WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

АДМИНИСТРАЦИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО БЮДЖЕТНОГО ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО

УЧРЕЖДЕНИЯ «САХУЛИНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

671 630 Республика Бурятия, Курумканский район, село Сахули

улица Школьная, тел 8(30149) 92-7-24, e-mail: sahulischool@yandex.ru

На районную

научно-практическую конференцию

школьников «ВИД»

Секция «Математика»

Тема: «Геометрия в образах правильных многоугольников»

Автор: Шляхов Александр, ученица 8 класса Сахулинской СОШ

Научный руководитель: Телятникова Софья Ниловна, учитель математики 2012 год Содержание:

Введение Глава 1. О правильных многогранниках 1.1.Формула Эйлера. Исследовательская работа 1.2 Доказательство существования пяти правильных многогранников 1.3. Платоновы тела 1.4. Теория Кеплера 1.5.Из истории геометрических фигур 1.6.Современные гипотезы обустройства мира 1.7.Связь многогранников с живой природой Глава 2 Практические исследования Заключение Список литературы ПРИЛОЖЕНИЕ (рисунки, таблицы)

ВВЕДЕНИЕ

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.

Поэтому эпиграфом к своей работе я выбрал слова Л. Кэрролла:

Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробиться в самые глубины различных наук

.

В реферате я доказал существование только 5-ти правильных многогранников, вывел закономерность количества граней, вершин и ребер правильных многогранников (формулу Эйлера), рассмотрел свойства тел Платона, их место в философской картине мира, разработанной мыслителем Платоном. Меня заинтересовала модель Солнечной системы – «Космический кубок»

Кеплера и я попытался доказать истинность гипотезы Кеплера с помощью математических выкладок.

Глава 1. О правильных многогранниках.

1.1. Формула Эйлера Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2 20 ). В столбце 12, «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.

Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).

Вот теперь закономерность видна.

Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»:

Г + В = Р + 2.

Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

1.2. Доказательство существования пяти правильных многогранников.

Зададимся вопросом о том, сколько правильных многогранников существует?

Предположим, что правильный многогранник имеет Г граней, из которых каждая есть правильный n-угольник, у каждой вершины сходятся k ребер, всего в многограннике В вершин и Р ребер, причем n 3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех сторон, и k 3, поскольку у каждой вершины сходится не менее трех ребер.

Считая ребра по граням, получим: n Г = 2Р.

Каждое ребро принадлежит двум граням, значит, в произведении Г число Р удвоено.

n Считая ребра по вершинам, получим: k В = 2Р, поскольку каждое ребро упирается в вершины. Тогда равенство Эйлера дает:

другие значения n и k, большие 3, не удовлетворяют равенству (*). Значит, либо k = 3, либо n = 3.

Пусть n = 3, тогда равенство (*) примет вид:

т.е. k = 3, 4, 5.

это икосаэдр.

Пусть теперь k = 3, тогда равенство (*) примет вид:

Отсюда следует, что n может принимать значения 3, 4, 5.

Случай n = 3 разобран.

Остаются два случая:

- это куб.

это додекаэдр.

Мы доказали, что существует пять и только пять правильных выпуклых многогранников.

Доказательство того, что больше не может быть, содержится в «Началах» Эвклида, причем автором этого доказательства считается Теэтет. Известно, что в течение нескольких лет Теэтет состоял в Академии и был близок к Платону, и этой близостью можно объяснить то обстоятельство, что Платон оказался знакомым с новейшими в то время открытиями в области стереометрии.

1.3. Платоновы тела.



Правильные многогранники называются Платоновыми телами, они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном.

Итак, правильных многогранников Платон знал пять, а число стихий (огонь, воздух, вода и земля) было ровно четыре. Следовательно, из пяти многогранников надо выбрать четыре, которые можно было бы сопоставить со стихиями.

Какими соображениями руководствовался при этом Платон? Прежде всего тем, что некоторые элементы, как он считал, могли перейти друг в друга. Преобразование одних многогранников в другие могли быть осуществлены путем перестройки их внутренней структуры. Но для этого в данных телах нужно было найти такие структурные элементы, которые были бы для них общими.

Из внешнего вида правильных многогранников явствует, что грани трех многогранников тетраэдра, октаэдра, икосаэдра – имеют форму равностороннего треугольника. Два оставшихся многогранника – куб и додекаэдр – построены: первый - из квадратов, а второй - из правильных пятиугольников, поэтому они не могут преобразовываться ни друг в друга, ни в рассмотренные три тела. Это значит, что если мы придадим частицам трех стихий формы тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, то частицы четвертой стихии будем считать кубами или додекаэдрами, но эта четвертая стихия не сможет переходить в три других, а всегда будет оставаться сама собой. Платон решил, что такой стихией может быть только земля и что мельчайшие частицы, из которых земля состоит, должны быть кубами. Тетраэдру, октаэдру и икосаэдру были сопоставлены соответственно огонь, воздух и вода.

Что касается пятого многогранника – додекаэдра, то он остается не у дел. По поводу него Платон ограничивается в «Тимее» замечанием, что «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал».

Возникает вопрос «какими соображениями руководствовался Платон, приписывая частицам огня форму тетраэдра, частицам земли – форму куба и т.д.?». Здесь он учитывает чувственновоспринимаемые свойства соответствующих стихий. Огонь – наиболее подвижная стихия, он обладает разрушительным действием, проникая в другие тела (сжигая или расплавляя, или испаряя их); при соприкосновении с ним мы испытываем чувство боли, как если бы мы укололись или порезались.

Какие частицы могли бы обусловить все эти свойства и действия? Очевидно, наиболее подвижные и легкие частицы, и притом обладающие режущими гранями и колющими углами. Из четырех многогранников, о которых может идти речь, в наибольшей степени удовлетворяет тетраэдр. Поэтому, говорит Платон, образ пирамиды (т.е. тетраэдра) и должен быть в согласии с правильным рассуждением и с правдоподобием, первоначалом и семенем огня, наоборот, земля выступает в нашем опыте как самая неподвижная и устойчивая из всех стихий. Поэтому частицы, из которых она состоит, должны иметь самые устойчивые основания. Из всех четырех тел этим свойством в максимальной мере обладает куб. Поэтому мы не нарушим правдоподобия, если припишем частицам земли кубическую форму. Аналогичным образом с двумя прочими стихиями мы соотнесем частицы, обладающие промежуточными свойствами. Икосаэдр, как самый обтекаемый, представляет частичку воды, октаэдр – частицу воздуха.

Пятый многогранник – додекаэдр – воплощал в себе «все сущее», символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Мы видим, каким образом принцип правдоподобия сочетается у Платона с использованием данных повседневного опыта. Любопытно, что Платон почти не касается других, чисто спекулятивных, мотивов (например, связанных с теорией пропорций), которые играли решающую роль в построении его космологической концепции и которые могли оказать влияние и на некоторые аспекты его теории строения вещества.

Правда, сам Тимей, выступающий в данном случае в качестве профессора, читающего лекцию об устройстве мира, является, по всем данным, представителем пифагорейской школы.

Однако до сих пор не ясно, существовал ли Тимей как историческая личность или же был фиктивным персонажем, придуманным Платоном для того, чтобы не делать автором космологических и физических теорий его обычного героя – Сократа, ибо это слишком не вязалось бы с образом последнего.

Платон «правдоподобно» систематизировал картину мира. Это была одна из первых попыток ввести в науку саму идею систематизации, которая оказалась очень плодотворной. Она помогла отделить одни области знаний от других, сделав научные исследования более целенаправленными.

1.4. Теория Кеплера А теперь от Древней Греции перейдем к Европе XYI – XYII вв., где жил и творил замечательный немецкий астроном, математик и великий фантазер Иоганн Кеплер (1571-1630).

Кеплер действительно выступал в науке как астроном, математик и фантазер. Если бы в нем не было хотя бы одного из названных качеств, то он не смог бы достичь таких высот в науке.

На основе обобщения данных, полученных в результате наблюдений, он установил три закона движения планет относительно Солнца.

Первый закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом-вектором, изменяется пропорционально времени.

Третий закон: квадраты времени обращения планеты вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца.

Но это были только гипотезы, пока их не объяснил и уточнил на основе закона всемирного тяготения Исаак Ньютон (1643-1727), создавший теорию движения небесных тел, которая доказала свою жизнеспособность тем, что с ее помощью люди научились предсказывать многие небесные явления.





Но представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы–столбики цифр. Это результаты наблюдений – как его собственных, так и великих предшественников-астрономов. В этом море вычислительной работы человек хочет найти некоторую закономерность. Что поддерживает его в таком грандиозном замысле? Во-первых, вера в гармонию, уверенность в том, что мироздание устроено закономерно, а значит, законы его устройства можно обнаружить. А вовторых, фантазия в сочетании с терпением и честностью. В самом деле, ну надо же от чего-то оттолкнуться! Искомые законы надо сначала придумать в собственной голове, а потом проверять их наблюдениями.

Сначала Кеплера соблазнила мысль о том, что существует всего пять правильных многогранников и всего шесть (как казалось тогда) планет Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония мира и любовь природы к повторениям сделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небесными телами.

Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.

предположения. В 1596 году он выпустил книгу, в которой они были изложены. Согласно этим предположениям, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В нее, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли.

А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера.

1.5. Из истории геометрических фигур.

То, что сейчас является обязательным курсом на уроках геометрии, в Древние времена было опасным учением. Раньше геометрия считалась священным знанием. О геометрических фигурах таких как: тетраэдр, икосаэдр, куб. О них боялись говорить, за это могли убить, так как эти тела называли кирпичиками Вселенной.

Октаэдр одна из геометрических фигур, которую также относят к сакральной геометрии, алхимии и изучают в стереометрии. Называется Платоновым телом и является одним из 5-ти священных фигур, ее соотносили со стихией воздух. В эзотерике октаэдр имеет эфирное, энергетическое тело человека. Октаэдр имеет следующее значение, состоящий из двух слов восемь и грань, другими словами восьмигранник, ограниченный восемью треугольниками, обладает симметрией. Один из пяти правильных многогранников. Состоит из 8 граней, 6 вершин (в каждой из них сходиться ребра), 12 ребер, сумма углов октаэдра составляет 240°. Октаэдр считается антипризмой имеющей треугольные основания. Гексаэдр и октаэдр дуальны, их можно получить друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно.

Октаэдр Брикара. Французский математик Р. Брикар в 1897 году доказал что существуют изгибаемые октаэдры, эти фигуры не имеют самопересечений и является невыпуклой.

Существует еще один октаэдр, который был открыт Леонардо. Да Винчи и называется он звздчатый октаэдр, его можно рассмотреть как соединение двух тетраэдров. Сто лет спустя октаэдр был заново открыт Иоганном Кеплером, он дал название звезда восьмиугольная.

Где можно встретить октаэдр? Чаще всего можно встретить его именно в природе, природа сама создает такие фигуры как октаэдр, например в виде алмаза. Алмаз это бесцветный кристалл имеющий форму октаэдра. Еще в XIV веке стали замечать огранку, которая выглядит как эта геометрическая фигура. Самый знаменитый алмаз «Шах» сохранил свой естественный вид форму кристалла- октаэдра, его масса составляет 88,7 карата.

Минералы тоже имеют форму октаэдра, например куприт (красная медная руда), также можно найти среди других руд, медных сульфидных, самородная медь, малахит, лимонит. Также хлорид натрия (поваренная соль), оливин, перовскит, шпинель, флюорит. В различных металлах в виде пор или пустотах в его структурах имеют форму октаэдра: никель, магний, титан, лантан. Формула октаэдра применяется для выделки кожи, протравливания тканей. Игрушка головоломка «Октаэдр»

, называется умным подарком и напоминает всем известный кубик рубик.При изготовлении алюминия используют алюминиево-калиевые кварцы имеющие форму нашей геометрической фигуры. Игральные кости также бывают формы октаэдра в играх, основанных на правилах Dungeons & Dragon Совсем недавно была найдена интересная находка в Марокко, это графитовые кристаллы, имеющие форму октаэдра. Это кажется удивительным, потому что графит никогда раньше не принимал такую конфигурацию.

Природа продолжает творить божественные фигуры по всему миру. Удивительно как симметрично она создает снежинки и кристаллы. Преподнося нам изумительное творение и необычные геометрические фигуры.

Сколько всего интересного и удивительного можно узнать о том, что в школе нам казалось совершенно неинтересным и не нужным. Самые авторитетные мыслители относились с почтением к геометрическим фигурам и считали их священными, художники использовали их в своих произведениях, писатели связывали с ними фантастические рассказы и произведения. Расскажите своим детям интересные факты из жизни геометрических фигур и у них обязательно появиться желание с любопытством изучать геометрии и создавать эти замечательные фигуры, на уроках или дома для себя.

Из истории додекаэдра Додекаэдр с греческого переводиться dodeka – двенадцать и hedra – означает грань. Это двенадцатигранник, который составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Додекаэдр правильный многогранник, он имеет три звздчатые формы. Также додекаэдр имеет 12 граней, вершин, в каждой этой вершине сходиться 3 ребра и 30 рбер. Сумма плоских углов равна 324°.

Также где же встречается додекаэдр и что мы об этом слышали? О додекаэдре было известно еще со времен алхимии. Например, детям, которые учились в Пифагорейской школе запрещалось,говорить за пределами школы слово «додекаэдр», так как за это могли сразу убить. К этой фигуре относились как к святой. О ней боялись говорить. Лишь через некоторое время, спустя лет двести, когда жил Платон, об этой фигуре говорили, очень осторожно. Нельзя было сказать что-то лишнее тем более оскорбительное, пренебрежительное. Верили в то, что додекаэдр находиться у внешнего края в энергетического поля людей и это высшая форма сознания человека. К тому же, мы сами живм внутри огромного додекаэдра, в котором содержится вселенная. Когда ум человека достигает самого предела пространства космоса, он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере.

Додекаэдр является завершающей фигурой в геометрии.

Где еще мы встречаем додекаэдр? Подумайте хорошенько, это очень просто все хоть раз видели его как генератор случайных чисел, например, в игре лото по телевизору или в настольных ролевых играх. Додекаэдр можно встретить в игре « Пентакор», мир которого представлен в виде этой фигуры. И, конечно же все слышали про Пентагон, ну так вот это - здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.

И от простого к сложному, результаты, которые были сделаны в августе 2006 года, когда наносились на карты распределения тмной материи в скоплении галактик показали что наша Вселенная выглядит как набор бесконечно повторяющихся додекаэдров.

Правильные многогранники всегда привлекали совершенством своих форм, полной, казалось бы, невозможной симметричностью. Некоторые из таких тел встречаются в природе, например в виде кристаллов, другие - могут быть в виде вирусов, или простейших микроорганизмов. Таким является кристалл пирита по-другому сернистый колчедан это природная модель додекаэдра.

Вирус полиомиелита имеет также форму додекаэдра. Живет, и размножаться только в клетках человека и приматов.

Совсем для нас не заметно на микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр (двойственный многогранник) являются параметрами ДНК, по которым строиться вся жизнь. Можно увидеть, как молекулы ДНК имеют форму вращающегося куба. При повороте этого куба на 72° по специальной модели, из этого получиться икосаэдр, он в свою очередь будет составлять пару додекаэдру. В основе структуры ДНК лежит священная фигура.

Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашел в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако ее следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говорится о кубах средних расстояний от Солнца.

Каким образом они могли появиться в сознании человека, если бы он не рассуждал об объеме пространственных тел? Ведь именно объем, как мы знаем, выражается кубами линейных размеров тел. Но это тоже гипотеза, гипотеза о том, как были найдены законы Кеплера. У нас нет возможности ее проверить, но мы твердо знаем одно: без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

1.6. Современные гипотезы обустройства мира.

Итак, Платон, Кеплер, Пифагор связывали правильные многоугольники с гармоничным устройством мира. А известны ли вам современные гипотезы обустройства мира?

Идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многоугольников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую высказали в начале 80-х гг. ХХ века московские инженеры В.Макаров и В. Морозов.

Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины ребер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций:

Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения мирового океана. В этих узлах находится озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

1.7. Связь многогранников с живой природой.

Рассуждая об устройстве мира, нельзя оставить без внимания живую природу. Встречаются ли в живой природе правильные многогранники?

1. Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

2. Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

3. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.

Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

4. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами (K[Al(SO4)2]·12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

5. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

6. В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

7. Последний правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и зафиксируем результаты в таблице Рассматривая табл. 1, зададимся вопросом: «нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Вот в столбце «грани» все сначала пошло хорошо (4 + 2 = 6, + 2 = 8), а потом намеченная закономерность «провалилась» (8 + 2 20 ). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.

Мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Сравним новую таблицу своих подсчетов (см. табл. 2).

Вот теперь закономерность видна.

Сформулируем ее так: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2»:

Итак, получена формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 году, а позднее переоткрыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников В ходе работы над рефератом я изучил правильные многогранники, рассмотрел их модели, выделил и систематизировал свойства каждого из многогранников. Кроме этого я узнал, что правильные многогранники с древних времен привлекали внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их поражала красота, совершенство, гармония этих многогранников. Пифагорейцы считали эти многогранники божественными и использовали их в своих философских сочинениях о существе мира. Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий ученый Платон. Правильным многогранникам посвящена последняя XIII книга знаменитых «Начал» Евклида. К многогранникам обращались и в более позднее время. Это видно из научных трудов Иоганна Кеплера.

Я решил выполнить презентацию, используя знания, полученные на уроках математики и информатики. Мне хотелось создать такую презентацию, чтобы ее можно было использовать на уроках геометрии. Весь материал реферата не имеет смысла отражать в слайдах, поэтому я выбрал, на мой взгляд, самое важное. Для большей наглядности использовал рисунки, фотографии, таблицы.

Работа мною выполнена в 2-х вариантах: печатном и электронном, предусмотрена возможность показа презентации «Правильные многогранники» при помощи мультимедийной установки.

Помимо специальной литературы я использовал возможности INTERNET.

Презентация создана с помощью программы Microsoft Power Point, содержит 37 слайдов.

Цели: Познакомится с многогранным миром геометрии с Платоновыми телами, их видами.

Использованием формы правильных многогранников природой и человеком.

С звездчатыми многогранниками, их видами.

Архимедовыми телами.

Задачи: Познакомиться с историей многогранников, с их геометрическим строением и свойствами.

Увидеть связь между математической теорией и реальным миром, различными сферами жизни и деятельности человека, общества.

Методы: Исследовательский, частично-поисковый.

1. Учебник. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия, 10- 2. Пособие для поступающих в вузы.Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С. и др.. М., «Наука», 1985.

3. Информатика: Лабораторный практикум. Создание текстовых документов в текстовом редакторе Microsoft Word 2000/ Авт.-сост. В.Н. Голубцов, А.К.Козырев и др., Саратов:

4. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в вузы под ред. Сканави М.И., Санкт-Петербург, 1994.

Интернет – сайты.

Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983.

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М., 1967.

Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.

Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., 1966.

Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.

10.

11. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.

12. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

ПРИЛОЖЕНИЕ

5.1. Формула Эйлера (стр5) Таблица Правильный многогранник Таблица № 2.3.

Теория Кеплера Из истории.

Простой шаблон Шаблон галерея Шаблон с формулами Шаблон календарь Современные гипотезы обустройства мира Связь многогранников с живой природой

Похожие работы:

«ОРГАНИЗАЦИЯ ОСВОБОЖДЕНИЯ КАРАБАХА КАРАБАХ ВЧЕРА, СЕГОДНЯ И ЗАВТРА МАТЕРИАЛЫ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИХ КОНФЕРЕНЦИЙ 1 Редакционная коллегия: Али Абасов, доктор философских наук ; Гасым Гаджиев, доктор исторических наук; Керим Шукюров, доктор исторических наук; Фирдовсийя Ахмедова, кандидат исторических наук; Панах Гусейн, Мехман Алиев, Новруз Новрузбейли, Шамиль Мехти Переводчики: Хейран Мурадова Гюльнар Маммедли Фарида Аскерова ООК (Организация Освобождения Карабаха). Материалы научнопрактических...»

«Учреждение образования ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ ЦЕНТР КИТАЙСКОГО ЯЗЫКА И КУЛЬТУРЫ КАФЕДРА ВОСТОЧНЫХ ЯЗЫКОВ БЕЛОРУССКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ОТДЕЛ ПО ДЕЛАМ ОБРАЗОВАНИЯ ПОСОЛЬСТВА КИТАЙСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ В РЕСПУБЛИКЕ БЕЛАРУСЬ МИНСКИЙ ГОРОДСКОЙ НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЦЕНТР ТАЙГЕН ПУТИ ПОДНЕБЕСНОЙ СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ ВЫПУСК II Минск РИВШ УДК 811.58(082) ББК 81.2Кит.я П Сборник основан в 2006 году Рекомендовано Ученым советом факультета...»

«Антропология советской школы Культурные универсалии и провинциальные практики сборник статей Пермский государственный университет Кафедра детской литературы Санкт-Петербургского государственного университета культуры и искусств Антропология советской школы Культурные универсалии и провинциальные практики Сборник статей Пермь 2010 УДК 371 (316.74)(47+57) ББК 74:71.4 (2) А72 Антропология советской школы: Культурные универсалии А72 и провинциальные практики: сб. ст. / Пермский гос. ун-т. — Пермь,...»

«Институт экономики, управления и права (г. Казань) Главная редакция книги Память Посвящается 70-летию Сталинградской битвы Великая Отечественная война советского народа: история и современность Материалы Всероссийской научно-практической конференции 2 февраля 2013 г. Казань Познание 2013 УДК 940(47)084.8 ББК 63.3(2)622 В27 Печатается по решению редакционно-издательского совета Института экономики, управления и права (г. Казань) Редколлегия: В.Г. Тимирясов ректор Института экономики, управления...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова Центр научного сотрудничества Интерактив плюс Образовательная среда сегодня: стратегии развития Сборник статей Международной научно-практической конференции Чебоксары 2013 УДК 373.1.02(082) ББК 74.202.3я43 О-23 Рецензенты: Рябинина Элина Николаевна, канд. экон. наук, профессор, декан экономического факультета Мужжавлева Татьяна...»

«А.П. Стахов Теории чисел Фибоначчи: этапы большого пути (к завершению международной online конференции Золотое Сечение в современной наук е) 1. Введение Во второй половине 20-го века в современной науке и математике начало активно развиваться научное направление, которое получило название Теория чисел Фибоначчи [1, 2]. На самом деле, предметом этой теории в широком смысле являются два математических объекта, тесно связанные друг с другом: Золотое Сечение, восходящее к античному периоду, и числа...»

«УДК 378 М.Р. Фаттахова, г. Шадринск Организация и функционирование пресс-службы ФГБОУ ВПО ШГПИ как явление саморекламы вуза Статья посвящена истории создания пресс-службы в ШГПИ. Рассматривается процесс ее становления и развития с сентября 2007г. по настоящее время. Пресс-служба образовательного учреждения, ШГПИ. M.R.Fattahova, Shadrinsk Organization and functioning of the press-service ФГБОУ VPO ШГПИ as a phenomenon of self-promotion of the University The article is devoted to the history of...»

«Санкт-Петербургский Филиал Института Востоковедения Российской Академии Наук http://www.orientalstudies.ru ЯКОБСОН ВЛАДИМИР АРОНОВИЧ СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ 21 декабря 2005 г. В печати: 1. Древняя Месопотамия. Раздел для нового учебника по истории Древнего Востока (7 а.л.) 2. Введение к вышеуказанному учебнику (1,5 а.л.). 3. Историография Ассирии (4 а.л.). 4. Правовое и имущественное положение воинов rdum времени I Вавилонской династии. ВДИ 2, 1963 (1,2 а.л.). (переиздано на венгерском яз.) 5. Работа...»

«Экономическая психология: конспект лекций : [учеб. пособие], 2007, Юлия Александровна Морозова, 5982761737, 9785982761736, ВолгГАСУ, 2007 Опубликовано: 22nd January 2013 Экономическая психология: конспект лекций : [учеб. пособие] СКАЧАТЬ http://bit.ly/1cpy02p The Trade Cycle, F. Lavington, 2007, Business & Economics, 112 страниц. PREFACE. THE Author of this very practical treatise on Scotch Loch - Fishing desires clearly that it may be of use to all who had it. He does not pretend to have...»

«Вестник МАПРЯЛ 78 Оглавление Хроника МАПРЯЛ - Уточненный план деятельности МАПРЯЛ.2 Информация ЮНЕСКО.. 5 Памятные даты - 120 лет со дня рождения С.Г. Бархударова.10 - 125 лет А.А. Ахматовой..11 В копилку страноведа - В. Борисенко. Крым в историческом аспекте (краткий обзор).13 В помощь преподавателю - В. Шляхов, У Вэй. Эмотивность дискурсивных идиом.17 Новости образования..26 Новости культуры.. 45 Вокруг книги.. 57 Россия сегодня. Цифры и факты. 63 Калейдоскоп.. 72 1 Хроника МАПРЯЛ План...»

«ДЕВЯТЫЕ ЯМБУРГСКИЕ ЧТЕНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ДОМИНАНТЫ РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА: ИСТОРИЯ И СОВРЕМЕННОСТЬ МАТЕРИАЛЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ Санкт-Петербург 2014 АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.С. ПУШКИНА КИНГИСЕППСКИЙ ФИЛИАЛ ДЕВЯТЫЕ ЯМБУРГСКИЕ ЧТЕНИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ДОМИНАНТЫ РАЗВИТИЯ ОБЩЕСТВА:

«ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В. И. ВЕРНАДСКОГО ИСТОРИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА НОВОЙ И НОВЕЙШЕЙ ИСТОРИИ СБОРНИК ДОКЛАДОВ МЕЖДУНАРОДНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ США: ИСТОРИЯ, ОБЩЕСТВО, КУЛЬТУРА (5 апреля 2013 г.) Симферополь – 2013 США: история, общество, культура Сборник докладов международной конференции США: история, общество, культура (5 апреля 2013 г.): научное интернет-издание / кафедра новой и новейшей истории, Таврический национальный университет имени В.И. Вернадского. – Симферополь,...»

«rep Генеральная конференция 36-я сессия, Париж 2011 г. 36 C/REP/3 5 сентября 2011 г. Доклад Оригинал: английский Доклад Совета управляющих Института ЮНЕСКО по обучению на протяжении всей жизни (ИЮОЖ) о деятельности Института в 2010-2011 гг. АННОТАЦИЯ Источник: Статья V (6) Устава Института ЮНЕСКО по обучению на протяжении всей жизни. История вопроса: В соответствии с этой статьей Совет управляющих (ИЮОЖ) представляет Генеральной конференции доклад о деятельности Института. Цель: В докладе...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ АФРИКИ РАН МОСКВА 2013 УДК 94(100-87) ББК 63.3(0)63 Ш 95 Ответственный редактор: д. и. н. А. Ю. Урнов Шубин В. Г. Горячая холодная война: Юг Африки (1960– Ш 95 1990 гг.). — М.: Издательский дом ЯСК, 2013. — 368 с. ISBN 978-5-9551-0655-7 Книга посвящена национально-освободительному движению на Юге Африки в период холодной войны и роли нашей страны в поддержке борьбы против колониализма и расизма. Она основана на отечественных и...»

«Труды VI Международной конференции по соколообразным и совам Северной Евразии ЗИМНИЕ УЧЕТЫ СОКОЛООБРАЗНЫХ В КИРОВОГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ А.А. Шевцов Куколевский НПК (Украина) shevcov_anatolii@mail.ru Winter surveys of raptors in Kirovohrad Region. – Shevtsov A.A. – During the last 14 winter seasons (December 1998 – February 2012) the observations were undertaken to obtain assessment of raptor populations inhabiting the entire Kirovohrad Region. Totally 125 one-day surveys were conducted with the...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ – 2005 Материалы всероссийской научно-практической конференции, посвященной 15-летию со дня принятия Декларации о государственном суверенитете Республики Башкортостан и 5-летию образования Нефтекамского филиала БашГУ 24-25 октября 2005 года Часть II РИО БашГУ УДК 001+37 ББК 72:74 Н 34 Редакционная коллегия: д-р...»

«Генеральная конференция 37 C 37-я сессия, Париж 2013 г. 37 C/35 4 сентября 2013 г. Оригинал: английский Пункт 12.1 предварительной повестки дня Положение и правила о персонале АННОТАЦИЯ Источник: Статьи 12.1 и 12.2 Положения о персонале. История вопроса: В соответствии со статьей 12.1 Положения о персонале Статьи настоящего Положения могут быть дополнены или изменены Генеральной конференцией при условии сохранения за сотрудниками приобретенных ими прав. Согласно статье 12.2 Генеральный...»

«Либерализация внешней торговли Республики Корея и перспективы российско-корейского сотрудничества Доклад на 18-й ежегодной конференции ИДВ РАН – Центр АТР Ханьянского ун-та Москва, 18-19 июня 2007 г. Д.э.н. С.С. Суслина Главный научный сотрудник ИДВ РАН, Профессор кафедры мировой Экономики МГИМО (У) МИД РФ В своем выступлении мне бы хотелось остановиться на следующих важных, с моей точки зрения, вопросах. 1. Основные причины, история и ход реализации политики РК на заключение соглашений о...»

«Олег СИВИРИН Забытые и неизвестные Документально художественный очерк.Но враг друзьями побежден, Друзья ликуют, только он На поле битвы позабыт, Один лежит. А.А. Голенищев Кутузов Военная тайна 24 января 1987 года в областной газете Комсомольская искра под руб рикой Мое мнение было опубликовано обращение: Сегодня я обра щаюсь к делегатам областной комсомольской конференции с предложением: давайте пройдем Поясом Славы, местами боев, заглянем в балки и овраги, проверим засыпанные окопы. Не...»

«Толкование сновидений, 2008, Зигмунд Фрейд, 5971387553, 9785971387558, Изд-во АСТ, 2008 Опубликовано: 3rd September 2012 Толкование сновидений СКАЧАТЬ http://bit.ly/1eXIlSe Некрополь, В. Ходасевич, 2008,, 315 страниц. Содерж.: Некрополь ; Дом искусств. Апостол эгоизма Макс Штирнер и его философии анархии, М. А. Курчинский, 1920, Egoism, 252 страниц.. Кабинет сновидений доктора Фрейда, Volume 5, Виктор Мазин, 1999, Psychoanalysis, 201 страниц.. Пульс-информ, Issues 1-3,, 1992, Youth,.....»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.