WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

141

Дифференциальные и интегральные уравнения

КОНСЕРВАТИВНЫЙ ВАРИАНТ МЕТОДА

КОЛЛОКАЦИЙ И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Исаев В.И.1

e-mail: issaev.vadim@gmail.com

В данной работе предложен и реализован новый консервативный

вариант метода коллокаций и наименьших квадратов (КНК) для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения коллокаций и условия согласования, используемые в нем для построения приближенного решения, получены в результате аппроксимации законов сохранения в ячейках сетки. В численных экспериментах с тестовыми решениями, имеющими разрывы производных, показано, что приближенное решение, получаемое в новом варианте метода КНК, сходится к точному с порядком не хуже первого на последовательности сеток с мельчением шага.

Постановка задачи и описание метода. В прямоугольной области = [0, 1] [0, 1] рассмотрим краевую задачу u u k(x, y) + k(x, y) = f (x, y), (1) x x y y u = ub (x, y), (2) где величины k(x, y) > 0 и f (x, y) известны, а u(x, y) искомая функция. Интегральный закон сохранения, соответствующий уравнению (1), имеет вид u k(x, y) |dS| = f (x, y)dxdy, (3) n S V где V подобласть, S граница V, n единичная внешняя нормаль к S. В обобщенной постановке задачи (1), (2) требуется найти функцию u(x, y), удовлетворяющую краевому условию (2) и уравнению (3) для любой подобласти V.

В методе КНК область покрывается сеткой с прямоугольными ячейками [xi, xi+1 ] [yj, yj+1 ] (ячейка с координатами (i, j)), где 1

Работа поддержана грантами РФФИ № 06-01-00080-а.

142 Труды 40 Молодежной школы-конференции 0 = x0 < x1 <... < xNx = 1, 0 = y0 < y1 <... < yNy = 1 узлы сетки размера Nx Ny. В каждой ячейке вводится локальная система координат 1 = (xxci )/hxi, 2 = (yycj )/hyj, где hxi = (xi+1 xi )/2, hyj = (yj+1 yj )/2 половины шагов сетки, xci = (xi+1 + xi )/2, ycj = (yj+1 + yj )/2 координаты центра ячейки.

В рассматриваемом здесь варианте метода КНК приближенное решение задачи (2), (3) ищется в виде кусочно-полиномиальной функции. В каждой ячейке сетки с координатами (i, j) оно представляется в виде полинома второго порядка от 1 и 2 uh (1, 2 ) = Cij, 0 +Cij, 1 1 +Cij, 2 2 +Cij, 3 1 +Cij, 4 2 +Cij, 5 1 2, (4) где Cij, 0,..., Cij, 5 постоянные коэффициенты. Для их нахождения в каждой ячейке сетки выписываются уравнения коллокаций требования выполнения закона сохранения (3) в ячейке, условия согласования, обеспечивающие непрерывность решения и равенство потоков на границах между соседними ячейками, и граничные условия, если сторона ячейки расположена на границе расчетной области. Общее число уравнений превосходит количество неизвестных. Так, например, в ячейках, лежащих внутри области, на 6 неизвестных в рассматриваемом здесь варианте метода КНК записываются 9 условий. В совокупности эти уравнения, собранные по всем ячейкам расчетной области, образуют переопределенную систему линейных алгебраических уравнений (CЛАУ) глобальную СЛАУ. Для решения последней здесь используется метод итераций по подобластям, в котором каждая ячейка сетки является подобластью. В нем решение последовательно уточняется в ячейках сетки.

На итерации по ячейке с координатами (i, j) из глобальной СЛАУ берутся уравнения, в которые входят коэффициенты этой ячейки Cij, 0,..., Cij, 5. Значения коэффициентов, соответствующих соседним ячейкам, не изменяются и переносятся в правую часть уравнений. Полученная таким способом переопределенная система для локальная СЛАУ решается коэффициентов текущей ячейки ортогональным методом, который при отсутствии ошибок округления дает то же псевдорешение, что и метод наименьших квадратов (МНК). При этом ортогональный метод не ухудшает в процессе решения обусловленность системы в отличие от МНК.

Дифференциальные и интегральные уравнения Потоки через стороны ячеек определяются формулами xi+ uh ± Wi+ 1,j = lim k dx, y + y=yj ± xi (5) yj+ uh ± Wi,j+ 1 = lim k dy, x + x=xi ± yj где uh (x, y) = uh (1 (x, y), 2 (x, y)) в каждой ячейке сетки. Закон сохранения (3), записанный для ячейки (i, j), имеет вид xi+1 yj+ + + f (x, y)dxdy. (6) Wi+1,j+ 1 Wi,j+ 1 + Wi+ 1,j+1 Wi+ 1,j = 2 2 2 От задачи (2), (3) с переменным коэффициентом k(x, y) перейдем к задаче, в которой он постоянен внутри каждой ячейки сетки, то есть k(x, y) = kij в ячейке (i, j). Например, значение kij можно взять равным k(xci, ycj ). Используя (4), (5), (6), получаем уравнение коллокаций в окончательном виде В каждой ячейке в точках согласования с локальными координатами (0.5, 1), (0.5, 1), (1, 0.5), (1, 0.5), не лежащих на границе области, записываются уравнения 1 uh = 0, где uh = u+ u, h h u+ и u пределы функции uh (x, y) в точках согласования, вычисh h ленные со стороны текущей и соседней ячеек соответственно. Для обеспечения равенства потоков на каждом ребре ячейки (i, j), не лежащем на границе, записывается условие 1 uh + 2 W = 0, где слагаемое uh вычисляется в середине ребра, а величина W равна Wi,j+ 1 Wi,j+ 1, Wi+1,j+ 1 Wi+1,j+ 1, Wi+ 1,j Wi+ 1,j, Wi+ 1,j+1 Wi+ 1,j+1 для левого, правого, нижнего и верхнего ребер соответственно. Положительные постоянные множители 1, задают вес отдельных слагаемых в уравнениях и вес условий согласования в переопределенной СЛАУ.

В качестве граничных условий используются требования выполнения уравнения (2) в двух точках каждого ребра, лежащего на границе области. Они записываются в точках с локальными координатами (1, ±0.5), (1, ±0.5), (±0.5, 1), (±0.5, 1).

При записи переопределенной СЛАУ уравнения коллокаций умножаются на весовой множитель 3, граничные условия на 4. За счет выбора параметров 1,..., 4 можно влиять на свойства метода КНК: точность приближенного решения, обусловленность глобальной СЛАУ, скорость сходимости итераций по подобластям и др.

Численные эксперименты. Для определения порядка сходимости приближенного решения к точному проведены расчеты на последовательности равномерных сеток с мельчением шага вдвое. Тестовое решение и функции k(x, y), f (x, y) вычислялись по формулам f (x, y) = 10 er (1 + r)/r, где r = (x + 0.1)2 + (y + 0.1)2.

Таблица 1: Погрешность приближенного решения метода КНК Для проверки возможностей численного метода, тестовое решение выбрано таким образом, что на кривой r = 0.5 частные производные по нормали к ней терпят существенные разрывы (значения различаются в 10 раз). В таблице приведены значения максимальной погрешности, достигнутой в области. Эксперименты проводились при 1 = 2 = 3 = 4 = 1. Видно, что имеет место сходимость приближенного решения с порядком не хуже первого. Наибольшая погрешность достигается в ячейках, содержащих линию разрыва производных. Для всех остальных ячеек она более чем в 2 раза меньше.

Таким образом, новый вариант метода КНК позволяет рассчитывать обобщенные решения задачи (1), (2) с хорошей точностью.



Похожие работы:

«опубликованы могут быть только работы, поступившие не позднее 15.06.2011 г. • ИНФОРМАЦИОННОЕ ПИСЬМО Адрес: 119991, Москва, Ломоносовский проспект, 2/62 Научный центр здоровья детей РАМН w w w. p e d i a t r - r u s s i a. r u Намазова-Баранова Лейла Сеймуровна Телефон: 8 (495) 967-15-66 E-mail: konkurs@nczd.ru Тезисы Для публикации тезисов необходимо перевести сумму в размере 150 рублей на расчетный счет Общественной организации Союз педиатров России или оплатить регистрационный взнос, в...»

«Атом для мира Совет управляющих GOV/2010/49/Add.1GC(54)/14/Add.1 Генеральная конференция 22 сентября 2010 года Общее распространение Русский Язык оригинала: английский Только для официального пользования Пункт 8 b) повестки дня Совета (GOV/2010/50) Пункт 20 повестки дня Конференции (GC(54)/16) Ядерный потенциал Израиля Доклад Генерального директора Добавление В дополнение к пункту 4 доклада Генерального директора Совету управляющих и Генеральной конференции, озаглавленному “Ядерный потенциал...»

«17 марта 2013 / Круглый стол Конференция театральных критиков СТД России, посвященная 25-летию Театра под руководством Геннадия Чихачева Г. ЧИХАЧЕВ: Добрый день! У нас сегодня, наконец-то, завершение празднования 25-летия Театра. Завершается оно Круглым столом, который организовал Союз театральных деятелей России. Когда нам было 10 лет, у нас была подобная встреча с критиками СТД, и мы тогда зафиксировали наше творческое состояние. В этом юбилейном году я попросил Александра Калягина прислать к...»

«ERC/12/REP ДОКЛАД Баку, Азербайджан Двадцать восьмая Региональная 19-20 апреля 2012 года конференция ФАО для Европы Государства – члены ФАО, участвовавшие в работе Региональной конференции для Европы Австрия Испания Словакия Азербайджан Италия Словения Албания Казахстан Соединенное Королевство Андорра Кипр Таджикистан Армения Кыргызстан Туркменистан Беларусь Латвия Турция Бельгия Литва Узбекистан Болгария Люксембург Украина Босния и Герцеговина Мальта Финляндия бывшая югославская Монако Франция...»

«ВЯЧЕСЛАВ КОЛЕЙЧУК: Я МОЯ АЗБУКА Азбука Колейчука 2 3 А Серия Творческая лаборатория тр еа йт ны и МГХПА ль и м е н и С. Г. С т р о г а н о в а та АЗБУКА представляют совместный проект То в связи с выставкой к 70-летию со дня рождения В.Ф.Колейчука КОЛЕЙЧУКА Москва 2012 Инсталляция: В.Ф.Колейчук и А.В.Колейчук Куратор выставки: К.Н.Гаврилин Идея и дизайн издания: А.Н.Лаврентьев Верстка: Д.В.Колейчук Фотографии и проекты из архива художника ISBN 978-5-87627-053- © В.Ф.Колейчук, текст и...»

«К учету тенденций изменения вариабельности и экстремальности климата в выработке стратегий адаптации А.М. Стерин, А. А. Тимофеев (ГУ ВНИИГМИ-МЦД) Г. Обнинск, Российская Федерация Электронная почта: STERIN@METEO.RU Taking into account the trends for the change of climate variability and extremality in formulating adaptation strategies А.М. Sterin and А. А. Тimofeev (SE “RIHMI-WDC”) Obninsk, the Russian Federation E-mail: STERIN@METEO.RU Конференция глоб изм климата 20.12.2009 адаптация ноябрь...»

«Утверждены распоряжением заместителя мэра городского округа Тольятти от _ № _ Изменения в устав муниципального бюджетного дошкольного образовательного учреждения детского сада комбинированного вида № 86 Почемучка городского округа Тольятти СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО Руководитель департамента Руководитель департамента по управлению муниципальным образования мэрии городского имуществом мэрии городского округа Тольятти округа Тольятти _ /А.М. Чижикова/ _/Т.И. Леснякова/ _ 20_г. _20_г. ПРИНЯТЫ...»

«Свердловская областная универсальная научная библиотека им. В. Г. Белинского Информационный бюллетень Март. 2014 Составитель Л. Ф. Туголукова Содержание Мероприятия общебиблиотечные (международные, федеральные, региональные, городские) Мероприятия в дирекции (оперативные совещания при директоре, совещания зав. отделами, закупки) Мероприятия в отделах Выставки. Презентации Лекции. Семинары. Клубы Вечера. Проекты. Программы Ремонтно-реставрационные работы В профсоюзном комитете Информация о...»

«Национальный офис Темпус в Узбекистане Информационный бюллетень, июль 2013 год Видео - конференция Видео - конференция Темпус Темпус В целях информирования вузов республики об официальном объявлении 6-го конкурса Темпус (26 марта 2013 г.), его Объявлен конкурс графике и новых элементах. 13 декабря 2012 года при программы Эразмус поддержке Министерства высшего и среднего специального Мундус II со сроком образования Республики Узбекистан состоялась видеоподачи заявок - 15 конференция с участием...»

«Служения и мероприятия недели Планы на будущее Спасение во Христе Иисусе. 2 Тим.2:10 1 ОКТЯБРЯ, ПОНЕДЕЛЬНИК 9 октября, вторник, 7рм pm—Молитвенная группа сестёр Встреча-общение всех Спевка мужского хора ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЮЛЛЕТЕНЬ служителей с участием Спевка женского хора Франца Тиссена СЛАВЯНСКОЙ ЦЕРКВИ ЕХБ Репетиция школьного симф. оркестра 10 октября, среда ОКТЯБРЯ, ВТОРНИК Младший детский хор 9:00 аm—Миссионерская кухня и общение участвует в служении. СПАСЕНИЕ 7:00 pm—Репетиция духового...»

«Заявка на участие Решение о включении Вашего доклада в программу конференции и дальнейшая информация (способы в конференции NPNJ’2012 оплаты оргвзноса, условия проживания и пр.) будет содержаться во Втором информационном сообщении, 1. Фамилия, имя, отчество: которое будет разослано зарегистрировавшимся участникам по указанным в заявках электронным адресам в конце марта 2012 г. 2. Год рождения: 3. Ученая степень, звание (студент, аспирант): Контакты Почтовый адрес: 125993, Москва A-80, ГСП-3,...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ СОЦИАЛЬНЫЕ ИНТЕРЕСЫ, ПОТРЕБНОСТИ, ЖИЗНЕННЫЕ ПЕРСПЕКТИВЫ СОВРЕМЕННОЙ ТВОРЧЕСКОЙ МОЛОДЁЖИ для учителей СОШ и преподавателей СПО г. Москвы и Московской области СБОРНИК НАУЧНЫХ СТАТЕЙ Москва Российский университет дружбы народов 2013 Утверждено РИС Ученого совета Российского университета дружбы народов Издание подготовлено в рамках реализации Программы...»

«Список публикаций 1. Фурман Я.А. Хафизов Д.Г. Распознавание групповых точечных объектов в трехмерном пространстве// Автометрия, 2003, том39, №1. С. 3-18. 2. Хафизов Д.Г. Совмещение повернутого и исходного КТС при неизвестных параметрах вращения в книге Комплекснозначные и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов Под ред. Я.А. Фурмана.-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2004, С.224-251. 3. Furman Ya.A., Khafizov D.G., Khafizov R.G. Image Recognition of Spatial Objects on the Basis of Their...»

«ПРЕДЛОЖЕНИЕ ПО СТРАТЕГИИ ДОСТУП К ФАЙЛАМ ЗОН рДВУ В БУДУЩЕМ СТАТУС ДОКУМЕНТА Данный документ представляет собой предложение по стратегии (в дальнейшем: Предложение), разработанное участниками сообщества, составляющими консультативную группу по вопросам доступа к файлам зон (в дальнейшем: Группа). В Предложении представлены рекомендации Группы в отношении единой масштабируемой модели реализации доступа к файлам зон в новых рДВУ и призыв к принятию данной модели, обращённый к операторам...»

«Россия, 620026, Екатеринбург, ул. Красноармейская, 78а Информационно-аналитический отдел Тел.: (3432) 62-68-08; Факс: (3432) 62-53-74 Market Daily Фондовый центр компании “Уником Партнер” Тел.: 61-53-65; 62-54-40; 61-79-34; 62-60-71 Представительство в Internet: www.StockBroker.ru 23 января 2004 E-mail: research@unicompartner.ru КЛЮЧЕВЫЕ НОВОСТИ РТС 22.01.04 23.01.04 Измен. Сегодня: Пресс-конференция, посвященная формиро- $/RUR 28,8026 28,6959 -0,37% ванию нового ПИФа под управлением УК...»

«R CDIP/8/9 PROV. ОРИГИНАЛ: АНГГЛИЙСКИЙ ДАТА: 1 МАРТА 2012 Г. Комитет по развитию и интеллектуальной собственности (КРИС) Восьмая сессия Женева, 14 - 18 ноября 2011г. ПРОЕКТ ОТЧЕТА подготовлен Секретариатом 1. Восьмая сессия КРИС была проведена с 14 по 18 ноября 2011 г. 2. На сессии были представлены следующие государства: Алжир, Ангола, Аргентина, Австралия, Австрия, Бангладеш, Барбадос, Бельгия, Болгария, Буркина-Фасо, Бурунди, Камбоджа, Канада, Чили, Китай, Колумбия, Кот-д’Ивуар, Куба, Кипр,...»

«RU 2 354 364 C1 (19) (11) (13) РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ (51) МПК A61K 31/194 (2006.01) A23L 1/29 (2006.01) A61P 31/22 (2006.01) ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ, ПАТЕНТАМ И ТОВАРНЫМ ЗНАКАМ (12) ОПИСАНИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ К ПАТЕНТУ (21), (22) Заявка: 2007144471/14, 29.11.2007 (72) Автор(ы): Амбалов Юрий Михайлович (RU), (24) Дата начала отсчета срока действия патента: Васильева Ирина Игоревна (RU), 29.11.2007 Донцов Денис Владимирович (RU), Рязанова Ольга Артуровна (RU), (45)...»

«РЕЗОЛЮЦИЯ республиканской научно-практической конференции Заповедники Крыма на рубеже тысячелетий 27 апреля 2001 года, Симферополь, Крым В Конференции приняли участие представители 19 государственных организаций и учреждений, многочисленных общественных организаций Крыма, а также гг. Полтавы, Черновцов и Риги. Участники конференции ознакомились с 68 заявленными докладами 90 авторов. В ходе обсуждения содержания докладов принята согласованная резолюция, в которую включены наиболее животрепещущие...»

«Информационное письмо № 2 от 02.11.2012 Первый Национальный Суперкомпьютерный Форум (НСКФ-2012) Россия, Переславль-Залесский, ИПС имени А.К. Айламазяна РАН, 29–30 ноября 2012 года Важная информация для участников Уточнены требования к оформлению тезисов и срок их подачи: Тезисы будут использованы Программным комитетом для отбора докладов. Тезисы должны полностью отражать суть планируемого доклада, объем — на усмотрение авторов, от 1 стр. Срок подачи тезисов — до 19.11.2012, 12:00. Полное...»

«R CDIP/8/9 ОРИГИНАЛ: АНГГЛИЙСКИЙ ДАТА: 11 МАЯ 2012 Г. Комитет по развитию и интеллектуальной собственности (КРИС) Восьмая сессия Женева, 14 - 18 ноября 2011г. ОТЧЕТ принят Комитетом 1. Восьмая сессия КРИС была проведена с 14 по 18 ноября 2011 г. 2. На сессии были представлены следующие государства: Алжир, Ангола, Аргентина, Австралия, Австрия, Бангладеш, Барбадос, Бельгия, Боливия (Многонациональьное Государство), Болгария, Буркина-Фасо, Бурунди, Камбоджа, Канада, Чили, Китай, Колумбия,...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.