WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

145

Дифференциальные и интегральные уравнения

МЕТОДЫ АНАЛИЗА СТОХАСТИЧЕСКОЙ

ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МНОГОКРАТНЫХ ЦИКЛОВ

Губкин А.А.1

УрГУ, Екатеринбург

e-mail: andreygubkin@mail.ru

Исследуется стохастическая чувствительность предельных циклов систем нелинейных дифференциальных уравнений. Предлагаются метод построения многократных циклов и алгоритм быстрой оценки их чувствительности. Возможности методов демонстрируются при анализе изменения чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода. Обнаружена универсальная закономерность роста чувствительности при переходе к хаосу.

1. Система Пиковского. Участок перехода к хаосу.

Исследование чувствительности проводится на примере стохастически возмущенной системы Пиковского ([7]):

x = µx + y + 0.1z + · w1, (1) y = x + · w2, z = 10 th(100(1 + 4z 16x)) 40(z + x + x ) + · w3, где wi (t), i = 1, 2, 3 независимые винеровские процессы, интенсивность возмущений, µ параметр.

В соответствующей детерминированной системе ( = 0) на участке µ [0.276, 0.33] происходит переход к хаосу путем многократного удвоения периода предельных циклов. Точки бифуркаций удвоения периода обозначим через µi, i 1 (в системе Пиковского эта последовательность убывающая).

2. Построение цикла при известных кратности и распределении точек бифуркаций.

Кратность цикла определяется как количество его витков, которое, в свою очередь, равно количеству пересечений цикла с некоторой секущей плоскостью2, деленному на количество пересечений 1

Работачастично поддержана грантами РФФИ (N06-01-00625, N06-08-00396).

2 Для каждого участка перехода к хаосу секущую плоскость нужно подбирать отдельно.

146 Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции 1-цикла с этой же плоскостью (здесь плоскость z = 0). Для построения предельных циклов при заранее известной кратности предлагается использовать следующую модификацию метода сечений ([3], §28).

Пусть известно, что кратность цикла равна 2k. Также будем считать известным, насколько параметр системы µ близок к некоторой точке бифуркации. Сначала находим точку, лежащую на цикле (начальную точку). Для этого строится траектория, делающая достаточно большое количество оборотов вокруг цикла. Количество оборотов возрастает при приближении параметра системы к точке бифуркации, а длина одного оборота примерно равна периоду 1-цикла, умноженному на кратность строящегося цикла. Далее из начальной точки выпускается траектория, которая, в итоге, и будет представлять предельный цикл. Цикл будет считаться построенным, когда траектория будет иметь ровно 2k+1 пересечений с секущей плоскостью, а расстояние от текущей точки траектории до начальной точки будет иметь локальный минимум и при этом будет меньше некоторой величины, учитывающей структуру цикла.

Данный метод позволяет избежать ошибок, возникающих при использовании обычного метода сечений. Одной из частых ошибок является построение предельного цикла большей или меньшей кратности, что приводит к принципиально неверным результатам при дальнейшем анализе цикла.

3. Нахождение точек бифуркаций. Априорное определение кратности цикла.

Метод построения предельных циклов, приведенный в п. 2, основан на предварительном нахождении точек бифуркаций и на способе определения кратности цикла, не требующем его непосредственного построения. Если известны точки бифуркаций, то для конкретного значения параметра µ легко вычислить кратность соответствующего цикла.

Для нахождения точек бифуркаций предлагается подход, использующий следующее свойство мультипликаторов. Между соседними точками бифуркаций один из мультипликаторов (µ) предельного цикла меняется от +1 до 1, причем справа (в системе Пиковского) от каждой точки бифуркации µi мультипликатор асимптотически линеен. По нескольким значениям (µ) из правой полуокрестности Дифференциальные и интегральные уравнения точки бифуркации с помощью метода наименьших квадратов строится аппроксимирующая прямая, позволяющая с высокой точностью оценить положение точки бифуркации µi из уравнения (µi ) = 1.

При этом предельные циклы строятся методом из п. 2.

Указанным образом нужно найти несколько начальных точек бифуркаций. При дальнейшем движении в цепи бифуркаций разностi1 µi ные отношения начинают стабилизироваться к значению, µi µi+ близкому (а возможно, совпадающему) к постоянной Фейгенбаума = 4.6692016. Это позволяет легко получить хорошие приближения для всех последующих точек бифуркаций, а также для точки перехода к хаосу, что, в свою очередь, дает возможность строить многократные циклы методом из п. 2.

Первые пять точек бифуркаций системы Пиковского имеют следующие значения: µ1 = 0.28191774, µ2 = 0.27700952, µ3 = 0.27660280, µ4 = 0.27652790, µ5 = 0.27651223.

4. Метод оценки чувствительности циклов.

Для анализа чувствительности предельных циклов к внешним возмущениям используется функция стохастической чувствительности (ФСЧ) (см. [1, 4]). Здесь ее полная конструкция не приводится.

Наиболее времязатратным этапом построения ФСЧ является численное нахождение единственного T -периодического решения (T = T (µ) период цикла) матричного дифференциального уравнения (2) с некоторыми условиями (сами условия, а также формулы для параметров уравнения здесь не приводятся) W = F (t)W + W F (t) + G(t). (2) При этом сама ФСЧ строится как максимальное собственное значение решения данного уравнения.



Для нахождения решения используется метод установления (теорема 1 в [5]), в результате которого строится некоторая последовательность матричных функций Wi, которая сходится к искомому решению. Недостатком данного метода является то, что для достижения высокой точности вычислений необходимо делать большое количество итераций, особенно, вблизи точек бифуркаций. На данный недостаток можно не обращать внимания в областях циклов малой 148 Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции кратности, но для многократных циклов (16-, 32- и т.д.) он становится принципиальным.

Избавиться от данного недостатка позволяет следующее наблюдение. Оказывается, каждый коэффициент последовательности матриц Wi (0), начиная примерно с i, равного 4, начинает вести себя как последовательность вида A + BC i, где B = 1 или B = 1, 0 < C < 1.

Это позволяет, сделав всего 4–5 итераций, получить предельное значение (A) для каждого коэффициента, то есть с очень высокой точностью получить начальную матрицу для искомого решения. После этого для построения решения достаточно решить задачу Коши. При недостаточной точности, например, вблизи точки бифуркации, итерации можно продолжить и сделать еще один предельный переход.

В итоге, данный метод позволяет практически точно находить решение за небольшое количество итераций.

5. Скорость роста чувствительности при переходе к хаосу. Универсальность.

Эффективность алгоритмов, предложенных в пп. 2 и 3, продемонстрируем на примере анализа скорости роста чувствительности циклов при переходе к хаосу. В работах [2, 4, 6] показано, что на каждом интервале структурной устойчивости (между соседними точками бифуркаций) ФСЧ является положительной выпуклой вниз функцией, уходящей в бесконечность на краях интервала. Точка локального минимума ФСЧ на интервале соответствует наименее чувствительному предельному циклу, который называется суперциклом. Оказывается, что в зонах многократных циклов точка суперцикла делит интервал структурной устойчивости в отношении “золотого сечения”.

При переходе к хаосу чувствительность суперциклов быстро возрастает. Предел отношения чувствительности суперцикла к чувствительности предыдущего суперцикла будем называть коэффициентом роста чувствительности циклов при переходе к хаосу. Для рассматриваемого участка перехода к хаосу в системе Пиковского коэффициент роста чувствительности оказался равным 7 ± 1%. Наряду с системой Пиковского также рассматривалась система Ресслера ([8]), которая является значительно менее жесткой, чем система Пиковского. Несмотря на разницу поведения, для системы Ресслера коэффициент роста чувствительности также оказался равным 7 ± 1%.

В связи с этим, возникает вопрос, является ли данное значение Дифференциальные и интегральные уравнения коэффициента роста общим для некоторого класса систем или же это просто совпадение. Также интересно, одинаковые ли значения имеет коэффициент роста на различных участках перехода к хаосу в одной и той же системе.

Список литературы [1]. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала исследования локальной устойчивости предельных циклов к случайным воздействиям // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2001. № 6. C. 104–114.

[2]. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Стихин П.В. Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003.

[3]. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

М.:Наука, 1974.

[4]. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of stochastically forced Lorenz model cycles under period-doubling bifurcations // Dynamic systems and applications, 2002. Vol. 11.

No. 2. P. 293–309.

[5]. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles // Mathematics and computers in simulation Dynamic systems and applications, 2004. Vol. 66. P. 55–67.

[6]. Gubkin A.A., Ryashko L.B. Stochastic cycles for a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction under transition to chaos // Neural, parallel and scientic computations, Dynamic publishers, 2005.

Vol. 13. P. 131–146.

[7]. Pikovsky A.S. A dynamical model for periodic and chaotic oscillations in the Belousov-Zhabotinsky reaction // Physics letters, 1981. Vol. 85A. No. 1. P. 13–16.

[8]. Ressler O.E. An equation for continuous chaos // Physics letters, 1976. Vol. 75A. No. 5.



Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции Часть I 30 сентября 2013 г. АР-Консалт Москва 2013 1 УДК 000.01 ББК 60 Н34 Проблемы развития наук и и образования: теория и практика: Сборник научных трудов по материалам Международной научнопрактической конференции 30 сентября 2013 г. В 4 частях. Часть I. Мин-во обр. и науки - М.: АР-Консалт, 2013 г.-...»

«Уважаемые коллеги! Приглашаем принять участие в конференции с публикацией в сборнике научных трудов, Тел.: 8-800-250-20-60 ISBN, индекс научного цитирования РИНЦ conf@ucom.ru ucom.ru/conf Международная заочная научно-практическая конференция Современное общество, образование и наук а (Россия, Тамбов, 30 июня 2014 г.) Желающие принять заочное участие в конференции (с публикацией в сборнике научных трудов) должны направить до 30 июня 2014 г. в электронном виде заполненную регистрационную карту...»

«Общественные отношения в регионе: перезагрузка образов: материалы VI международной молодежной научно-практической конференции по связям с общественностью PRovince+2010 [2-3 декабря 2010 г., 2011, 189 страниц, 5913710304, 9785913710307, Кировский филиал С.-Петерб. гуманитарного ун-та профсоюзов, 2011. Материалы конференции предназначены для специалистов Опубликовано: 15th July Общественные отношения в регионе: перезагрузка образов: материалы VI международной молодежной научно-практической...»

«Роберт Савельевич Моисеев Камчатский филиал Тихоокеанского института географии ДВО РАН Камчатская Лига Независимых Экспертов Тихоокеанский центр защиты окружающей среды и природных ресурсов (Pacific Environment / PERC) Камчатская краевая научная библиотека имени С. П. Крашенинникова РАЗВИТИЕ ДАЛЬНЕГО ВОСТОКА И КАМЧАТКИ: РЕГИОНАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ Материалы научно-практической конференции, посвященной памяти Р. С. Моисеева 8–10 декабря 2009 г. Development of the Far East and Kamchatka: Regional...»

«Исполнительный совет 192 EX/4 Сто девяносто вторая сессия Part I (A) ПАРИЖ, 23 августа 2013 г. Оригинал: английский/ французский Пункт 4 предварительной повестки дня Доклад Генерального директора о выполнении программы, утвержденной Генеральной конференцией ЧАСТЬ I (A) РЕЗЮМЕ Цель настоящего доклада состоит в том, чтобы проинформировать членов Исполнительного совета о ходе выполнения программы, утвержденной Генеральной конференцией. В Части I настоящего документа приводится всеобъемлющая...»

«Заключительный доклад Международная конференция по образованию 46-я сессия Женева, 5-8 сентября 2001 г. ЮНЕСКО Международное бюро просвещения ED/MD/102 (i) СОДЕРЖАНИЕ Стр. ПОВЕСТКА ДНЯ (iii) ЧАСТЬ I РАБОТА КОНФЕРЕНЦИИ 1 А. Открытие Конференции B. Организация и методы работы C. Специальное заседание под председательством Генерального директора ЮНЕСКО D. Закрытие Конференции E. Вручение медали им. Коменского F. Совещания в рамках Конференции ЧАСТЬ II ИТОГОВЫЕ ДОКУМЕНТЫ КОНФЕРЕНЦИИ А. Общий доклад...»

«Каталог издательства Русский путь Русская литература: Отдельные издания: Проза Ангелы на кончике иглы: Роман. Автор(ы): Дружников Ю.И. Издательство: Русский путь Год выпуска: 2010 Число страниц: 528 Иллюстрации: портрет на фронтисписе ISBN: 978-5-85887-354-9 Размер: 22214830 мм Роман Юрия Дружникова (1933– 2008), писался в стол в 1969– 76 годах, ходил в самиздате и впервые был издан после эмиграции автора — в Нью- Йорке, в 1989- м. Публикация на родине — спустя 25 лет после создания — совпала с...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО МОСКВЫ THE GOVERNMENT OF MOSCOW МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗООЛОГИЧЕСКИЙ ПАРК THE MOSCOW STATE ZOOLOGICAL PARK ЕВРОАЗИАТСКАЯ РЕГИОНАЛЬНАЯ АССОЦИАЦИЯ ЗООПАРКОВ И АКВАРИУМОВ EURASIAN REGIONAL ASSOCIATION OF ZOOS AND AQARIUMS Ежегодник Yearbook Хищные птицы и совы в зоопарках и питомниках № 19 Birds of Prey and Owls in zoos and breeding stations 19th Issue МОСКВА MOSCOW ЕЖЕГОДНИК. Хищные птицы и совы МОСКОВСКИЙ ЗООЛОГИЧЕСКИЙ ПАРК | MOSCOW ZOO ОГЛАВЛЕНИЕ в зоопарках и питомниках. №...»

«Согласовано Утверждаю Председатель Профкома Ректор ФГОУ ВПО ФГОУ ВПО ВЕЛИКОЛУКСКАЯ ГСХА ВЕЛИКОЛУКСКАЯ ГСХА _ З.И.Курбатова В.В.Морозов _2008г. _2008г. Положение о порядке установления выплат стимулирующего характера за счет средств федерального бюджета и средств от приносящей доход деятельности ФГОУ ВПО ВЕЛИКОЛУКСКАЯ ГСХА Принято на конференции трудового коллектива ФГОУ ВПО ВЕЛИКОЛУКСКАЯ ГСХА _ _2008г. 1.Общая часть В соответствии с Трудовым Кодексом Российской Федерации ( с учетом изменений и...»

«№ 50(256) 16 декабря 2011 О Б Щ Е С Т В Е Н Н О - П О Л И Т И Ч Е С К А Я ГА З Е ТА И З Д А Е Т С Я С 2 0 0 6 ГО Д А Адрес редакции: ул. Ленина, д.33, тел. 310-810 В ЭТОМ НОМЕРЕ! ЗА ПЛЕЧАМИ ТЫСЯЧИ СПАСЕННЫХ ЖИЗНЕЙ Протвинскому Пресс-конференция здравоохранению исполнилось 50 лет В области подвели итоги ПОРА РАЗОРВАТЬ ВЫБОРОВ ЗАКОЛДОВАННЫЙ КРУГ Интервью с Главой города 9 декабря в Доме Правительства Московской области состоялась пресс-конференция председателя избирательной комиссии Московской...»

«Школьный вестник научного общества учащихся муниципального общеобразовательного учреждения Средняя общеобразовательная школа №2 г. Пестово Новгородской области №2. 2007-2008 учебный год. Выходит один раз в учебную четверть. Школа стала залогом успеха, Это скажет любой человек, И звонка голосистое эхо Прозвучит не один ещ век! Bridges of Friendship Мосты дружбы Школьный вестник научного общества учащихся муниципального общеобразовательного учреждения Средняя общеобразовательная школа №2 г....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции Часть I 29 ноября 2013 г. АР-Консалт Москва 2013 1 УДК 000.01 ББК 60 Перспективы развития наук и и образования: Сборник научных П27 трудов по материалам Международной научно-практической конференции 29 ноября 2013 г. В 7 частях. Часть I. Мин-во обр. и науки - М.: АРКонсалт, 2013 г.- 172 с. ISBN 978-5-906353-57-3 ISBN...»

«Продукты информационного агентства INFOLine были по достоинству оценены ведущими европейскими компаниями. Агентство INFOLine было принято в единую ассоциацию консалтинговых и маркетинговых агентств мира ESOMAR. В соответствии с правилами ассоциации все продукты агентства INFOLine сертифицируются по общеевропейским стандартам, что гарантирует нашим клиентам получение качественного продукта и постпродажного обслуживания. Крупнейшая информационная база данных мира включает продукты агентства...»

«ОТЕЛЬ ALFAVITO Гости Киева по достоинству оценят удобное расположение ALFAVITO. Отель находится рядом с Дворцом Украина и одноименной станции метро. Благодаря этому за 10 минут можно легко добраться в центр Киева – к улице Крещатик и Майдану Незалежности. Гостиница расположена в 15 минутах ходьбы от главного стадиона страны - НСК Олимпийский и в непосредственной близости к основным транспортным развязкам. К услугам бизнес-туристов и экскурсантов 250 просторных номеров, в числе которых комнаты...»

«Атом для мира Генеральная конференция GC(57)/13 8 июля 2013 года Общее распространение Русский Язык оригинала: английский Пятьдесят седьмая очередная сессия Пункт 12 предварительной повестки дня (GC(57)/1 и Add.1) Назначение Контролера со стороны 1. Срок полномочий нынешнего Контролера со стороны для Агентства – Главного бухгалтера-контролера и генерального ревизора Индии – истекает после завершения проверки финансовых ведомостей Агентства за 2013 год. Поэтому Генеральной конференции на ее...»

«РЕШЕНИЕ Региональной конференции Яхтинг на Северо-Западе для отдыха и бизнеса 4 декабря 2010 года Яхтенный Порт Геркулес 11:00 – 17:00 п. Лахта, ул.Береговая, д.19. Организаторы: ОАО Ленэкспо, Международный балтийский парусный центр, Российский Союз Туристской индустрии, Яхтенный Порт Геркулес На Конференции присутствовали: руководители крупнейших яхт-клубов Санкт-Петербурга и Ленинградской области, яхтенные капитаны, руководители морских общественных организаций, представители органов власти,...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАУКА, ОБРАЗОВАНИЕ, ОБЩЕСТВО: ТЕНДЕНЦИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции Часть I 31 августа 2013 г. АР-Консалт Москва 2013 1 УДК 000.01 ББК 60 Н34 Наука, образование, общество: тенденции и перспективы: Сборник научных трудов по материалам Международной научнопрактической конференции 31 августа 2013 г. В 3 частях. Часть I. Мин-во обр. и наук и - М.: АР-Консалт, 2013 г.- 128 с....»

«УДК 378 ББК 74.58 У59 В поисках нового университета Альманах 2 Серия Университет в перспективе развития Белорусский государственный университет. Центр проблем развития образования БГУ Под ред. М.А.Гусаковского. Мн.: БГУ, 2002. - 108 с. SBN 985-6582-33-4 Альманах составлен на основе докладов, сделанных специалистами в области высшего образования на методологических семинарах и научно-практических конференциях в Белорусском государственном университете в 1998-2000 гг. Содержание обсуждений...»

«www. ICEVI - Europe. org Европейский информационный бюллетень ICEVI выпуск 38, том 14 номер 3, декабрь 2008 Редактор mailto:ml@icevi-europe.org и Мэри Ли mailto:hw@icevi-europe.org Ханс Веллинг Разработчик mailto:webmaster@icevi-europe.org Мартина Коболкова Редактор русской версии Валерий Ананьев mailto:invo2@mail.belpak.by Переводчик Александра Шеметило Подписка: Если Вы хотите подписаться и получать европейский Информационный бюллетень ICEVI по электронной почте, пожалуйста пошлите пустое...»

«БЛАГОТВОРИТЕЛЬНЫЙ ФОНД им. БЕКИРА ЧОБАН-ЗАДЕ Исполнительный комитет Белогорского городского Совета (АР Крым) КРУ Крымскотатарская библиотека им. И. Гаспринского МИР БЕКИРА ЧОБАН-ЗАДЕ СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ I КРЫМСКОЙ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТЮРКОЛОГИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ Белогорск (Карасубазар) 23 – 25 мая 2012 г. Симферополь 2013 ББК 63.3(4Кр) М 63 М 63 Мир Бекира Чобан-заде: Сборник материалов I Крымской международной тюркологической конференции. Белогорск (Карасубазар) 23 – 25 мая 2012 г. / Сост. : А. Р....»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.