases: Why So Many? //J. Biol. Chem., 266, 1991. P. 6659–6672.

[7]. Vologodskii A.V., Crisow N.J., Laurie B., Pieranski P., Katritch V., Dubochet J., Stasiak A. Segmentation and electrophoretic Migration of DNA Knots and Catenanes // J. Mol. Biol., 278, 1998. P. 1–3.

[8]. Stasiak A., Katritch V., Bendar J., Muchoud D., Dubochet J. Electrophorethic Mobility of DNA Knots //Nature, 384, 1996. 122 p.

[9]. Katritch V., Bendar J., Muchoud D., Sharein R. G. Dubochet J., Stasiak A. Geometry and Physics of Knots //Nature, 384, 1996. P.

142–145.

[10]. Laurie B., Katritch V., Sogo J., Kollen T., Dubochet J., Stasiak A.

Geometry and Physics of Catenanes Applied to the Study of DNA Replication //Biophys. J., 74, 1998. P. 2815–2828.

[11]. Katritch V., Olson W., Pieranski P., Dubochet J., Stasiak A. Properties of Ideal Composite Knots //Nature, 388, 1997. P. 148–151.

[12]. Pieranski P., Przybyl S., Stasiak A. Tight Open Knots //Eur. Phys.

J., E6, 2002. P. 123–128.

[13]. Дынников И. А. Трехстраничное представление зацеплений.

УМН, т. 53, вып. 5., 1998. C. 237–238.

[14]. Дынников И. А. Трехстраничный подход в теории узлов. Кодирование и локальные движения, Функ. анализ и его приложения, т.33, вып. 4. C. 25–37.

[15]. Dynnikov I. A. A new way to represent links. One-dimensional formalism and untangling technology. Acta Appl. Math. V. 69. 2001.

P. 243–283.

[16]. Matveev S. V. Algorithmic topology and classication of 3manifolds. Springer - Verlag. 2003. 450 p.

30 Труды XXXV Молодежной школы-конференции

ОБ АВТОМОРФИЗМАХ ГРАФОВ С ПАРАМЕТРАМИ

Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если a, b – вершины графа, то через d(a, b) обозначается расстояние между a и b в графе, а через i (a) – подграф графа, порожденный множеством вершин, которые находятся на расстоянии i в от вершины a. Подграф 1 (a) называется окрестностью вершины a и обозначается через [a]. Через a обозначается подграф на [a] {a}.

Граф называется регулярным графом степени k, если [a] содержит точно k вершин для любой вершины a из. Граф называется реберно регулярным графом с параметрами (v, k, ), если содержит v вершин, является регулярным степени k, и каждое ребро из лежит точно в треугольниках. Граф называется вполне регулярным графом с параметрами (v, k,, µ), если реберно регулярен с соответствующими параметрами и подграф [a] [b] содержит µ вершин в случае d(a, b) = 2. Вполне регулярный граф диаметра 2 называется сильно регулярным графом. Граф называется сильным с параметрами (, µ), если каждое ребро из лежит точно в треугольниках и подграф [a] [b] содержит µ вершин для любых несмежных a, b. Число вершин в [a] [b] обозначим через (a, b) (через µ(a, b)), если d(a, b) = 1 (если d(a, b) = 2), а соответствующий подграф назовем -подграфом (µ-подграфом).

Подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с малыми значениями параметров и µ имеют жестко заданное строение. Так подграф множества неподвижных точек автоморфизма графа Мура сам является графом Мура или звездой (см. лемму 1 [1]).

Основным результатом работы является следующая теорема:

Теорема. Пусть является сильно регулярным графом с параметрами (115, 18, 1, 3), G = Aut(). Если p элемент нечетного 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 02-01-00772).

простого порядка из G, = Fix(p), то выполняется одно из утверждений:

(1) |p| = 3, каждая связная компонента графа является одновершинным графом и || 13 или является вполне регулярным графом с = 1, µ = 3;

(2) |p| = 5 или 23, является пустым графом.

Доказательство теоремы опирается на метод Дональда Хигмена работы с автоморфизмами сильно регулярного графа, предложенный в третьей главе монографии Камерона [2]. сильно регулярный граф, имеющий параметры (115, 18, 1, 3), G = Aut(), P иQ матрицы собственных значений соответствующей 2-схемы, 1 характер представления на подпространстве размерности 2 (g) = 1/8(30 (g) 1 (g) + 15) для любого g G.

Список литературы [1]. Махнев А.А., Падучих Д.В. Об автоморфизмах графа Ашбахера // Алгебра и логика 2001, T. 40, № 2, C. 125–134.

[2]. Cameron P. Permutation Groups, London Math. Soc. Student Texts 45. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

[3]. Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin etc: Springer-Verlag, 1989.

[4]. Willbrink H.A., Brouwer A.E. A (57, 14, 1) strongly regular graph does not exist// Proc. Kon. Nederl. Akad. Ser. A, 1983. Vol. 45, N 1. P. 117–121.

32 Труды XXXV Молодежной школы-конференции

ГРАФЫ БЕЗ 3-ЛАП С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА

ПОРЯДКИ µ-ПОДГРАФОВ

Мы рассматриваем только конечные неориентированные графы без петель и кратных ребер. Пусть граф с множеством вершин V () и множеством ребер E(). Будем писать x y и говорить, что вершины x и y смежны, в том случае, когда {x, y} ребро из E(). Далее всюду, если не оговорено противное, подграф из будет означать порожденный подграф графа, то есть подграф, в котором вершины смежны тогда и только тогда, когда они смежны в.

Если a вершина графа, то через [a] будем обозначать окрестность вершины a, то есть множество вершин графа, смежных с a, а через a объединение [a] {a}, которое назовем замкнутой окрестностью. Для двух несмежных вершин a, b графа, положим M (a, b) = a b. Подграф, порожденный множеством M (a, b) будем называть µ-подграфом вершин a и b, если они находятся на расстоянии два в.

Полный граф с числом вершин n будем обозначать Kn, тогда вполне несвязный граф с n вершинами это его дополнение. Полный многодольный граф с долями, состоящими из m1, m2,..., mk обозначим через Km1,m2,...,mk. Под 3-лапой будем понимать граф K1,3. Путь на n вершинах обозначается через Pn. Для двух вершин x и y графа обозначим через d(x, y) расстояние между ними в. Реберный граф L() графа это граф на ребрах графа, причем два ребра смежны в нем в том и только в том случае, когда они имеют одну общую вершину. Реберный граф полного двудольного графа с долями из m и n вершин называется m n-решеткой.

Реберный граф полного графа Kn называется треугольным графом T (n). Треугольные графы T (n) при n > 3 и mn-решетчатые графы не содержат 3-лап и любая пара несмежных вершин в этих графах лежит в порожденном 4-цикле. Более того, число вершин в любом µ-подграфе равно 4 для треугольного графа и 2 для решетчатого.

Это свойство послужило основанием для данной работы.

Рассмотрим следующие условия, налагаемые на граф :

(i) не содержит 3-лап;

(ii) для любых двух вершин a, b лежащих в порожденном 4-цикле в число вершин в M (a, b) равно µ;

(iii) для любых двух вершин a, b находящихся в на расстоянии 2 друг от друга и не лежащих в порожденном 4-цикле в число вершин в M (a, b) равно и µ.

Графы, удовлетворяющие условиям (i) (iii) были классифицированы в работе [1] В.В. Кабановым и А.А. Махневым при условии, что = µ. При этом оказалось, что если граф содержит пару вершин, лежащих в порожденном 4-цикле, то любая пара несмежных вершин в этом графе содержится в порожденном 4-цикле. В.В. Кабанов высказал гипотезу о том, что это свойство выполняется и для графов, удовлетворяющих условиям (i) (iii) без предположения о равенстве = µ. Работа посвящена доказательству этой гипотезы.

Список литературы [1]. Кабанов В.В., Махнев А.А. Графы без 3-лап с равномощными µ-подграфами // Изв. Урал. гос. ун-та. 1998. №10. (Математика и механика. Вып.1.) С. 44–68.

О ПОЛУГРУППЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОКРУГЛЕНИЙ

Интервальным округлением (I-округлением) [1] называется отображение множества IR всех ограниченных замкнутых интервалов вещественной прямой в себя, удовлетворяющее аксиомам:

Произведение понимается как композиция отображений и, то есть их последовательное выполнение.

Множество всех интервальных округлений обозначим. Примерами I-округлений являются отображения (k, l), действующие по правилу (k, l) (A) = [a ; b+ ], где A = [a, b], a – результат обычного (числового) округления a по недостатку до k-го (десятичного) разряда, а b+ – результат округления b до l-го разряда по избытку (k, l – любые целые числа). Такие округления называются регулярными (r-округлениями).

Множество всех r-округлений, дополненное тождественным отображением и отображениями (k, ) и (, l) :

обозначим (Z). В множестве содержится также отображения, мало похожие на округления, понимаемые в интуитивном смысле. Примером может служить отображение Обширность множества вызывает желание ограничить его, выбросив из него подобного рода “патологические” отображения, и свести (или приблизить) действие произвольного I-округления к действию регулярных округлений. Приведем необходимые для дальнейшего определения и факты.

В статье [1] доказаны следующие предложения:

Предложение 1. Если оба произведения и I-округлений и являются I-округлениями, то и коммутируют: =.

Предложение 2. Если I-округления и коммутируют, то оба произведения и являются I-округлениями.

Обозначим через множество всех коммутирующих друг с другом I-округлений, содержащее все r-округления. В силу предложений 1 и 2 алгебра, · является полугруппой. Округление M в ней не содержится, так как оно не коммутирует с регулярными округлениями. Таким образом, введение на некотором подмножестве множества алгебраической структуры позволяет исключить из дальнейших рассмотрений, по крайней мере, некоторые I-округления “патологического” типа.

В множестве всех I-округлений следующим определением вводится отношение порядка:

В [1] показано, что модель, является полной верхней полурешеткой, иными словами в ней любое семейство A I-округлений имеет наименьшую верхнюю границу A. Подмодель, является подрешеткой полурешетки,.

Так как алгебра, · – коммутативная полугруппа идемпотентов, то в ней можно ввести так называемое отношение естественного порядка, полагая превращающее ее в упорядоченную полугруппу. Для упорядоченной полугруппы, · определения (1) и (2) эквивалентны. Заметим еще, что эта полугруппа является решеткой, в которой В множестве важную роль играют регулярные округления. Алгебра (Z), · является в полугруппе, · подполугруппой, кроме того модель (Z), является подрешеткой в решетке,. В работе [1] доказаны следующие предложения:

Предложение 3. Если I-округление не является r-округлением, то существует покрывающее его r-округление, то есть такое rокругление, что < и внутри отрезка [; ] не содержится r-округлений.

Предложение 4. Если I-округление не является r-округлением и имеет нижнюю границу, принадлежащую подрешетке (Z), то существует покрываемое им r-округление, то есть такое r-округление, что < и внутри отрезка [, ] не содержится r-округлений. При этом является наименьшей верхней границей множества всех нижних границ, I-округления, содержащихся в подрешетке (Z).

Обратимся далее к упорядоченной полугруппе, ·. Обозначим через множество всех I-округлений из, обладающих нижними границами в ее подполугруппе (Z). Легко видеть, что – подполугруппа полугруппы. Действительно, если 1, 2 и (k, l), (r, s) – их нижние границы в (Z),то есть (k, l) 1, (r, s) 2, то Определение. Назовем наибольшей нижней регулярной границей (н.н. р.г.) I-округления \(Z) r-округление (k, l) такое, что (k, l) < и внутри отрезка [(k, l) ; ] нет r-округлений. Наибольшей нижней регулярной границей r-округления (u, v) будем считать его самого.

Согласно предположению 4, у любого I-округления существует н.н.р.г., легко видеть, что она единственная. Действительно, для регулярного округления это утверждение справедливо тривиальным образом. Пусть (Z) и (k, l), (r, s) – две его н.н.р.г., тогда (k, l) <, (r,s) <. Следовательно, (k, l) (r, s) <. Таким образом, (k, l) (k, l) (r, s) <, (r, s) (k, l) (r, s) <, откуда следует (k, l) (r, s) = (k, l) = (r, s).

Наибольшую нижнюю регулярную границу округления будем обозначать r.

Теорема 1. ( · )r = r · r Действительно, так как r, r, то r · r ·. Если при этом r · r = ·, то – r-округление. Тогда ()r =, откуда следует ( · )r = r · r.

Пусть теперь r · r < ·. Допустим, что существует r-округление такое, что r · r < < ·. Так как, то <. Значит, – нижняя граница I-округления в решетке (Z), а так как r – наименьшая верхняя граница множества всех его регулярных нижних границ, то r. По аналогичной причине r. Перемножая эти неравенства, получим r · r, что противоречит допущению r · r <. Таким образом, внутри отрезка [r · r ; ] не содержится r-округлений и, значит, ( · )r = r · r.

Рассмотрим отображение f полугруппы в полугруппу (Z), полагая f () = r. Оно сюръективно: прообразом регулярного округления служит оно само, и, согласно теореме 1, является гомоморфизмом. Применением теоремы о гомоморфизмах для полугрупп, получается Теорема 2. Факторполугруппа Ker f изоморфна (Z).

Заметим, что ядром гомоморфизма f является конгруэнция, определяемая условием 1 2 (f ( 1 ) = f ( 2 )), иными словами, Теорема 3. – связка полугрупп.

Действительно, факторполугруппа = (Z) есть полугруппа идемпотентов. Кроме того, классы конгруэнции являются полугруппами: если r = (k, l), (r, s) некоторые классы, то их произведение тоже класс конгруэнции – r = (k, l) · (r, s).

Заметим, что полученный результат носит промежуточный характер. Дальнейшая задача состоит в описании полугрупп, являющихся классами конгруэнции.

Список литературы [1]. Каминский Т.Э. К теории интервальных округлений //в сб.

"Исследования по математическому анализу и методике преподавания математики". - Вологда, 2000. С. 23–36.

[2]. Kulisch U. An axiomatic Approach to Rounded Computations //Numer. Math. 1971. № 18. C. 1–17.

38 Труды XXXV Молодежной школы-конференции

О ГРУППАХ ПОРОЖДЕННЫХ КЛАССОМ

СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПОРЯДКА

М.Ашбахер и М.Холл в [1] исследовали конечные группы, порожденные классом сопряженных элементов порядка 3, любые два из которых либо коммутативны либо порождают SL2 (3) или A4. Также подобные группы исследовал Штельмахер в [2], с той лишь разницей, что у него элементы порядка 3 могут порождать также и A5. В [1] получен следующий результат: Пусть G конечная группа, порожденная классом D подгрупп порядка 3, таким, что любая пара некоммутирующих подгрупп A, B из D порождает подгруппу, изоморфную SL2 (3) или A4. Предположим, что G не содержит нетривиальных разрешимых нормальных подгрупп. Тогда G изоморфна Spn, Un или P GUn и D однозначно определенный класс подгрупп.

В данной работе исследуется подобный класс групп, но без предположения конечности группы G.

Теорема. Пусть G группа, порожденная классом сопряженности D подгрупп порядка 3, таким, что любая пара подгрупп A и B из D порождает подгруппу, изоморфную SL2 (3) или A4. Тогда либо G U3 (3), либо G расширение 2–группы посредством группы порядка 3, при этом группа G локально–конечна.

Список литературы [1]. Aschbacher M., Hall M. Group Generated by a Class of Elements of Order 3 //J. Algebra 24, 1973. p.591–612.

[2]. Stellmacher B. Einfache Gruppen, die von einer Konjugiertenklasse von Elementen der Ordnung drei erzeugt werden //J. Algebra 30, 1974, p.320–355.

АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ БЭРА-СУЗУКИ ДЛЯ

БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП

Бэр показал [4, Теорема III 6.14], что если группа G конечна и порождается энгелевыми элементами, то G нильпотентна. Важным следствием этого результата является следующее утверждение:

(*)Пусть x p-элемент конечной группы G, тогда x Op (G) в том и только в том случае, если xg, xh p-группа для всех g, h G (здесь Op (G) максимальная нормальная p-подгруппа группы В [5] Сузуки получил другое доказательство (*) и использовал этот результат при исследовании некоторых свойств инволюций в конечных группах (в связи с этим утверждение (*) известно как теорема Бэра-Сузуки). Позднее более короткое и доступное доказательство (*) получили Альперин и Лайонс [1], а сама эта теорема применялась в теории конечных разрешимых групп [3] и при классификации конечных простых групп [6]. Важным практическим следствием теоремы Бэра-Сузуки является утверждение о том, что в простой группе G любая инволюция обращает некоторый нееденичный элемент нечетного порядка [1].

По теореме Бернсайда-Виландта конечная группа нильпотентна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением своих силовских подгрупп [7, теорема 17.1.4]. В связи с этим теорему Бэра-Сузуки можно переформулировать таким образом: Пусть C класс сопряженности конечной группы G. Если любые два элемента из C порождают нильпотентную группу, то и C порождает нильпотентную группу.

Настоящая работа посвящена некоторому обобщению этой "модернизированной" теоремы Бэра-Сузуки.

Теорема 1. Пусть G группа, в которой нет бесконечно возрастающих цепочек нильпотентных подгрупп. Пусть x G и для 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект N 02-01-00495 и Министерства образования РФ, грант N E00-1.0-77. В полном виде статья выйдет в Сибирском Математическом Журнале.

40 Труды XXXV Молодежной школы-конференции любого g G подгруппа x, xg нильпотентна, тогда xG нильпотентна.

Отметим, что если отказаться от требования того, чтобы в группе не было бесконечно возрастающих цепей нильпотентных подгрупп, то нельзя даже рассчитывать на то, что соответствующая группа xG будет локально нильпотентна. В качестве соответствующего примера можно рассмотреть группу Голода с тремя порождающими [7, пример 18.3.2].

Доказательство теоремы 1 опирается на следующий результат Теорема 2. Пусть G группа, N нильпотентная нормальная подгруппа в G, x1,..., xn элементы группы G, порождающие нильпотентную подгруппу K и G = N, x1,..., xn. Группа G нильпотентна тогда и только тогда, когда для любого i = 1,..., n подгруппа N, xi нильпотентна.

Список литературы [1]. Alperin J., Lyons R. On conjugacy classes of p-elements // J. Algebra 19, 1971, P. 536-537.

[2]. Aschbacher M. Finite Group Theory. 2nd edition. - Cambridge University Press, 2000.

[3]. Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups. - Berlin: de Gruyter, [4]. Huppert B. Endliche Gruppen I. - Springer-Verlag, 1979.

[5]. Suzuki M. Finite groups in which the centralizer of any element of order 2 is 2-closed // Ann. of Math 82, 1968. P. 191-212.

[6]. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию, - М.: Мир, 1985.

[7]. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп, 3-е изд. - М.: Наука, Физматлит, 1982.

[8]. Хухро Е.И., Нильпотентные группы и их автоморфизмы. - Новосибирск, 1993.

ТОЧНО-НЕ-АБЕЛЕВЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

С начала развития абстрактной теории групп и по сей день многочисленные исследования вдохновлялись идеей выделения достойного (и доступного) для изучения класса групп путем наложения ограничений на те или иные семейства подгрупп. Достаточно упомянуть основополагающие работы Дедекинда о гамильтоновых группах, Миллера и Морено – о минимальных неабелевых, О. Ю. Шмидта – о минимальных ненильпотентных. После решения в 50-е годы прошлого века 5 проблемы Гильберта открылась возможность разработки подобной проблематики на материале уже не дискретных, а локально-компактных топологических групп, где тоже было получено много интересных результатов. В 1956 г. известный алгебраист Б. Нейман [1] предложил в какой-то мере двойственный подход – наложение ограничений на собственные факторгруппы, первым из которых была коммутативность. Ясно, что успеха в исследовании такого рода можно ожидать лишь для групп, обладающих заметным количеством факторгрупп. Так, работы по этой тематике для дискретных групп были выполнены (см. [2], [3], [5]) в предположении разрешимости изучаемой группы. Цель нашей работы – изучить локально-компактные группы, все собственные факторгруппы которых абелевы, но вместо разрешимости мы предлагаем топологическое ограничение: компактность группы по модулю связной компоненты единицы.

Пусть некоторое групповое свойство. Топологическую группу G назовем точно-не--группой (короче: j-группой), если для любой собственной замкнутой нормальной подгруппы N факторгруппа G/N обладает свойством, а сама G им не обладает. Если в качестве принять абелевость, то возникает класс jA-групп.

Всюду далее будем использовать следующие обозначения:

G – локально-компактная группа с компактной факторгруппой G/G0, где G0 – связная компонента единицы e группы G;

< g1,..., gn > – подгруппа, топологически порожденная элементами g1,..., gn ; G – замыкание коммутанта группы G; [A, B] – замыкание 1 Работа поддержана грантом РФФИ № 04-01-00463.

42 Труды XXXV Молодежной школы-конференции взаимного коммутанта групп A и B; G = A B – топологическое полупрямое произведение замкнутых подгрупп A и B, где A нормальна в G и отображение (a, b) ab, где a A и b B– гомеоморфизм пространства A B на G; Aut(G) – группа всех непрерывных автоморфизмов группы G; Int(G) – группа всех непрерывных внутренних автоморфизмов группы G;

R – аддитивная группа действительных чисел; Cpn – циклическая группа порядка pn ; тот факт, что группы A и B топологически изоморфны будем обозначать A B.

Отметим некоторые свойства jA-группы G.

1 Пересечение любого семейства замкнутых нормальных подгрупп jA-группы G нетривиально.

В частности, пересечение любого семейства собственных характеристических подгрупп нормальной замкнутой подгруппы jA-группы G нетривиально.

Всюду в дальнейшем M есть пересечение всех собственных замкнутых нормальных подгрупп группы G.

2 В jA-группе G выполняется M = G.

3 Если G jA-группа и G/G0 компактна, то G лиева.

4 Если G jA-группа и G/G0 компактна, то G конечна, либо G нетривиальна и G/G0 конечна.

Основным нашим результатом являются следующие две теоремы (теорема 1 в разрешимом случае может быть получена из результатов М. Ньюмана [2] и [3]; однако, для конечных групп доказательство упрощается):

Теорема 1. Для того чтобы конечная группа G была jA-группой, необходимо и достаточно, чтобы она являлась группой типа 1, или 3.

Теорема 2. Для того чтобы ненульмерная локально-компактная группа G с компактной факторгруппой G/G0 была jA-группой, необходимо и достаточно, чтобы она являлась группой типа 4, 5, 6.

a) Зафиксируем m 1 и простое p так, чтобы pm = 2.

Группа G получается путем последовательного центрального склеивания конечного набора групп, каждая из которых изоморфна либо Kp,m, либо Lp,m. Склеивание происходит по циклической группе порядка pm, изоморфной центру Kp,m и Lp,m.

b) Группа G получается путем последовательного центрального склеивания конечного набора групп, каждая из которых изоморфна либо L2,1, либо N2,1. Склеивание происходит по циклической группе порядка 2, изоморфной центру L2,1 и N2,1.

2. G = A B, где A Cm, B абелева p -группа действующая на A точно и неприводимо, pm = 2.

3. G является подгруппой группы Aut(H),содержащей Int(H) и действующей на H точно, где H = S n, S - простая конечная неабелева группа; причем в H нет собственных G-инвариантных подгрупп и G/Int(H) абелева.

4. G = A B, где A R, B действует на A точно либо как группа аффинных преобразований прямой, либо как группа аффинных преобразований прямой первого рода.

a) B0 = e, B/B0 конечна, B действует на A точно как подгруппа из SO2 H+, проекция которой на SO2 содержит не менее трех элементов.

b) B действует на A точно как конечная группа вращений, порядок B больше 4 и не равен 6.

6. G является замкнутой подгруппой группы Aut(H), содержащей Int(H) и действующей на H точно, где H = S n, S - простая 44 Труды XXXV Молодежной школы-конференции связная неабелева группа Ли; причем в H нет собственных замкнутых G-инвариантных подгрупп и G/Int(H) конечная абелева группа.

В процессе доказательства теоремы 2 используются следующие полученные нами результаты:

Теорема 3. Если группа вращений двумерного векторного пространства V над R содержит элемент, который поворачивает V на угол =, где n 5 и n = 6, то в V нет собственных замкнуn тых A - инвариантных подгрупп.

Теорема 4. Пусть группа A, где A0 = e, действует на двумерном векторном пространстве V над R, причем действие A не исчерпывается гомотетиями и A0 действует на V нетривиально. Тогда в V нет собственных замкнутых A-инвариантных подгрупп.

Теорема 5. Если абелева группа A действует на n-мерном векторном пространстве V над R как группа линейных преобразований, то в V найдется либо одномерное, либо двумерное A-инвариантное подпространство.

Теорема 6. Если компактная абелева группа A действует на двумерном векторном пространстве V над R неприводимо как группа линейных преобразований, то она действует как группа вращений.

Теорема 7. Пусть A – абелева группа действующая на двумерном векторном пространстве V над R точно и неприводимо и A/A компактна. Тогда A действует на V как подгруппа из SO2 H+ проекция которой на SO2 содержит не менее трех элементов, если базис в V выбран надлежащим образом.

Следующий результат является обобщением леммы Робинсона [4].

Теорема 8. Пусть A и N такие замкнутые нормальные подгруппы локально-компактной -компактной группы G, что A < N, [A, N ] не тривиальна, N = e. Предположим также, что каждая замкнутая подгруппа из N/A нормальна в G/A, причем A абелева подгруппа не содержащая собственных G-инвариантных замкнутых подгрупп. Тогда A отщепляется в G.

Список литературы [1]. Neumann B.H. Ascending derived series //Compositio Math. 13, 1956. p. 47–64.

[2]. Newman M.F. On a class of metabelian groups //Proc. London Math. Soc., 3, 10, 1960. p. 354–364.

[3]. Newman M.F. On a class of nilpotent groups //Proc. London Math.

Soc. 3, 10, 1960. p. 365–375.

[4]. Robinson D. J. S. Groups whose homomorphic images have a transitive normality relation //Trans. of the Amer. Math. Soc., 176, 1973. p. 181–213.

[5]. Rosati L. A. Sui gruppi a factoriali abeliani. //Mathematiche (Catania), 13, 1958. p. 138–147.

46 Труды XXXV Молодежной школы-конференции

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО

КОДИРОВАНИЯ



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
Похожие работы:

«Аннотация учебной дисциплины Иностранный язык (английский) Направление подготовки: 230700.62 Прикладная информатика Профиль подготовки: Прикладная информатика в химии Форма обучения: очная Курс: 1, 2 1. Дисциплина Иностранный язык (английский) относится к дисциплинам базовой части гуманитарного, социального и экономического цикла. 2. Целями преподавания дисциплины Иностранный язык (английский) являются: - практическая: приобретение студентами коммуникативной компетенции, уровень которой...»

«49-я научная конференция аспирантов, магистрантов и студентов БГУИР, 2013 г. 49-я научная конференция аспирантов, магистрантов и студентов учреждения образования Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники ЭКОНОМИКА, УПРАВЛЕНИЕ, ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ 6–10 мая 2013 года 49-я научная конференция аспирантов, магистрантов и студентов БГУИР, 2013 г. ИНТЕРНЕТ, КАК МАРКЕТИНГОВАЯ ПЛОЩАДКА ДЛЯ ПРОДВИЖЕНИЯ И УВЕЛИЧЕНИЯ ОБЪЕМА ПРОДАЖ Белорусский государственный университет...»

«НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОЕКТНОГО МЕНЕДЖМЕНТА Сборник научных статей по итогам международной научно-практической конференции 29-30 апреля 2014 года ИННОВАЦИОННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИОРИТЕТНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ В ЭКОНОМИКЕ, ПРОЕКТНОМ МЕНЕДЖМЕНТЕ, ОБРАЗОВАНИИ, ЮРИСПРУДЕНЦИИ, ЯЗЫКОЗНАНИИ, КУЛЬТУРОЛОГИИ, ЭКОЛОГИИ, ЗООЛОГИИ, ХИМИИ, БИОЛОГИИ, МЕДИЦИНЕ, ПСИХОЛОГИИ, ПОЛИТОЛОГИИ, ФИЛОЛОГИИ,...»

«ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ РЕГИОНОВ РОССИИ (ИБРР–2009) VI САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ Санкт-Петербург, 28-30 октября 2009 года ТРУДЫ КОНФЕРЕНЦИИ Санкт-Петербург 2010 VI САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ РЕГИОНОВ РОССИИ (ИБРР–2009)   Санкт-Петербург, 28-30 октября 2009 года ТРУДЫ КОНФЕРЕНЦИИ Санкт-Петербург 2010 УДК (002:681):338.98 И74 Информационная безопасность регионов России (ИБРР-2009). VI Санкт-Петербургская Межрегиональная...»

«Математическое и компьютерное моделирование 24 сентября в биологии и химии. Перспективы развития. 2013 II Международная научно-практическая виртуальная конференция Тематика конференции Приглашение Важные даты 6Математический и компьютерный анализ Лаборатория биоинформатики и 12.09.13 - окончание регистрации данных молекулярного моделирования Института 13.09.13 - загрузка тезисов 8Компьютерные технологии в биологии фундаментальной медицины и биологии hКинетические модели 20.09.13 - оплата...»

«РЕГИОНАЛЬНАЯ ИНФОРМАТИКА РИ-2010 ХII САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ Санкт-Петербург, 20-22 октября 2010 года ТРУДЫ КОНФЕРЕНЦИИ Санкт-Петербург 2011 РЕГИОНАЛЬНАЯ ИНФОРМАТИКА РИ-2010 ХII САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ Санкт-Петербург, 20-22 октября 2010 года ТРУДЫ КОНФЕРЕНЦИИ Санкт-Петербург 2011 УДК (002:681):338.98 Р 32 Региональная информатика (РИ-2010). XII Санкт-Петербургская международная конференция Региональная информатика (РИ-2010). Санкт-Петербург, 20-22...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский государственный университет Историко-культурное наследие и информационно-коммуникационные технологии: сохранение и исследование Материалы научной конференции (Пермь, 13-14 ноября 2009 г.) Пермь 2009 УДК 930.2:004 ББК T211(0)c И 90 Историко-культурное наследие и информационноИ 90 коммуникационные технологии: сохранение и исследование: материалы научной конференции...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБР АЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕР АЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБР АЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕ ЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО О БР АЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ КАФЕДР А ИНФОРМАТИКИ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В БИЗНЕСЕ МАТЕРИАЛЫ 7-Й МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ 15–17 июня 2011 г. Санкт-Петербург Conference of St.-Petersburg State University of Economics and Finance Information Technology in Business Под редакцией проф. В.В. Трофимова, В.Ф....»

«УЧЕБНЫЙ КУРС “СТРАТЕГИИ И ИНСТРУМЕНТЫ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ” Описание методологии для преподавателей в странах ВЕКЦА 1 СРГ ПДООС УЧЕБНЫЙ КУРС “СТРАТЕГИИ И ИНСТРУМЕНТЫ ЭКОЛОГИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ” Описание методологии для преподавателей в странах ВЕКЦА ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОТРУДНИЧЕСТВА И РАЗВИТИЯ ОЭСР - это уникальный форум, где правительства 30 демократических стран с развитой рыночной экономикой работают совместно для решения экономических, социальных и экологических проблем...»

«Министерство образования и наук и РФ филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Московский государственный индустриальный университет в г. Вязьме Смоленской области (филиал ФГБОУ ВПО МГИУ в г. Вязьме) Республика Беларусь г. Брест Учреждение образования Брестский государственный технический университет I МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ СТУДЕНЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ РАЗВИТИЕ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ ОТРАСЛИ СТРАН МИРА г. Вязьма 2013...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САРАТОВСКОЙ ОБЛАСТИ САРАТОВСКИЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ: ОПЫТ, ПРОБЛЕМЫ, ПЕРСПЕКТИВЫ Материалы VI научно-практической конференции Саратов 1-2 ноября 2007 г. 1 УДК [37.01:002.66](470)(063) И 74 Информатизация образования: опыт, проблемы, перспективы: Материалы научно-практической конференции. – Саратов: ООО Издательство Научная книга, 2007. – 128 с. ISBN 978-5-9758-0545-4 В сборнике...»

«НАУКА XXI ВЕКА: НОВЫЙ ПОДХОД Материалы VIII молодёжной международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных г. Санкт-Петербург 28-29 января 2014 года Санкт-Петербург 2014 УДК 001.8 ББК 10 Научно-издательский центр Открытие otkritieinfo.ru Наука XXI века: новый подход: Материалы VIII молодёжной международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных 28января 2014 года, г. Санкт-Петербург. – C.-Петербург: Изд-во Айсинг, 2013. – 218 с. В...»

«XII БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКАЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ 28 - 29 мая 2014 г. Минск БГУИР 2014 Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники Федеральная служба технического и экспортного контроля Российской Федерации Оперативно-аналитический центр при Президенте Республики Беларусь Государственное предприятие НИИ ТЗИ Центр повышения квалификации руководящих работников и специалистов...»

«Министерство образования РФ Министерство образования Московской области Институт ЮНЕСКО по информационным технологиям в образовании Computer Using Educators, Inc., USA Федерация Интернет Образования Центр новых педагогических технологий Московский областной общественный фонд новых технологий в образовании Байтик Материалы XIV Международной конференции Применение новых технологий в образовании 26 – 27 июня 2003 г. Троицк Материалы XIV Международной конференции Применение новых технологий в...»

«V САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ РЕГИОНОВ РОССИИ (ИБРР–2007) Санкт-Петербург, 23-25 октября 2007 г. МАТЕРИАЛЫ КОНФЕРЕНЦИИ Санкт-Петербург 2007 http://spoisu.ru V САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ МЕЖРЕГИОНАЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ РЕГИОНОВ РОССИИ (ИБРР–2007) Санкт-Петербург, 23-25 октября 2007 г. МАТЕРИАЛЫ КОНФЕРЕНЦИИ Санкт-Петербург 2007 http://spoisu.ru УДК (002:681):338.98 V Санкт-Петербургская Межрегиональная конференция Информационная...»

«UNESCO Moscow Office for Armenia, Azerbaijan, Belarus, the Republic of Moldova and the Russian Federation Институт ЮНЕСКО по информационным технологиям в образовании Данная публикация включает расширенные тезисы докладов, представленных на Международной конференции ИИТО-2012 ИКТ в образовании: педагогика, образовательные ресурсы и обеспечение качества, проведенной 13-14 ноября 2012 г. в г. Москва, Россия, ИИТО ЮНЕСКО и Московским Офисом ЮНЕСКО в сотрудничестве с Московским государственным...»

«Отчет декана факультета ВМК МГУ за 2011 год академик РАН Моисеев Евгений Иванович ВАЖНЕЙШИЕ СОБЫТИЯ 300 лет со дня рождения М.В. Ломоносова ВАЖНЕЙШИЕ СОБЫТИЯ 19 ноября состоялось Торжественное заседание Ученого совета факультета, посвященное 300-летию М.В. Ломоносова ВАЖНЕЙШИЕ СОБЫТИЯ Заседание Ученого совета факультета, посвященное 300-летию М.В. Ломоносова ВАЖНЕЙШИЕ СОБЫТИЯ В юбилейных Ломоносовских чтениях с докладами выступили около 100 чел. Выпущен сборник тезисов конференции ВАЖНЕЙШИЕ...»

«Третья всероссийская научно-практическая конференция по имитационному моделированию и его применению в наук е и промышленности ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ИММОД-2007 Сборник докладов ТОМ II Генеральный спонсор конференции ООО Экс Джей Текнолоджис www.anylogic.ru Санкт-Петербург 2007 ISBN 978-5-98361-048-4 СОСТАВИТЕЛИ А. М. Плотников, Б. В. Соколов Компьютерная верстка Л. П. Козлова Редактирование Е. П. Смирнова, Н. Н. Елгина © ФГУП ЦНИИ технологии судостроения, 2007 Уважаемые...»

«Конференции, семинары, выставки ГИЛЯРЕВСКИЙ Руджеро Сергеевич – доктор филологических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, зав. отделением научных исследований по проблемам информатики ВИНИТИ ЦВЕТКОВА Валентина Алексеевна – доктор технических наук, зав отделение исследования рынка и распространения информационных продуктов и услуг (ОИРИПУ) ВИНИТИ ПОЛУНИНА Татьяна Константиновна – старший научный сотрудник ОИРИПУ ВИНИТИ ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЩЕСТВО. ПРОБЛЕМЫ. ПЕРСПЕКТИВЫ В мае 2005г. была...»

«НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОЕКТНОГО МЕНЕДЖМЕНТА Сборник научных статей по итогам международной научно-практической конференции 27-28 июня 2014 года ОТ КРИЗИСА К МОДЕРНИЗАЦИИ: МИРОВОЙ ОПЫТ И РОССИЙСКАЯ ПРАКТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПРИКЛАДНЫХ НАУЧНЫХ РАЗРАБОТОК В ЭКОНОМИКЕ, ПРОЕКТНОМ МЕНЕДЖМЕНТЕ, ОБРАЗОВАНИИ, ЮРИСПРУДЕНЦИИ, ЯЗЫКОЗНАНИИ, КУЛЬТУРОЛОГИИ, ЭКОЛОГИИ, ЗООЛОГИИ, ХИМИИ, БИОЛОГИИ, МЕДИЦИНЕ,...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.