Исследуется стохастическая чувствительность предельных циклов систем нелинейных дифференциальных уравнений. Предлагаются метод построения многократных циклов и алгоритм быстрой оценки их чувствительности. Возможности методов демонстрируются при анализе изменения чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода. Обнаружена универсальная закономерность роста чувствительности при переходе к хаосу.
1. Система Пиковского. Участок перехода к хаосу.
Исследование чувствительности проводится на примере стохастически возмущенной системы Пиковского ([7]):
x = µx + y + 0.1z + · w1, (1) y = x + · w2, z = 10 th(100(1 + 4z 16x)) 40(z + x + x ) + · w3, где wi (t), i = 1, 2, 3 независимые винеровские процессы, интенсивность возмущений, µ параметр.
В соответствующей детерминированной системе ( = 0) на участке µ [0.276, 0.33] происходит переход к хаосу путем многократного удвоения периода предельных циклов. Точки бифуркаций удвоения периода обозначим через µi, i 1 (в системе Пиковского эта последовательность убывающая).
2. Построение цикла при известных кратности и распределении точек бифуркаций.
Кратность цикла определяется как количество его витков, которое, в свою очередь, равно количеству пересечений цикла с некоторой секущей плоскостью2, деленному на количество пересечений 1
2 Для каждого участка перехода к хаосу секущую плоскость нужно подбирать отдельно.
146 Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции 1-цикла с этой же плоскостью (здесь плоскость z = 0). Для построения предельных циклов при заранее известной кратности предлагается использовать следующую модификацию метода сечений ([3], §28).
Пусть известно, что кратность цикла равна 2k. Также будем считать известным, насколько параметр системы µ близок к некоторой точке бифуркации. Сначала находим точку, лежащую на цикле (начальную точку). Для этого строится траектория, делающая достаточно большое количество оборотов вокруг цикла. Количество оборотов возрастает при приближении параметра системы к точке бифуркации, а длина одного оборота примерно равна периоду 1-цикла, умноженному на кратность строящегося цикла. Далее из начальной точки выпускается траектория, которая, в итоге, и будет представлять предельный цикл. Цикл будет считаться построенным, когда траектория будет иметь ровно 2k+1 пересечений с секущей плоскостью, а расстояние от текущей точки траектории до начальной точки будет иметь локальный минимум и при этом будет меньше некоторой величины, учитывающей структуру цикла.
Данный метод позволяет избежать ошибок, возникающих при использовании обычного метода сечений. Одной из частых ошибок является построение предельного цикла большей или меньшей кратности, что приводит к принципиально неверным результатам при дальнейшем анализе цикла.
3. Нахождение точек бифуркаций. Априорное определение кратности цикла.
Метод построения предельных циклов, приведенный в п. 2, основан на предварительном нахождении точек бифуркаций и на способе определения кратности цикла, не требующем его непосредственного построения. Если известны точки бифуркаций, то для конкретного значения параметра µ легко вычислить кратность соответствующего цикла.
Для нахождения точек бифуркаций предлагается подход, использующий следующее свойство мультипликаторов. Между соседними точками бифуркаций один из мультипликаторов (µ) предельного цикла меняется от +1 до 1, причем справа (в системе Пиковского) от каждой точки бифуркации µi мультипликатор асимптотически линеен. По нескольким значениям (µ) из правой полуокрестности Дифференциальные и интегральные уравнения точки бифуркации с помощью метода наименьших квадратов строится аппроксимирующая прямая, позволяющая с высокой точностью оценить положение точки бифуркации µi из уравнения (µi ) = 1.
При этом предельные циклы строятся методом из п. 2.
Указанным образом нужно найти несколько начальных точек бифуркаций. При дальнейшем движении в цепи бифуркаций разностi1 µi ные отношения начинают стабилизироваться к значению, µi µi+ близкому (а возможно, совпадающему) к постоянной Фейгенбаума = 4.6692016. Это позволяет легко получить хорошие приближения для всех последующих точек бифуркаций, а также для точки перехода к хаосу, что, в свою очередь, дает возможность строить многократные циклы методом из п. 2.
Первые пять точек бифуркаций системы Пиковского имеют следующие значения: µ1 = 0.28191774, µ2 = 0.27700952, µ3 = 0.27660280, µ4 = 0.27652790, µ5 = 0.27651223.
4. Метод оценки чувствительности циклов.
Для анализа чувствительности предельных циклов к внешним возмущениям используется функция стохастической чувствительности (ФСЧ) (см. [1, 4]). Здесь ее полная конструкция не приводится.
Наиболее времязатратным этапом построения ФСЧ является численное нахождение единственного T -периодического решения (T = T (µ) период цикла) матричного дифференциального уравнения (2) с некоторыми условиями (сами условия, а также формулы для параметров уравнения здесь не приводятся) W = F (t)W + W F (t) + G(t). (2) При этом сама ФСЧ строится как максимальное собственное значение решения данного уравнения.
Для нахождения решения используется метод установления (теорема 1 в [5]), в результате которого строится некоторая последовательность матричных функций Wi, которая сходится к искомому решению. Недостатком данного метода является то, что для достижения высокой точности вычислений необходимо делать большое количество итераций, особенно, вблизи точек бифуркаций. На данный недостаток можно не обращать внимания в областях циклов малой 148 Труды XXXVIII Молодежной школы-конференции кратности, но для многократных циклов (16-, 32- и т.д.) он становится принципиальным.
Избавиться от данного недостатка позволяет следующее наблюдение. Оказывается, каждый коэффициент последовательности матриц Wi (0), начиная примерно с i, равного 4, начинает вести себя как последовательность вида A + BC i, где B = 1 или B = 1, 0 < C < 1.
Это позволяет, сделав всего 4–5 итераций, получить предельное значение (A) для каждого коэффициента, то есть с очень высокой точностью получить начальную матрицу для искомого решения. После этого для построения решения достаточно решить задачу Коши. При недостаточной точности, например, вблизи точки бифуркации, итерации можно продолжить и сделать еще один предельный переход.
В итоге, данный метод позволяет практически точно находить решение за небольшое количество итераций.
5. Скорость роста чувствительности при переходе к хаосу. Универсальность.
Эффективность алгоритмов, предложенных в пп. 2 и 3, продемонстрируем на примере анализа скорости роста чувствительности циклов при переходе к хаосу. В работах [2, 4, 6] показано, что на каждом интервале структурной устойчивости (между соседними точками бифуркаций) ФСЧ является положительной выпуклой вниз функцией, уходящей в бесконечность на краях интервала. Точка локального минимума ФСЧ на интервале соответствует наименее чувствительному предельному циклу, который называется суперциклом. Оказывается, что в зонах многократных циклов точка суперцикла делит интервал структурной устойчивости в отношении “золотого сечения”.
При переходе к хаосу чувствительность суперциклов быстро возрастает. Предел отношения чувствительности суперцикла к чувствительности предыдущего суперцикла будем называть коэффициентом роста чувствительности циклов при переходе к хаосу. Для рассматриваемого участка перехода к хаосу в системе Пиковского коэффициент роста чувствительности оказался равным 7 ± 1%. Наряду с системой Пиковского также рассматривалась система Ресслера ([8]), которая является значительно менее жесткой, чем система Пиковского. Несмотря на разницу поведения, для системы Ресслера коэффициент роста чувствительности также оказался равным 7 ± 1%.
В связи с этим, возникает вопрос, является ли данное значение Дифференциальные и интегральные уравнения коэффициента роста общим для некоторого класса систем или же это просто совпадение. Также интересно, одинаковые ли значения имеет коэффициент роста на различных участках перехода к хаосу в одной и той же системе.
Список литературы [1]. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала исследования локальной устойчивости предельных циклов к случайным воздействиям // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2001. № 6. C. 104–114.
[2]. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Стихин П.В. Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003.
[4]. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of stochastically forced Lorenz model cycles under period-doubling bifurcations // Dynamic systems and applications, 2002. Vol. 11.
No. 2. P. 293–309.
[5]. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles // Mathematics and computers in simulation Dynamic systems and applications, 2004. Vol. 66. P. 55–67.
[6]. Gubkin A.A., Ryashko L.B. Stochastic cycles for a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction under transition to chaos // Neural, parallel and scientic computations, Dynamic publishers, 2005.
Vol. 13. P. 131–146.
[7]. Pikovsky A.S. A dynamical model for periodic and chaotic oscillations in the Belousov-Zhabotinsky reaction // Physics letters, 1981. Vol. 85A. No. 1. P. 13–16.
[8]. Ressler O.E. An equation for continuous chaos // Physics letters, 1976. Vol. 75A. No. 5.
«