WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

НИЛ «ГАММЕТТ» УФИМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО АВИАЦИОННОГО

ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

НЕЙФЕЛЬД ЭРНСТ ГЕРГАРДОВИЧ:

ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ

Уфа

РИЦ БашГУ 2012 УДК 517.9 Издание осуществлено при финансовой поддержке РФФИ (проект 12-01моб-г), при поддержке гранта правительства РФ по договору №11.G34.31.0042 и за счет внебюджетных средств БашГУ.

Редакционная коллегия:

канд. физ.-мат. наук

, доцент В.А. Юрьев (ответственный редактор);

канд. физ.-мат. наук, доцент В.В. Картак;

ст. преподаватель А.В. Зеркина.

Нейфельд Эрнст Гергардович: избранные труды. Материалы Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Т.5. /отв. ред. В.А.Юрьев, В.В.Картак. – Уфа: РИЦ БашГУ, 2012. -149 с.

В сборнике представлены основные научные труды доцента кафедры высшей алгебры и геометрии Нейфельда Эрнста Гергардовича. Настоящее издание составлено на основе цикла лекций, прочитанных на международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании".

Том 5. Сборник приурочен к 80-летию со дня рождения Э.Г.Нейфельда.

УДК 517. © БашГУ, 2012 г.

Нейфельд Эрнст Гергардович Нейфельд Эрнст Гергардович (21.12.1932—19.06.2008) начал работать на кафедре высшей алгебры и геометрии Башкирского государственного университета 1-го ноября 1963 г. в должности старшего преподавателя, после успешного окончания аспирантуры по кафедре геометрии Казанского государственного университета. Научным руководителем в аспирантуре у него был профессор Александр Петрович Норден (1904—1993г), который поставил перед ним задачу о метрике проективного пространства, с кубической поверхностью в качестве абсолюта. Это, так называемое пространство Аппеля, к геометрии которого Нейфельд Э.Г. неоднократно возвращался. Диссертация о метриках в пространстве Аппеля была блестяще защищена в 1963 году, после чего начались будни преподавательской работы в качестве ведущего лектора по основным геометрическим дисциплинам: аналитическая геометрия, многомерная геометрия линейного пространства, дифференциальная геометрия, топология (которую он не очень жаловал из-за отсутствия метрики). Его бывшие студенты рассказывают как оригинально он начал у них читать первую лекцию по дифференциальной геометрии: написал на доске полностью свои инициалы, перевёл с немецкого своё имя, отчество, «а кто такой Нейфельд вы узнаете на экзамене» добавил он. И надо сказать, что строгость приёма экзаменов он сохранил до последних лет своей работы. Однако если студент отвечал с пониманием материала, на оценки был щедр. Оценку «удовлетворительно» не любил ставить, говорил, что это та же двойка, только «подпольная». И всё же к возрастным студентам или к бывшим военнослужащим относился с пониманием, не вредничал. Лекции его были чёткие, просты и доступны любому уровню подготовки.

С февраля 1966 года он был избран на должность доцента кафедры, через год утверждён в звании доцента ВАК, и проработал в этом качестве до конца своих дней. Нельзя сказать, что ему закрывали карьерный рост.

Несколько раз ему предлагали занять должность заведующего кафедрой;

он вроде бы соглашался, но максимум через полгода с треском проваливал свою административную деятельность. Причём делал это сознательно:

дерзил проректору по учебной работе, «не боролся с низкой успеваемостью», саботировал бумаготворчество и т.д. и т.п., и после очередного скандала с облегчением возвращался в должность рядового доцента кафедры.

Солидную долю в его научно-педагогической деятельности (он страшно не любил этот термин) составляла работа по подготовке и чтению спецкурсов. Это давало ему выход на учеников, на живое с ними общение, на то, что называется «выговориться». Популяризация идей Клейна о связи геометрии с теорией групп, методов тензорного анализа, метод нормализации Нордена, линейчатая геометрия, пространства над алгебрами, теория непрерывных групп и связанных с ними алгебр Ли – вот основные разделы геометрии, откуда черпались темы дипломных а затем и кандидатских работ слушателей этих спецкурсов. В различные годы им подготовлено 6 кандидатов наук по геометрии. Сам он как-то не торопился оформлять свою докторскую диссертацию, хотя материала у него было достаточно: много работ он написал «в стол», часть раздал на дипломные работы. Когда спохватился, было уже поздно по возрасту. Студенты всех поколений его любили; выпускники отзываются о нём с большой теплотой.

В общении со студентами и выпускниками всегда был прост и отзывчив.

В сборнике его работ отражены не все научные статьи, которые он публиковал обычно в трудах геометрического семинара Казанского университета, а лишь основные, значимые работы. Так например, в сборнике представлены лишь основные статьи из цикла его работ по многообразиям К-плоскостей. Также отражены его работы по пространствам над стандартными алгебрами, имеющие приложения в теории относительности. Всего им опубликовано, совместно с учениками, 30 работ, из которых 13 работ редакторы посчитали нужным собрать воедино, независимо от времени и объёма публикации, руководствуясь лишь важностью тематики.



1. Э.Г.Нейфельд Геометрия конформно-аппелева Стр. 7- пространства // Учёные записки Казанского государственного университета, 123:1 (1963), 128– 2. Э.Г.Нейфельд Афинные связности на нормализованном Стр.20- многообразии плоскостей проективного пространства // Известия ВУЗов. Математика, 1976, № 11, 48– 3. Э.Г.Нейфельд О внутренних геометриях многообразия Стр. 28- нуль-плоскостей максимальной размерности поляритетов второго порядка // Труды геометрического семинара, 14 (1982), 50– 4. В.М.Бурдаков, Э.Г.Нейфельд О геометрии поверхностей Стр.33- симплектического и квазисимплектического пространств //Труды геометрического семинара, (1983), 12– 5. Э.Г.Нейфельд О геометриях, определяемых поляритетом Стр.36- в проективном пространстве над алгеброй // Труды геометрического семинара, 15 (1983), 64– 6. Э.Г.Нейфельд Нормализованное семейство плоскостей и Стр.39- геометрия второго рода поверхности // Труды геометрического семинара, 16 (1984), 69– 7. Э.Г.Нейфельд Конформные пространства над алгебрами Стр.52- // Труды геометрического семинара,18 (1988), 43– 8. Э.Г.Нейфельд Об инволюциях в комплексных Стр. 67- пространствах //Труды геометрического семинара, (1989), 71– 9. Э.Г.Нейфельд О внутренних геометриях Стр.79- нормализованного пенроузиана // Труды геометрического семинара, 20 (1990), 70– 10. Э.Г.Нейфельд Нормализация комплексных Стр.83- грассманианов и квадрик // Труды геометрического семинара, 20 (1990), 58– 11. Н.Д.Александров, Э.Г.Нейфельд, Е.В.Александрова Стр.95- Расслоения на присоединенные алгебры к гиперповерхностям в центроаффинном пространстве.I // Труды геометрического семинара, 21 (1991), 31– 12. Э.Г.Нейфельд Двойственные кубические поляритеты и Стр.105- связанные с ними геометрии // Труды геометрического семинара, 22 (1994), 62– 13 Э.Г.Нейфельд О внутренних геометриях Стр. 113- поляризованных комплексных грассманианов // Известия ВУЗов. Математика. 1995. №5. 51- Статьи, где упоминаются работы Нейфельда Э.Г.

1.. В.В. Колян, А.П. Норден Автокомпозиция гиперквадрики и нормализация Нейфельда многообразия прямых //Известия ВУЗов. Математика, 1987, №8, 27– 2 А.П.Норден, А.П.Широков Наследие Н.И. Лобачевского Стр.145- и деятельность казанских геометров // УМН, 48:2(290) (1993), 47– 3 Б.А.Розенфельд Теоретико-групповой смысл Стр.148- пространств Нейфельда // Известия ВУЗов. Математика, 1998, №6, 65–

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

ГЕОМЕТРИЯ КОНФОРМНО-АППЕЛЕВА ПРОСТРАНСТВА

Геометрия пространства Аппеля Ар3 рассматривается в работах П. Аппеля, Ж. Девима и М. Рошкулеца [1—3].

Аппель [1] ввел угловую метрику пространства, определив меру ориентированного угла с помощью пары действи­ тельных чисел.

Будем рассматривать пространство аффинной связности без кручения трех измерений или Т3, в котором может быть определена мера угла между двумя направлениями в смысле Аппеля, причем эта мера угла сохраняется при параллельном переносе этих направлений вдоль произволь­ ной кривой. Локальные пространства Т3 есть пространства Аппеля, а аффинная связность является типа метрической связности геометрии Вейля с той только разницей, что здесь мы имеем кубическую метрику. При этом обнару­ живается глубокая аналогия геометрии Т3 с двумерной геометрией Вейля, подробно изученной А. П. Норденом [4].

Так же как и произвольное двумерное пространство Вейля может быть конформно отображено на плоскость Евклида, пространство Т3 может быть отображено на Ар3 с сохра­ нением угловой метрики, т. е. является конформно-аппелевым пространством.

В работе [5] была построена геометрия пространства Ар3> как геометрия эквиаффинного пространства, в котором задан инвариантный циклический аффинор glk (i, j, k = 0, 1, 2) Если аффинор g'Lk — действительный, то имеем собственно пространство Аппеля или Ар, если g^ —мнимый, то имеем псевдоаппелево пространство Ар- [5]. Абсолют простран­ ства Ар3 есть три независимые точки, соответствующие собственным векторам I1 I\Jl аффинора glk. Каждая точка абсолюта определяет в Ар3 связку параллельных сильно­ изотропных прямых, каждая пара точек абсолюта — пучок параллельных сильно-изотропных плоскостей R2 [5], внут­ ренняя геометрия которых евклидова. Пучки сильно-изоI тропных плоскостей определяются 1ковекторами Ii9 Il: Iib образующие взаимный репер репера I, I1, I1.

Аффинор g* можно заменить системой аффиноров где i= 1 в случае Ар+ и t = i в случае Ар~. Эти аффиноры всегда действительны и несколько в другом виде введены М. Рошкулецом [3]. Аффинор е\ есть единичный аффинор сильно-изотропной плоскости пучка Ii9 ef — оператор пово­ рота на прямой в смысле Евклида угол в этой плоскости:

Прямые, лежащие в сильно-изотропной плоскости и пло­ скости, проходящие через сильно-изотропную прямую, на­ зываются слабо-изотропными [5], их направляющие векторы (ковекторы) являются собственными аффинора е*.

Метрика Ар3 определяется с помощью тензоров которые отличаются только множителем — от тензоров, введенных в [5]. Легко видеть, что кубические формы, соответствующие тензорам (4) равны произведению трех линейных независимых форм, действительных в случае Ар3 и содержащие две мнимо-сопряженные формы в слу­ чае Apt.

Тензоры aijk и a!Jk, а также тривекторы eijk и eljk взаимны в том смысле, что Заменяя аффиноры gf в (4) аффинорами (2), получим:





где atj — метрический тензор плоскостей R2 пучка Iiy e/y — его дискриминантный бивектор, atJ и &lj' — соответственно или взаимные тензоры в /?2, Пространство Тъ определим как пространство аффинной связности без кручения, в котором задано поле ковариантно-постоянного аффинора g*:

Рассмотрим произвольную связность Гки без кручения, относительно которой Если связность Г*, существует, то по теореме А. П. Ши­ рокова [6] существует голономная система координат (у.), в которой аффинор g* принимает постоянное значение.

В (у) связность Г*, определяется с точностью трех про­ извольных векторных полей alf bit ct:

где Определенная связность (1.4) есть, вообще говоря, связ­ ность с кручением, тензор которого равен:

где векторы St и rt равны:

Для того, чтобы связность (1.4) была связностью без кручения, необходимо и достаточно, чтобы Таким образом, задание аффинора (1.1) определяет связ­ ность без кручения с точностью до произвольного век­ торного поля at:

где rf/— связность нулевой кривизны. Связность (1.9) ана­ логична связности двумерной геометрии Вейля [4, стр. 312], так как gK: есть аналог версора [5J. Полагая ai=~pl^ можно привести (1.9) к виду:

Обозначим через eijk и e взаимные тривекторы про­ странства (5) и пронорхмируем их так, что в (у) Очевидно, что Определяя основные тензоры пространства по формулам (4), получим в силу (1.12) и (1.3):

Вектор (о1 естественно назвать дополнительным векто­ ром тензора aijk. При перенормировании eijk и alJk:

имеем В системе координат (х) при нормировании (1.11) ijk const и, следовательно, Таким образом, задание тензорного поля (с точностью до множителя) alJk (3) и дополнительного вектора со. опре­ деляет связность (1.9) однозначно. Связность (1.9) назовем связностью пространства Г3.

Мера угла между двумя направлениями в Ts опреде­ ляется по формуле и не зависит, следовательно, от нормирования тензора aijk.

В силу (1.13) мера угла есть инвариант при параллельном переносе направлений ч} и wl. Если о>. = grad, то можна так пронормировать тензор aijk9 что и тензор aijk может быть приведен к виду Пространство Тг в этом случае назовем типа Римана и обозначим через Т'г.

§ 2. Изотропные направления пространства Т Направление в точке Т3 называется сильно-изотропным,, если оно удовлетворяет условию Дифференцируя ковариантно, получим откуда и, следовательно, сильно-изотропные направления образуют поле абсолютно параллельных направлений. Обратно, если в некотором, пространстве аффинной связности А3 суще­ ствуют три независимых поля абсолютно параллельных направлений vl, vl, vl таких, что то в этом случае можно построить тензор для которого имеем:

т. е. данная связность есть связность пространства Тг.

Таким образом, связность Тг характеризуется суще­ ствованием трех независимых полей абсолютно параллель­ ных направлений и если других направлений не существует, то они совпадают с сильно-изотропными направлениями угловой метрики пространства.

Сильно-изотропные ковекторы пространства образуют поля абсолютно параллельных площадок, которые явля­ ются голономными, так как из условия следует Огибающие этого поля являются поверхностями, касатель­ ные плоскости которых сильно изотропны. Назовем эти поверхности поверхностями расслоения пространства.

В Тг имеется три однопараметрических семейств поверх­ ностей расслоения, линии пересечения которых являются линиями тока абсолютно параллельных направлений. В Т^ все поверхности расслоения действительны, в Г+ суще­ ствует единственное семейство действительных поверхно­ стей расслоения, соответствующие ковектору /,•; два других семейства мнимо-сопряжены и пересекаются по действи­ тельным линиям тока вектора Г. Поверхности расслоения являются вполне геодезическими, так как любой вектор поверхности расслоения слабо-изотропен и, следовательно, (ср. [2]), Дифференцируя ковариантно, получим т. е. lvl принадлежит поверхности.

Поверхности расслоения несут два поля абсолютно параллельных направлений, следовательно, внутренняя геометрия этих поверхностей есть геометрия Вейля [4, стр. 315].

Тензор кривизны связности (1.9) легко получить, исполь­ зуя формулу преобразования тензора кривизны при пре­ образовании связности [4, стр. 132]. Учитывая, что тензор кривизны связностиTfy равен нулю, получим или Uku*= 2hki\b) + 2p[kи, *{, ~ 2р[к, m, ai]jn alm\ ;(3.2) где или окончательно Векторы назовем по аналогии с двумерной геометрией Вейля [4„ стр. 326] векторами кривизны и растяжения пространства.

Тождественное обращение в нуль вектора Q' характе­ ризует пространства типа Римана Т'3\ обращение в нуль обоих векторов (3.5) есть необходимое и достаточное условие того, что пространство плоское, т. е. Ар3.

Очевидно, что векторные поля К1 и Q1 не произвольны, а удовлетворяют определенным условиям, которые явля­ ются следствиями тождеств Риччи и Бианки.

Прежде всего покажем, что тензор кривизны опреде­ ляется заданием векторов К1 и Q1 и метрического тензора, т. е. определяется заданием тензора Риччи.

Обозначая через Q', Q1 и Q1 роторы векторов ph р. и.

ph получим:

Применяя тождества Риччи и Бианки, получим условия, которым должны удовлетворять векторы Q', Ql, Q1:

ничений на вектор рг Из (3.6), (3.7) и (3.4) следует Подставляя (3.9) в (3.8) получим условия, накладываемые на векторное поле К1.

В силу (3.9) можно представить тензор кривизны в виде:

Два пространства Тг и Г3 конформны между собой, если их основные тензоры отличаются только скалярным множителем. Пользуясь произволом в выборе этого множителя, можно считать, что эти тензоры равны. При усло­ вии вектор не меняется при совместном перенормировании основных тензоров; по аналогии с геометрией Вейля [4, стр. 166] будем называть его вектором конформного преобразования.

При конформном соответствии аффинная связность (1.9) преобразуется по закону:

следующие соотношения:

Так как основной тензор ajJk можно всегда преобразить так, чтобы соответствующая ему кубическая форма имела в системе координат (х) постоянные коэффициенты [ср.

(1.11)] и (3), то любое пространство Т3 можно конформно отобразить на пространство Аппеля Ар3. Отсюда также следует, что любые два Т3 конформны между собой.

Рассмотрим два вектора а1 и а1 в Г3, образующие меж­ ду собой угол ( что где есть Л-версор пространства [5]; Р, Q, R — функции Аппедя двух переменных < и ф. Перенося каждый вектор паралр лельно в связностях Г/у- и TtJ соответственно вдоль неко­ торой кривой, т. е.

и учитывая (4.2), получим вдоль кривой (d In p + q-M) ak + (dff + qtdul) ak + (flty + яМ) ak = 0.

Отсюда Если пространство плоское и есть,градиент, то мы имеем конформное отображение Ар на Т3 типа Римана. В случае, если два вектора из векто­ ров qh qi и qL — градиенты, то из условий интегрируемости следует, что третий вектор — градиент, и мы имеем конформ­ ное отображение двух Ар3. В этом случае т. е. функции In p, ф, с есть три сопряженных решения уравнения Эмбера [2], так что функция трехмерной алгеб­ ры [3] есть аналитическая функция.

С другой стороны, если х, у, z — канонические коорди­ наты [5] пространства Ар3, то произвольная аналитическая функция осуществляет конформное отображение Ар3 на Ар3, при этом их линейные элементы находятся в зависимости:

где | / | = р есть модуль производной функции / '. Легко видеть, что Рассмотрим теперь конформное соответствие двух про­ странств типа Римана, основные тензоры которых пронор­ мированы так, что они ковариантно-постоянны. Тогда:

Кривая в. Гз определена уравнением где s — натуральный параметр в смысле Аппеля. Вектор t = — есть единичный вектор касательной; при конформds ном отображении Тз на Гз:

.аналогичные формулам Френе в Л/?3[5];

и т. д., где kx и k2 — кривизны кривой.

При конформном преобразовании:

'Производные кривизн преобразуются по закону Из (4.14) и (4.15) следует, что величины при конформном преобразовании преобразуются по закону:

где отображение задается функцией (4.7), сравнивая (4.8) и (4.10), имеем есть аналитическая функция, а функции р и v есть сопря­ женные в смысле Эмбера функции X:

так что Следуя А. П. Нордену [7, стр. 180], введем производи ную Шварца от функции Х = /(Х):

Подставляя (4.19) получим Тождественное обращение в нуль производной Шварца характеризует дробно-линейную функцию Преобразование, соответствующее функции (4.22) обра­ зует девятичленную группу преобразований, которую на­ зовем Л-конформной.

При А — конформном преобразовании тензор Из (4.21) и (4.17) следует, что формы lxds2 и l2ds2 инва­ риантны при Л-конформном преобразовании. Эти формы являются аналогом параметра Либмана двумерной кон­ формной геометрии кривой [7, стр. 181]. Обращение в нуль величин 1Х и /2 определяет в Ар3 класс кривых, преобра­ зующиеся в себя при (4.22). Эти кривые являются анало­ гом окружностей двумерной конформной геометрии и опре­ деляются уравнениями общее решение которых при & == ^2 определяется с по­ мощью эллиптических функций Вейерштрасса где причем первый интеграл системы (4.23) имеет вид:

т. е. кривые имеют постоянный инвариант / [5}Поверхность третьего порядка где X, X, X и т. д. сопряженные трехмерные алгебры а а и С действительные числа, при преобразовании (4.22) преобразуется в поверхность такого же типа. При а = & поверхность (4.26) есть Л-сфера |5]. Будем называть по­ верхность (4.26) обобщенной Л-сферой. Таким образом, при Л-конформном преобразовании обобщенные Л-сферы преобразуются в себя, при этом они могут вырождаться в некоторые поверхности второго порядка (а = 0) или плоскости.

Уравнение обобщенной Л-сферы может быть приведено к виду:

или в канонических координатах:

Пространство аффинной связности называется симме­ трическим, если Так как тензор кривизны Г 3 определяется заданием тен­ зора Риччи, то для того, чтобы пространство Т3 было симметрическим, необходимо и достаточно Отсюда в силу (3.4) следует т. е.

Таким образом, векторы Q и К1 образуют поля абсо­ лютно-параллельных направлений и являются сильно­ изотропными. Условия интегрируемости системы (5.3) имеют вид:

2QQ3 — QQj - QlQJ = 0, 2QlKj - QKj - QlKJ = 0. (5.4) Очевидно, что векторы Q1 и К1 линейно-зависимы. Рас­ сматривая только действительный случай, получим един­ ственное условие интегрируемости, Отсюда и из (3.9) следует, что векторы Q и Q сильноизотропны. Полагая получим из (ЗЛО) Из (5.6) следует, что тензор кривизны симметрического Т имеет ранг два и Симметрическое пространство Г 3 типа Римана имеет абсо* лютно параллельное векторное поле /, линейный элемент этого пространства равен:

где Ф — линейный элемент риманова двумерного простран­ ства постоянной кривизны и является первой фундамен­ тальной формой поверхностей расслоения.

Симметрические Т3 при х = 0 имеют кососимметричный тензор Риччи, внутренняя геометрия поверхностей расслое­ ния этих пространств квазиевклидова.

ЛИТЕРАТУРА

1. Р. Ар ре II. Propositions d'Algebre et de Geometrie de la consi­ deration xdes racines cubiques de l'unite. Comptes rendus Ac. d. Sc. Paris, 1877, t. 84, p. 540.

2. J. D e v i s m e. Sur un espance quasi — eulidien a troiv dimensions attache a l'equiation de M. P. Humpert. Comtes rendus Ac. d. Sc. Paris, 1932, t. 195. p. 1059.

3. M. R о s с u 1 e t. О theorie a functiilor de о verabila hiperkomplexa in spatiul cu trei dimensioni. Studii si cercetari mat., 1954, t. V, Л 3/4, p. 361.

4. А. П. Н о р д е н. Пространства аффинной связности. ГИТТЛ, М.-Л., 1950.

5. Э. Г. Н е й ф е л ь д. О геометрии пространства Аппеля. Сборник аспирантских работ (точные науки). Издательство Казанского универси­ тета, 1962, стр. 148—157.

6. А. П. Ш и р о к о в. Об одном свойстве ковариантно постоянных аффиноров. ДАН, 102, 1955, стр. 461-468.

7. А. П. Н о р д е н, Теория поверхностей; М., 1956.

ЙЗЙЁСТЙЙ ВЫСШИХ УЧЁЁНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

МАТЕМАТИКА

АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА НОРМАЛИЗОВАННОМ

МНОГООБРАЗИИ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКТИВНОГО

ПРОСТРАНСТВА

Как известно, м н о ж е с т в о всех ^-плоскостей /г-мерного проек­ тивного пространства есть (k + 1) (п — )-мерное дифференцируе­ мое многообразие Р, диффеоморфное поверхности Грассмана ЛЛ ъ Р( +1\ • В настоящей работе показывается, ч т о заданием дифП аффинная связность. Э т о с о о т в е т с т в и е определяет нормализацию поверхности Грассмана в смысле А. П. Нордена; введенная связ­ ность является внутренней с в я з н о с т ь ю нормализованной поверх­ ности Грассмана. Изучаются свойства э т о й связности и доказы­ вается, ч т о при k < п — k — 1 она б у д е т проективно-евклидовой над алгеброй матриц (k + 1)-го порядка. В заключении рассматри­ ваются аффинные связности на многообразии плоскостей неевкли­ довых и симплектических пространств.

^-плоскости P (x ), определенной базисными точками х и п р о б е ­ определены с т о ч н о с т ь ю д о преобразования матрицы к о т о р ы х вершины репера в Р. Дифференцируя функции (1.2), получим раз­ ложения которые назовем деривационными уравнениями нормализован­ ного Р. пЛ При преобразовании (1.3) коэффициенты l ia и 1% преобразуются по закону п о э т о м у их можно рассматривать как коэффициенты связности ветственно. Заметим, ч т о расслоение ^ ~ определено т о л ь к о в смысле А. П. Нордена ( [ 2 ], с. 200).

Величины т, nf преобразуются как координаты т е н з о р о в.

В силу (1.4) тензор mf невырожден и определяет биективное тензорного произведения расслоений и -fn~, поэтому в каса­ тельном расслоении, т. е. на Р индуцируется связность, к о т о ­ щк р у ю назовем с в я з н о с т ь ю 1-го рода нормализованного j многооб­ разия плоскостей. Ее коэффициенты однозначно определяются из уравнения и равны где Условия Lf = - 2щс\ д\ т % уравнений (1.5), и (1.7) имеют(1.8) 4 Е-690. Математика н о с т ь 1-го рода не; имеет кручения.

§ 2. Матричные структуры на многообразии плоскостей Так как с т р у к т у р у правого (левого) модуля над алгеброй матриц (к + 1)-го ((# — ) - г о ) порядка. Каждой матрице Н =\\кь\\ соответствует аффинор причем Из (1.8) следует, ч т о т. е. структурные аффиноры (2.1) ковариантно постоянны в о б о б ­ щенном смысле.

Рассмотрим теперь тензор с матричными координатами и б е с к о н е ч н о близких к ним плоскостей равно с т о ч н о с т ь ю д о следует, ч т о При k = 0 э т о б у д е т тензором кривизны проективно-евклидовой связности ( [ 2 ], с. 215).

Из (2.7) следует, ч т о при преобразовании нормализации с у б ­ геодезические линии переходят в с у б г е о д е з и ч е с к и е. П о э т о м у пре­ образование (2.8) назовем субгеодезическим преобразованием связ­ ности.

Если в Р всем ^-плоскостям с о о т в е т с т в у е т одна и та же плоскость Pn-k-i(yP)i т о тензоры п/ яз (2.2) равны нулю. Следо­ вательно, связность 1-го рода имеет нулевую кривизну. Так как любая связность на нормализованном многообразии ^-плоскостей может быть получена субгеодезическим преобразованием связ­ ности нулевой кривизны и при э т о м сохраняются матричные пря­ мые, т о связность \-то рода б у д е т проективно-евклидовой над алгеброй матриц (k + 1)-го порядка.

взаимно однозначно о т о б р а ж а е т с я на поверхность Грассмана вР / ч, точки к о т о р о й определяются простым (k + 1)-псевдой+ векторами где х — базисные точки P.

Вершины х, у проективного репера в Р определяют вер­ довекторам из к о т б р ы х все, кроме первой, лежат в гиперплоскости 3 [6].

Покажем, ч т о задание с о о т в е т с т в и я (1.2) определяет нормали­ зацию п о в е р х н о с т и Грассмана в смысле А. П. Нордена ( [ 2 ], с. 198).

Карательная п л о с к о с т ь в т о ч к е X пересекает гиперплоскость его нормали 2-го рода.

Дифференцируя о б е части равенства (3.1), получим в силу Таким о б р а з о м, (к +• 1)-псевдовекторы Хр являются опорными Афинные связности на нормализованном многообразии Из (3.3) и (1.7) следует где V/ е с т ь символ ковариантной производной относительно связ­ ности 1-го рода, Следовательно, связность 1-го рода совпадает с внутренней.связ­ н о с т ь ю ( [ 2 ], с. 198) нормализованной поверхности Грассмана.

направления v\ переносимого параллельно вдоль н е к о т о р о й кривой поверхности Грассмана, смещается в п л о с к о с т и, пересекающей нормаль 1-го рода ( [ 2 ], с. 202) и принадлежащей соприкасающей плос­ кости 2-го порядка поверхности Грассмана [6], переходящей через так же зависит от (k + 1) (п — к) существенных параметров, т о тен­ аффинная связность 2-го рода, коэффициенты к о т о р о й однозначно находятся из уравнения Легко видеть, ч т о связности 1-го и 2-го рода о б о б щ е н н о сопря­ Покажем теперь, ч т о в случае полярно нормализованного многообразия k-плоскостей связности 1-го и 2-го р о д о в с о в п а д а ю т.

Полярная нормализация Р определяется заданием в Р не­ вырожденного поляритета, определенного с п о м о щ ь ю псевдотен­ комплекса прямых где р°* -~ грассмановы координаты прямой. В последнем случае н е о б х о д и м о, в силу невырожденности, ч т о б ы размерность про­ странства была нечетной.

Если п л о с к о с т ь P {x ) не касается гиперквадрики (4.3) ( а = 1 ) или не с о д е р ж и т прямых комплекса (4.4) (а==— 1), т о она не пересекает с в о ю поляру P {y ). В последнем случае н е о б х о ­ д и м о также, ч т о б ы k было нечетным. В э т о м случае тензоры метров.

Тензор (4.5) определяет два комплексных тензора Первый из этих т е н з о р о в есть ковариантно постоянный тензор т е о р и и А. П. Нордена, в т о р о й является основным тензором ком­ плексной связности Вейля [8], -Афинные связности на нормализованном многообразии

ЛИТЕРАТУРА

1. Х ь ю з м о л л е р Д. Расслоенные пространства. М., „Мир", 1970.

2. Н о р д е н А. П. Пространства аффинной связности. М.-Л., ГИТТЛ, 1950.

3. Р о з е н ф е л ь д Б. А. Многомерные пространства. М., „Наука", 1966.

4. Р о з е н ф е л ь д Б. А. Геометрия многообразия плоскостей проективного пространства как точечная проективная геометрия. Тр. Семин, по векторн. и тензорн. анализу, вып. 9, 1952, с. 213—222.

5. Х о д ж. В., Пи д о Д. Методы алгебраической геометрии, т. II. М., ИИЛ, 1954.

6. Н е й ф е л ь д Э. Г. Геометрия многообразия ^-плоскостей обобщенного бипланарного пространства. Учен. зап. Башкирск. ун-та, вып. 31, 1968, с. 240—249.

7. Р о з е н ф е л ь д Б. А. Неевклидовы пространства. М., „Наука", 1969.

8. Н о р д е н А. П. О структуре связности на многообразии прямых неевкли­ дова пространства. Изв. вузов. Матем., 1972, № 12, с, 84—94.

В / А. Дербенев. Асимптотика решения неустойчивого уравнения В статье рассматривается уравнение имеет в правой полуплоскости конечное число корней coy кратш = J е~ K(s)ds ности яу соответственно.

Для резольвенты R (t — s) ядра К (t — s)' справедлива следующая Т е о р е м а. Пусть т > 0 — произвольное целое число. Если < оо, где 2. М а р т а к о в а А. С. Конгруэнции прямых трехмер ного галилеева и псевцогалилеева пространств. - Труды геомет рического семинара, вып.9. Казань, 1976, 54-59.

Вольхов.ская А. Т. Комплексы прямых квазиэллиптическо­ го, квазигиперболического и квазиоимплектического 3-пространств.

- Труды геометрического семинара, вып.14. Казань, 1982.

дифференциальная геометрия. М., Физматгиз, 1959.

5. Щ е р б а к о в Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. Томск.,Изд-во Томск, ун-та, 1973.

О ВНУТРЕННИХ ГЕОМЕТВШХ МНОГООБРАЗИЯ НУЛЬ-ПЛОСКОСТЕЙ

МАКСИМАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ПОЛЯРИТЕТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Как известно, корреляция в проективном пространстве Р а есть поляритет, если ее тензор обладает симметрией При б =1 имеем обычный поляритет, при б =-1 - косой.

Плоскость Р|с ( х а ) с базисными точками Ха(х%) есть нуль-плос­ кость поляритета, если она принадлежит своей поляре [l,c.25l].

Необходимым и достаточным условием этого есть условие Нуль-плоскость Pj( (Ха) есть нуль-плоскость максималь яой размерности, если она совпадает со своей полярой. В этом, случае необходимо, чтобы П = ^ 1 с + 4 и в.случае б «I квадри­ ка (Xik имела нулевую сигнатуру.

или Uzk,W образует многообразие размерности т = - •**Н***+6').

Заметим, что в случае квадрики это многообразие двусвязно и есть объединение двух семейств той же размерности [1,с.25б].

Многообразие Q2lc,k является базой векторного расслоения, слои которого (к+1) - мерные векторные пространства, соответ­ ствующие нуль-плоскостям поляритета.

определено дифференцируемое соответствие между его нуль-плос­ костями, такое, что каждой плоскости Rt (XQ) из некоторой области (t,lc соответствует нуль-плоскость не пересекающая первую. Для базисных точек эт^й нормализующей плоскости можно ввести относительное нормирование Определим на dzkX ференцируя по этим координатам векторы х а и и°-у получим Ковариантные производные здесь содержат коэффициенты связнос­ ти в векторном расслоении. Дифференцируя обе части ра венств (2) и (3), получим, что тензоры tYl^t и П^ удовлетворяют условиям симметрии Координаты опорного тензора Г М ^ 8 образуют невырож денную матрицу ( I -номер строки, парный индекс О,, в - но­ мер столбца), что следует из того, что точки х*, зашсят от m существенных параметров - координат U. Следователь­ но, опорный тензор определяет изоморфизм касательного прост ранства многообразия Огк.,к на пространство бивекторов (tf=/) или симметрических тензоров (б=-/) расслоения. Отсюда так же следует существование контравариантного опорного тензо­ ра, координаты УН которого однозначно определяются из равносильных систем :

m^mud =SZSl-68*5; p2ll4f будем понимать проективное пространство, в котором заданы поляритеты, при #*^ = Ь* определяют грани 2-го. проективного репера, связанного с поверхностью, причем имеем :

Это позволяет также определить деривационные уравнения по­ верхности и геометрию 2-го рода, которая, однако, совпадает с геометрией первого роца.

1. H о р д е н А. П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976.

2. Р о з е*н ф е л ь д ' Б.А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969.

К ВОПРОСУ О ТЕНЗОРЕ ГОЛОЮРВДО П Р О Е Ш Ы Ю Й КРИВИЗНЫ

В работах [i] - [з], [б] - [ ю ] изучаются голоморфно гео­ дезические преобразования связностей, сохраняющих некоторую поР о з е н ф е л ь д Б. А. Неевклидовы геометрии. - М.:

Гостехизцат, 1955.

4. Р о з е н ф е л ь д Б. А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969.

движений 3-пространств к линейчатой геометрии. - Труды семинара кафедры геометрии Казанского гос.ун-та, 1974, вып.7,. с. 118 Б л я ш к е В. Дифференциальная геометрия и геометри­ ческие основы теории относительности Эйнштейна. М.-Л.: ОНТИ, 1935.

кривизна квадратичных, комплексных, двойных и дуальных эллипти­ ческих пространств. - Изв.вузов (Математика), 1971, № 5 (108), с.82-91.

О ГЕОМЕТРИЯХ, ОПРЕДЕЛИМЫХ ПОЛЯРИТЕТОМ

3 ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ НАД АЛГЕБРОЙ

I. Проективным пространством Р(ЕУА) над унитальной и ассоциативной алгеброй А с модулем-носителем Ь назовем многообразие присоединенных подпространств этого модуля, изо­ морфных алгебре А.

Корреляцию в Р(Е,А)определим заданием билинейного ото­ бражения Е в сопряженный модуль Е, при котором при­ соединенные подпространства произвольного вектора ос е с^ отображаются в присоединенные подпространства ковектора е h, образа вектора х при этом отображении.

Необходимым и достаточным условием того, чтд отображение заданное тензором, определяло корреляцию в нравом Р(Е,А) есть условие где р^ образуют антиавтоморфизм О алгебры Д, а С^а определяют структуру правого модуля.

В случае 6Ц» =6*0^4 (tf2*f) корреляцию назовем поля­ ритетом. Для этого необходимо, чтобы антиавтоморфизм J> был инволютивным. Если алгебра А фробениусова, то задание не­ вырожденного поляритета в Р (Е/\)равносильно заданию эрмитоEO-симметрической формы у(х э ц)= А** X У ^а ff&p-fif.*), {(2*,jD*fi(*)ffy)l, *J*AQ>4*sA+hafa и Кроме того, где ^ а - некоторый неособый ковектор алгебры А.

2. Пространство г(Е,А/назовем нормализованным в смысле [l], если определено дифференцируемое отображение некоторой об­ ласти этого пространства в пространство его гиперплоскостей г It, А ) • В нормализованном пространстве деривационные уравнения определяют аффшную связность без кручения, которое будет проективно-евклидовым над этой алгеброй в том смысле, что ее гео­ дезические лежат на проективных прямых над А, определенных данной точкой я и ее нормальной точкойtt;d u 1,. Струк турные аффиноры нормализованного Р (Е,А ) определяются соот ношениями и удовлетворяют уравнениям В случае полярной нормализации, рассматриваемая область определяется у словием J'(х, ос) = е. Так как f ( i, V,) = 0,.oJ>Lf-Lf и% =^^.^-^.Р%-^ес%ьос:

новной тензор пространства,удовлетворяющий уравнению типа Вейля Внутренняя связность полярной нормализации будет симметричес­ кой в смысле Картана и, когда ковектор nra^Jagt= Z \ | a не­ особый, римановой с метрическим тензором 1.Нейфельд Э. Г. Афинные связности на нормали­ зованном многообразии плоскостей проективного пространства, Изв.вузов. Математика, 1976, В I I (174), с.48-55.

К ТЕОРИИ МНОГОМЕРНЫХ КОНГРУЭНЦИ^!

§ I. 1*иперповерхвость и ее сферическое отображение Рассмотрим гиперповерхность S f f t + i ) - мерного евкли­ дова пространства и каждой точке М ' этой гиперповерхнос­ ти, определенной радиусом-вектором поставим в соответствие точку М0 гиперсферы, определен ную радиусом-вектором который является единичным вектором нормали.

пространства.

где Pi - вектор конформного преобразования, Это сразу получается как следствие из формул / ^ 1, § 4 5 J 1, Н о р д е н А. П. Пространства аффинной связности.

М,, "Наука'7, 1 9 7 9.

2. Н о р д е н А. П. Теория поверхностей. М, Гостехиздат, 1 9 5 6.

З'.О л о н и ч е в П. М. Казанский геометр Ф.М.Суво ров. - Историк с—математические исследования. Вып. IX. М., Гостехиздат, 1 9 5 6.

НОРМАЛИЗОВАННОЕ СЕМЕЙСТВО ПЛОСКОСТЕЙ

И ГЕОМЕТРИЯ ВТОРОГО РОДА ПОВЕРХНОСТИ

1. Построение нормализации семейства плоскостей.

ного пространства Р^, определенное параметрическими уравнениями назовем поляризованным, если каждой плоскости семейства соответствует поляризующая плоскость ^п-к^^ (ОС•$) д о ~ полните льной размерности, не пересекающая первую, базисные определяют горизонтальную и вертикальную связность компози­ Тензор УУ?1ц » удовлетворяющий условию (здесь I - номер строки, а парный индекс а, с. опреде­ ляет столбец), определяет вложение касательного пространства 'J 7 семейства в касательное пространство грассманова многообразия, изоморфного тензорному произведению Поляризованное семейство плоскостей назовем нормализо­ ванным, если задано нормальное подрасслоение касательного расслоения грассманова многообразия, слои которого А/ осна­ щают в V ^. r ® V^?-K касательное пространство Т се мейства, т.е.

Нормальное подрасслоение может быть определено заданием поля связующего тензора координаты которого вместе с координатами тензора м? удов­ летворяют условию Отсюда следует, что тензорные поля W iQ и wipe, on ределяют композицию грассманова многообразия Р„~к. Де ривационные уравнения этой композиции имеют вид и определяют связности в касательном и нормальном подрас слоениях, первую из которых естественно назвать внутренней связностью нормализованного семейства. Из условий интегри руемости уравнений ( 1. 3 ) и ( 1. 5 ) следует, что внутренняя связность семейства не имеет кручения, ее асимптотический тензор RLj^ симметричен по нижним индексам и удов летворяет обобщенному уравнению Кодацци а тензор кривизны Преобразование поляризации определяется заданием поля связующего тензора р- и имеет вид При этом преобразовании тензор W'L(\ остается инва риантньтм, а коэффициенты горизонтальной и вертикальной связ­ ности композиции в рп преобразуются по закону

Похожие работы:

«DOI 10.12737/issn.2308-8877 ISSN 2308-8877 АКТУАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ XXI ВЕКА: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Сборник научных трудов по материалам международной заочной научнопрактической конференции 2014 г. № 3 часть 2 (8-2) (Volume 2, issue 3, part 2) Учредитель – Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Воронежская государственная лесотехническая академия (ВГЛТА) Сборник зарегистрирован Главный редактор Федеральной службой по...»

«Генеральная конференция GC(51)/28/Rev.2 Date: 19 September 2007 General Distribution Russian Original: English Пятьдесят первая очередная сессия Пункт 26 повестки дня (GC(51)/22) Доклад о взятых обязательствах по взносам в Фонд технического сотрудничества на 2008 год 1. К 19 час. 30 мин. 18 сентября 2007 года обязательства по взносам в Фонд технического сотрудничества (ФТС) на 2008 год, как показано в таблице, содержащейся в приложении, взял 41 член Агентства. 2. Предусматривается, что...»

«R WIPO/SSC/GE/12/4 ОРИГИНАЛ: АНГЛИЙСКИЙ ДАТА: 31 ОКТЯБРЯ 2012 Г. Первая ежегодная конференция по сотрудничеству Юг-Юг в вопросах интеллектуальной собственности (ИС) и развития Конференция Женева, 28 сентября 2012 г. РЕЗЮМЕ ОТЧЕТА Документ подготовлен Секретариатом Первая ежегодная конференция по сотрудничеству Юг-Юг в вопросах ИС и развития проходила в Женеве в рамках осуществления проекта Повестки дня в области развития Повышение уровня сотрудничества Юг-Юг по вопросам интеллектуальной...»

«1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет ИЗДАТЕЛЬСКОЕ ДЕЛО И ПОЛИГРАФИЯ Тезисы докладов 78-й научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (с международным участием) Минск 2014 2 УДК 655:005.745(0.034) ББК 76.17я73 И 36 Издательское дело и полиграфия : тезисы 78-й науч.-техн. конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и...»

«ББК 66.75 М 55 Научный потенциал нового поколения: проекты, инновации, перспективы. Международная молодежная конференция, – Ноябрьск: Электронное издание, 2012.– 472с. В сборник вошли материалы II Международной молодежной конференции Научный потенциал нового поколения: проекты, инновации, перспективы, проведенной филиалом ТюмГУ в г. Ноябрьске 27 апреля 2012 года совместно с Общероссийской общественной организацией Национальная система развития научной, творческой и инновационной деятельности...»

«Раздел I. Вопросы экономики Министерство образования и наук и Российской Федерации БФ ФГБОУ ВПО Пермский национальный исследовательский политехнический университет ФГБОУ ВПО Пермский государственный национальный исследовательский университет ФГБОУ ВПО Уральский государственный экономический университет Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина АНО ВПО Пермский институт экономики и финансов НОУ ВПО Западно-Уральский институт экономики и права Российское общество социологов (Пермское...»

«Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный экономический университет Бобруйский филиал Студенческое научное общество Молодежная научная инициатива 11 апреля 2013 г. в Бобруйском филиале УО Белорусского государственного экономического университета проходила работа VIII Республиканской научно-практической конференции студентов, аспирантов и магистрантов “Социально ориентированная экономика Республики Беларусь: проблемы и перспективы развития” Цель конференции -...»

«Федеральное агентство по образованию Ассоциация Объединенный университет им. В.И. Вернадского ГОУ ВПО Тамбовский государственный технический университет Научно-образовательный центр ТГТУ–ОАО Корпорация Росхимзащита Научно-образовательный центр ТГТУ–ИСМАН, г. Черноголовка XIII НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ТГТУ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Сборник трудов 24–25 апреля 2008 года Тамбов Издательство ТГТУ УДК 378:061. ББК Я Ф Р еда к ц ио н...»

«Министерство образования и наук и РФ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОСУДАРСТВО – ЭКОНОМИКА – ПОЛИТИКА: АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ИСТОРИИ Сборник научных трудов Всероссийской научно-методической конференции Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 2010 УДК 94:33(063) Государство – экономика – политика: актуальные проблемы истории. Сб. научных трудов Всерос. науч.-метод. конф. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. 306 с. В публикуемых материалах...»

«1 И с х. № 0 1 - 0 0 1 о т 2 0. 0 1. 1 4 ПЕРВОЕ ИНФОРМАЦИОННОЕ СООБЩЕНИЕ 14-я Международная междисциплинарная научно -практическая школа-конференция СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ г. Ял та, 25 апр ел я – 5 мая 2014 г. Украинская Ассоциация Женщины в наук е и образовании, Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, Херсонский национальный технический университет, Творческий союз научных и инженерных объединений (обществ) Крыма, Морская ассоциация Санкт-Петербург -...»

«МАТЕРИАЛЫКОНФЕРЕНЦИИ 58 Технические науки иНФорМациоННыЙ СаЙТ реШеНие оСНоВНыХ dVIp.Info граНичНыХ Задач для ПолуПлоСКоСТи Бобков а.В., Сербин С.о., МеТодаМи Теории Сиротин а.а. ФуНКциЙ КоМПлеКСНого ПереМеННого Комсомольский-на-Амуре государственный технический Богомолов а.Н., ушакова а.Н., университет Шиян С.и. Указанный сайт относится к современномутипуинтернет-источниковпервичнойин- В монографии А.Н. богомолова, формации о прикладных научно-технических А.Н. Ушакова и С.И. Шияна приведены...»

«В октябре 2010 года состоялся пятый пленум САР, посвящённый политике в области архитектурного образования. С тех пор начался процесс постепенного возвращения Союза в сферу подготовки профессиональной смены. Процесс этот идёт не так активно, как многим хотелось бы, но некоторые значимые события происходят. В предлагаемом далее материале описываются результаты обследования архитектурных школ стран, проведённого по инициативе и силами Совета по архитектурному образованию и аттестации СА России....»

«ДЕПАРТАМЕНТ УПРАВЛЕНИЯ ПРИРОДНЫМИ РЕСУРСАМИ И ОХРАНЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ ТВЕРСКОЙ ОБЛАСТИ ТВЕРСКАЯ ОБЛАСТНАЯ УНИВЕРСАЛЬНАЯ НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА им. А.М. ГОРЬКОГО ЦЕНТР ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ ТОУНБ им. А.М. ГОРЬКОГО ЭКОЛОГИЯ. ИНФОРМАЦИЯ. БИБЛИОТЕКА МАТЕРИАЛЫ МЕЖРЕГИОНАЛЬНОЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ ТВЕРЬ 2009 г. 1 УДК 574.9 ББК 20.080 Э40 РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ: Ю.Н. Женихов, доктор технических наук, зав. кафедрой Природообустройства и экологии ТГТУ. М.М. Агеева, зав. отделом...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЮРГИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ САЛЮТ, ПОБЕДА! Сборник трудов II Всероссийской научно-практической военно-исторической конференции с международным участием 16 мая 2012 года Томск, 2012 УДК 94 (47+57) 1941-1945 (063) ББК Т3(2)622л0 С60 С60 Салют, Победа!: сборник трудов II...»

«учное п ртнерство ргумент VI-я Международная научная заочная конференция олодежный п рл мент город ипецк ентр информ ционных технологий олодежный п рл мент ипецкой обл сти еверо-з п дный госуд рственный з очный технический университет ипецкое регион льное отделение бщероссийской общественной орг низ ции оссийский союз молодых ученых учно-исследов тельский центр ксиом зд тельский центр р вис АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОЙ ПСИХОЛОГИИ И ПЕДАГОГИКИ Российская Федерация, г. Липецк 18 марта...»

«Научно-издательский центр Априори ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ: ТРЕНДЫ, ПРОБЛЕМЫ, АКТУАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Материалы II Международной научно-практической конференции (28 сентября 2012 г.) Сборник научных статей Краснодар 2012 1 УДК 159.9 + 37 ББК 88 + 74.00 П 24 Редакционная коллегия: Бисалиев Р.В., доктор медицинских наук, Астраханский государственный технический университет Ершов Д.А., кандидат педагогических наук, Волгоградский государственный социально-педагогический университет Бекузарова Н.В.,...»

«ex Исполнительный Организация Объединенных Наций по вопросам образования, наук и и совет культуры Сто семьдесят вторая сессия 172 ЕХ/8 ПАРИЖ, 18 июля 2005 г. Оригинал: французский Пункт 7 предварительной повестки дня Предлагаемое создание в Уагадугу (Буркина-Фасо) Международного центра по образованию девочек и женщин в Африке (СИЕФФА) под эгидой ЮНЕСКО РЕЗЮМЕ Учитывая международные обязательства, придающие приоритетный характер образованию для всех, и необходимость гарантировать равенство...»

«Национальная академия наук Беларуси Институт экономики НАН Беларуси ЭКОНОМИКА РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ В ИНТЕГРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССАХ: ТЕНДЕНЦИИ, ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ Сборник материалов Международной научно-практической конференции 19-20 апреля 2012 г. г. Минск Минск Право и экономика 2012 1 УДК 330 ББК 65 Э40 Научно-редакционный совет: Дайнеко А.Е., Вертинская Т.С., Васюченок Л.П., Гончаров В.В., Лученок А.И., Медведев Е.К., Якимченко С.И. Экономика Республики Беларусь в интеграционных процессах :...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ БРЕСТСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫЙ КОМИТЕТ БРЕСТСКОЕ ОБЛАСТНОЕ КОММУНАЛЬНОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ ЦЕНТР ВНЕДРЕНИЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИХ РАЗРАБОТОК НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ПАРК V Брестский инвестиционный форум III Международная научно-практическая конференция ПЕРСПЕКТИВЫ ИННОВАЦИОННОГО РАЗВИТИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Сборник научных статей 26-28 апреля 2012,...»

«ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ПРОЦЕССЫ В СЕКТОРЕ РЕАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ Р Ф Сборник научных трудов Том 1 Москва 2004 2 Международная Академия Реальной Экономики ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ПРОЦЕССЫ В СЕКТОРЕ РЕАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ РФ Сборник научных трудов Том 1 Под редакцией В.А. Пономарёва Материалы научно-практической конференции 26 апреля 2004 г., г.Москва 3 Материалы научно-практической конференции 26 апреля 2004 г., г.Москва Редакционный совет: Иванов А.И., д.ф-м.н., Пономарёв В.А., д.э.н., Чересов...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.