WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |

«1 Содержание 1 Введение 7 2 Конечные группы 8 2.1 Лекция 1. Понятие симметрии. Определение группы и подгруппы. Отображения. Примеры групп и отображений................. ...»

-- [ Страница 1 ] --

ТЕОРИЯ ГРУПП И СИММЕТРИЙ;

ЛЕКЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ–ФИЗИКОВ

1

Содержание

1 Введение 7

2 Конечные группы 8

2.1 Лекция 1. Понятие симметрии. Определение группы и подгруппы. Отображения. Примеры групп и отображений.................. 8

2.2 Лекция 2. Группы симметрий правильных n-угольников (диэдральные группы Dn ). Смежные классы. Классы сопряженных элементов. Фактор группа. Прямое произведение групп................... 18 2.3 Лекция 3. Группа перестановок Sn (симметрическая группа)....... 27 2.4 Лекция 4. Теорема Эйлера и эйлерова характеристика. Правильные платоновские многогранники и их симметрии. Фуллерены и графены.. 2.5 Лекция 5. Кристаллографические группы. Квазикристаллы. Мозаики Пенроуза..................................... 2.6 Лекция 6. Матрицы. Матричные группы и группы линейных преобразований. Группы GL(n), U(n), O(n) и Sp(2n)................ 2.7 Лекция 7. Матричные представления групп. Характер представления.

Прямое произведение и прямая сумма представлений. Приводимые и неприводимые представления. Леммы Шура................ 3 Группы и алгебры Ли 3.1 Лекция 8. Группа вращений O(2) в двумерном пространстве (собственные и несобственные вращения). Группа вращений в двумерном псевдоевклидовом пространстве O(1, 1). Параметризации групп SO(2), SO(1, 1). 3.2 Лекция 9. Многообразия. Непрерывные группы Ли. Компактные и некомпактные группы. Общее определение алгебр Ли.............. 3.3 Лекция 10. Группа вращений в трехмерном пространстве O(3). Параметризации группы SO(3). Алгебра Ли группы SO(3)........... 3.4 Лекция 11. Унитарная группа SU(2) и ее алгебра Ли. Универсальная накрывающая группа для группы SO(3)................... 3.5 Лекция 11а. Связь алгебр Ли su(2) и sl(2). Алгебра Ли sl(2) и ее конечномерные представления. Конечномерные представления групп Ли SL(2) и SU(2).................................. 3.6 Лекция 12. Прямое произведение конечномерных представлений группы SU(2) и его разложение в прямую сумму неприводимых представлений.

Коэффициенты Клебша - Гордана...................... 3.7 Лекция 13. Унитарная группа SU(N) и ее алгебра Ли. Базис Картана.

Конструкция Йордана-Швингера для образующих алгебр Ли. Матрицы Гелл-Манна. Кварки и SU(3) симметрия. Массовые формулы.... 3.8 Лекция 14. Метод индуцированных представлений. Унитарные представления некомпактных групп SL(N, C).................. 4 Группы Лоренца и Пуанкаре и их представления. 4.1 Лекция 15. Пространство Минковского M. Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты. Алгебра Ли для группы Пуанкаре............... 4.2 Лекция 16. Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры. Твисторы................ 4.3 Лекция 17. D- мерная алгебра Клиффорда ClD и ее представления.

Группы Spin(D). Алгебра Клиффорда Cl(D1,1) и ее представления.

Группы Spin(D 1, 1)............................. 4.4 Лекция 18. Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии. Ковариантность уравнения Дирака.......................... 4.5 Лекция 19. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре. Представления группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера.

Индуцированные представления. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре............................ 4.6 Лекция 20. Скрытые симметрии SO(4) и SO(3, 1) в квантово-механической модели атома водорода............................. 5 Приложение План нового курса Лекция 1. Группы (определения и примеры) Понятие симметрии. Определение группы, подгруппы, смежные классы, факторпространство, инвариантные подгруппы, фактор- группа, центр, прямое произведение групп,.....

Лекция 2. Матричные группы: GL(n), SL(n), U(n), O(n), Sp(2n),.......

Отображения групп. Гомоморфизм, изоморфизм, Ker, Im, точные последовательности Лекция 3. Многообразия. Группы Ли (ГЛ) и алгебры Ли (АЛ) (общая теория и примеры). Комплексные и вещественные АЛ. Вещественные формы ГЛ. Компактные ГЛ и АЛ. Простые и полупростые АЛ. Универсальные накрывающие ГЛ.

Суммирование и интегрирование на группах. Метрика на группе, мера Хаара.

Лекция 4. Линейные (матричные) представления ГЛ и АЛ.

Характер представления. Прямое произведение и прямая сумма представлений. Приводимые и неприводимые представления. Леммы Шура. Элементы теории характеров.

Лекция 5. Присоединенные представления АЛ и ГЛ. Обертывающие АЛ, операторы Казимира. Конечномерные неприводимые представления АЛ и ГЛ sl(2) su(2).

Представления со старшим весом. Ряд Клебша-Гордана.

Лекция 6. Группа перестановок Sn (симметрическая группа). Дуальность Шура - Вейля. Диаграммы Юнга.

Лекция 7. Однородные и симметрические пространства. Расслоенные пространства. Связности на расслоениях (монополи???). Примеры: сферы, грассманианы, расслоения Хопфа,...

Лекция 8. Элементы гомотопической топологии (по В.А.Рубакову, А.С.Шварцу, Ботт-Ту,...) (Можно обойтись) Лекция 9. Пространство Минковского M. Группы Лоренца и Пуанкаре. Бусты.



Алгебра Ли для группы Пуанкаре. Группа SL(2, C) и группа Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Матрицы Дирака. Дираковские биспиноры. Майорановские и вейлевские спиноры.

Лекция 10. D- мерная алгебра Клиффорда ClD и ее представления. Группы Spin(D).

Алгебра Клиффорда Cl(D1,1) и ее представления. Группы Spin(D 1, 1). Уравнение Дирака и многомерные спиноры. Зарядово-сопряженные, вейлевские и майорановские спиноры в многомерии. Ковариантность уравнения Дирака.

Лекция 11. Вектор Паули-Любанского и операторы Казимира группы Пуанкаре.

Представления группы Пуанкаре. Малая группа Вигнера. Индуцированные представления. Массивные и безмассовые представления группы Пуанкаре.

Лекция 12. Базис Картана-Вейля в АЛ. Разложение Картана элементов ГЛ. Корни, диаграммы Дынкина. Классификация полупростых алгебр и групп Ли.

Лекция 13. (Дополнение) Суперсимметрия. Супергруппы и супералгебры Ли. Суперконформные группы и алгебры Ли. Алгебры Вирасоро и Каца-Муди и их представления. Янгианы.

Семестр No. 1. Темы курсовых проектов по курсу ”Теория групп”.

1. Группа перестановок. Элементы теории матричных представлений группы перестановок.

2. Группа симметрий тетраэдра, октаэдра и икосаэдра. Образующие, определяющие соотношения, таблица Кэли.

3. Аналог теоремы Эйлера для 3-х мерной сферы S 3. Замощение S 3 полиэдрами. (5) 4. Группы и алгебры Ли.

5. Унитарные матрицы и унитарные группы. Группа SU(2) и ее алгебра Ли. Матрицы Паули.

6. Унитарные матрицы и унитарные группы. Группа SU(3) и ее алгебра Ли, матрицы Гелл-Манна.

7. Ортогональные матрицы и группы вращения. Группа SO(3) и ее алгебра Ли.

8. Ортогональные матрицы и группы вращения. Группа Лоренца и ее алгебра Ли.

9. Алгебры осцилляторов. Представление алгебр Ли для групп SL(n) и Sp(2n) c помощью осцилляторов.

10. Матрицы Дирака, их свойства и представления.

11. Спинорные представления группы Лоренца. Майорановские и дираковские спиноры.

12. Алгебры с делением. Группа и алгебра кватернионов.

13. Алгебры с делением (ассоциативные и неассоциативные). Октонионы. (5) 14. Спин и изотопический спин (протон-нейтрон), оболочечная модель ядра, магические числа. (5) 15. Унитарная симметрия в физике элементарных частиц, кварки. (5) 16. Релятивистское уравнение Дирака для электрона и позитрона во внешнем поле.

17. Модель неабелевых калибровочных полей. (5) 1 Введение Лекции представляют собой элементарное введение в теорию групп. Лекции начинаются с обсуждения понятия симметрии (от греческого слова ”µµ ” – совместно измеренное или соразмерное) – преобразования, при котором объект или совокупность объектов сохраняет свои свойства (форму, и т.д.) ”Понятие симметрии неразрывно связано с понятием о красоте. При этом истинная, высшая красота требует небольшого нарушения симметрии придающего ей таинственный и манящий элемент незаконченности” [21]. Мы рассматриваем "симметрии как гармонии пропорций"[1] и обсуждаем геометрическое понятие симметрии в различных формах, таких как зеркальная симметрия, переносная симметрия, симметрия орнаментов и кристаллов и т.д. Это рассмотрение естественно приводит к идее, обобщающей все эти частные примеры симметрий, а именно инвариантности некоторых объектов относительно определенной совокупности (группы) преобразований. Только после этого можно перейти к абстрактному математическому определению группы. Такая последовательность изложения – совет Феликса Клейна из его "Лекций о развитии математики в XIX столетии"[2].

Основоположником теории групп считается Эварист Галуа (1811 - 1832, убит на дуэли в возрасте 21 года). Занимаясь проблемой разрешимости алгебраических уравнений, он ввел понятия поля, группы и др. и создал то, что сейчас называется "теорией Галуа". Группу в этом случае образуют n! перестановок n корней x1, x2,..., xn заданного алгебраического уравнения n-ой степени Вот определение симметрий, которое дано в книге [1] ”симметрия обозначает тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в единое целое” или ”симметричное означает нечто обладающее хорошим соотношением пропорций”.

Данные лекции читались на кафедрах теоретической и ядерной физики Международного университета г. Дубна в 2006 – 2008 годах, а также в МФТИ и на Физическом факультете МГУ в 2008 году. Мы благодарны А.А. Владимирову, В.П.

Колонцову, С.Н. Неделько, В.А. Осипову, И.К. Соболеву и др. за многочисленные полезные обсуждения материала изложенного в этих лекциях.

2 Конечные группы 2.1 Лекция 1. Понятие симметрии. Определение группы и подгруппы. Отображения. Примеры групп и отображений.

Мы начнем с рассмотрения симметрий знаменитого древнего символа – пятиконечной звезды (пентаграммы). Этот символ был известен еще древним грекам (а возможно и ранее) и иногда трактуется как символ женского начала.

С точки зрения определений симметрий, данных Г. Вейлем (см. Введение) пентаграмма на рис. 1 представляет собой идеально симметричный объект.

Пятиконечные конфигурации, типа пентаграммы, часто встречаются в природе.

Например, такую форму (см. рис. 1) имеют морские звезды. Если разрезать яблоко поперек, то можно обнаружить, что яблочные косточки располагаются в пяти камерах, симметрично расположенных относительно оси, проходящей перпендикулярно разрезу. Мандарин, как правило, состоит из пяти пар симметрично расположенных долей и т.д.





Прежде всего отметим известный еще древним грекам геометрический факт о пентаграмме, а именно Утверждение 2.1.1 Отрезок AC на рис.2 делится точкой G (или F) согласно пропорции T.е. отрезок AC делится точкой G(F) так, что отношение длины всего отрезка к большей его части равно отношению длины большей части отрезка к длине его меньшей части. Число = (1+ 5)/2 = 1, 61803398... называется золотым сечением.

Доказательство. Сумма углов в выпуклом n угольнике равна (n2)·180. Т.о., угол ABC на рис.2 равен 3 · 180 /5 = 108. Т.к. правильный выпуклый многоугольник ABCDE можно вписать в окружность, то углы ABE = EBD = DBC = BAC = 36 как опирающиеся на равные дуги. Треугольник ABG – равнобедренный, т.к.

AGB = 180 3·36 = 72 AGB = ABG = 72, следовательно AB = AG = BC.

Теперь заметим, что GBC и ABC подобны, откуда следует

BC AC AG AC

GC BC GC AG

Подставляя в (2.1.2) условие GC = AC AG мы получаем, что число = > удовлетворяет уравнению (второй корень квадратного уравнения = (1 5)/2 не подходит, т.к. он < 0).

Рассмотрим теперь преобразования (движения) в плоскости, которые переводят звезду на рис. 1 саму в себя. Заметим, что поворот звезды относительно точки O на угол 360 /5 = 72 по часовой стрелке совмещает звезду саму с собой, при этом вершина A переходит в B, B переходит в C и т.д., и в конце E переходит в A.

AB BC CD DE EA

Обозначим операцию (движение в плоскости) соответствующую этому повороту символом g1. Заметим теперь, что все повороты звезды относительно точки O на углы n · 72, (n = 1, 2,..., 5), как по часовой так и против часовой стрелки, совмещают звезду саму с собой. Обозначим эти повороты по, и против, часовой стрелки символами gn и gn, соответственно. Заметим также, что два последовательных поворота (операций) на углы n·72 и m·72, обозначаемые символами gn и gm, дают поворот на угол (n + m) · 72, который соответствует символу gn+m. Согласно этому наблюдению определим на множестве поворотов {gk } операцию умножения по правилу Т.е. умножение сопоставляет двум поворотам одну операцию, которая рассматривается как результат последовательного применения этих двух поворотов. В частности мы имеем g1 = gn. Данное умножение ассоциативно, т.к. мы имеем Обозначим поворот на нулевой угол (звезда остается на месте) символом e. Очевидно, что gn · e = e · gn = gn, т.е. элемент e является единичным элементом на множестве поворотов gn. Более того мы имеем gn · gn = e = gn · gn и, следовательно, для любого поворота gn поворот gn на тот же угол, но в обратном направлении, определяет обратный элемент gn = gn по отношению к тому умножению, которое мы определили. Наконец отметим, что откуда следуют равенства gn = g5n (n = 1, 2, 3, 4).

Все вышесказанное можно резюмировать следующим образом. Мы определили множество (группу) из 5 операций (элементов) gn (n = 0, 1, 2, 3, 4), которые можно перемножать по правилам (2.1.4) – (2.1.6). Это множество включает единичный элемент g0 = e и элементы g5n обратные к gn. Множество, состоящее из пяти элементов с такими свойствами, называется циклической группой 5-ого порядка и обозначается C5 или Z5. Заметим, что любые два элемента группы C5 коммутируют, т.е.

gn · gm = gm · gn. Группы у которых любые два элемента коммутируют, называются абелевыми.

Рассмотрим пример неабелевой группы, для чего дополним группу C5 поворотов звезды еще одним преобразованием (элементом), переводящим звезду на рис. 1 саму в себя. Для этого рассмотрим зеркальное отражение звезды относительно вертикальной оси BO, проходящей через точки B и O на рис 1. При этом вершина звезды B остается на месте B B, а остальные вешины переходят друг в друга по правилу A C, E D. Обозначим это преобразование за r. Очевидно повторное зеркальное отражение относительно BO возвращает вершины на свои места:

Преобразование g1 · r (где r зеркальное отражение относительно вертикальной оси) соответствует переходу Напомним, что сначала делается поворот g1 а затем отражение r, ("слово"g1 · r читается слева направо) т.е. мы имеем следующее действие на звезду справа:

В то же время для преобразования r · g1 мы имеем

AD BC EE

Сравнивая (2.1.8) и (2.1.10) мы заключаем, что g1 · r = r · g1 и, т.о., соответствующая расширенная группа преобразований является неабелевой. На самом деле легко показать, что Расширенная группа симметрий пентаграммы (включающая и вращения и отражения) называется диэдральной группой D5. Группа D5 имеет конечный порядок (число элементов) равный 10, что легко понять перечислив все ее элементы {e, gn, r, rgn } (n = 1, 2, 3, 4), воспользовавшись определяющими соотношениями (2.1.4), (2.1.6), (2.1.11). Всю информацию о группах конечного порядка удобно суммировать в виде таблицы умножения (или таблицы Кэли по имени английского математика 19-ого столетия (1821 - 1895); предложена в 1854 г.), которая для группы D5 имеет вид T.к. любой элемент группы D5 имеет вид r k g1 (k = 0, 1; n = 0, 1, 2, 3, 4) то эта группа порождается только двумя элементами (g1, r), которые называются образующими группы D5.

Из таблицы Кэли видно, что пять элементов {e, g1, g2, g3, g4 } образуют абелеву подгруппу C5 в группе D5 (произведение любых двух элементов из C5 есть снова элемент из C5 ). Заметим, что преобразования из групп C5 и D5 – частные преобразования из более общей группы всех возможных перестановок 5 букв {A, B, C, D, E}.

Эта группа называется группой перестановок 5 элементов и обозначается S5 (ее порядок равен 5! = 120).

Дадим математическое определение группы.

Определение 2.1.1 Конечное (или бесконечное) множество G элементов называют группой, если в G определено умножение (групповая операция) элементов, для которого выполняются следующие условия:

а) Групповое свойство: операция умножения сопоставляет каждой паре элементов g1 и g2 из G элемент g3 G (мы будем писать g1 · g2 = g3 ).

б) Для любых трех элементов g1, g2, g3 из G выполняются соотношения:

(g1 · g2 ) · g3 = g1 · (g2 · g3 ). Это свойство называется ассоциативностью групповой операции умножения.

в) В группе G существует элемент e, называемый единицей группы такой, что г) Для каждого элемента g G существует обратный элемент g 1 G такой, Другие примеры групп:

1.) Множество вещественных чисел R\{0} является группой по отношению к обычному умножению чисел. Число 1 выступает в роли единицы в группе. (Вопрос: почему удалено число 0?) 2.) Два числа {+1, 1} по отношению к умножению образуют группу C2 = Z2.

3.) Множество положительных вещественных чисел R+ также является группой относительно умножения чисел.

4.) Группа целых чисел Z: {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} по отношению к сложению (в качестве операции умножения здесь выступает сложение).

5.) Группа собственных вращений (без отражений) в двумерном пространстве SO(2) (S и O – начальные буквы в словах: Special Orthogonal) – группа симметрии единичной окружности на плоскости. Умножение вращений – их последовательное применение.

6.) Группа всех перестановок 5 элементов S5. Умножение перестановок – их последовательное применение.

7.) Группа собственных вращений в трехмерном пространстве SO(3) – группа симметрии единичной двумерной сферы в R3. Элементы этой группы – все возможные вращения сферы вокруг ее центра.

8.) Общая линейная группа GL(5) всех невырожденных 5 5 матриц (G и L – начальные буквы в словах: General Linear).

Определение 2.1.2 Число элементов в группе G называется порядком группы. Если все элементы группы G коммутируют друг с другом, то такая группа называется абелевой.

Например, группа C5 – абелева. Группы из первых 5 примеров абелевы. Группа D5, группа S5 всех перестановок 5-и элементов, группа SO(3) и группа GL(5) неабелевы.

Определение 2.1.3 Подмножество H элементов группы G называют подгруппой, если H является группой относительно введенной в G операции умножения, т.е.

единичный элемент e H, и для всех элементов h1, h2, h из H мы имеем h1 · h2 H и h1 H.

Примеры подгрупп:

1.) Группа вещественных положительных чисел R+, а также группа рациональных чисел Q\{0}, по отношению к умножению – подгруппы в группе вещественных чисел R\{0}.

2.) Циклическая группа C5 – абелева подгруппа в диэдральной группе D5.

3.) Группы C5 и D5 – подгруппы группы S5.

4.) Группа SO(2) – подгруппа группы SO(3).

5.) Специальная линейная группа SL(5), состоящая из всех 5 5 матриц с детерминантом равным 1 (S и L – начальные буквы в словах: Special Linear)– подгруппа в GL(5).

Понятие отображения Преобразования из групп C5 и D5, примеры которых приведены в (2.1.3), (2.1.8), (2.1.10), а также перестановки 5 букв {A, B, C, D, E}, представляющие собой элементы из группы перестановок S5, можно рассматривать как различные взаимнооднозначные отображения из множества 5 букв {A, B, C, D, E} в то же самое множество Т.о., мы видим, что понятие группы тесно связано с понятием отображения, или точнее с понятием множества отображений. Это понятие является центральным для многих разделов математики. Математическое понятие отображения (mapping) возникло путем абстрагирования понятия карты или плана (map) города, местности и т.д. В математике под отображением понимают установление соответствия между элементами исходного объекта (прообраза) и элементами его образа. Важное требование для отображения - это невозможность ставить в соответствие одному элементу исходного объекта два и более различных элементов из образа (см. рис.3), т.к. одному объекту на местности не могут соответствовать две разные точки на карте. В то же время различным элементам исходного объекта может соответствовать единственный элемент образа (см. рис.4) Начнем изучение понятия отображения с рассмотрения простого случая, когда в качестве исходного объекта и его образа берутся множества с конечным числом элементов. Пусть задано множество X = {A, B, C, D, E} (студенты) и множество Y = {1, 2, 3, 4, 5} (стулья), состоящие из пяти элементов. Установим следующее соответствие g: X Y такое, что Это отображение удобно представить в виде Заметим, что каждому элементу из X сопоставляется единственный элемент из Y и наоборот (каждый студент сидит на своем стуле). Такое отображение называется взаимно-однозначным (или биекцией). Очевидно, что взаимно-однозначное отображение обратимо (достаточно поменять все стрелки в (2.1.12) на обратные).

Рассмотрим теперь другое отображение f : X Y Данное отображение не является взаимнооднозначным – студенты A, B сидят на одном стуле 1, студенты C, D ютятся на одном стуле 2, а студент E восседает на своем личном стуле 5 (отметим, что согласно рис.3, одному студенту запрещено сидеть сразу на двух стульях). Все множество X отображается в Y лишь на подмножество {1, 2, 5} Y (в дальнейшем мы будем различать отображение ”на” и отображение ”в”). Данное отображение не обратимо, т.е. для f невозможно определить обратное отображение (поворот всех стрелок в (2.1.13) приводит к необходимости отобразить один элемент из Y в два различных элемента X, что запрещено, см. рис.3).

Другой пример отображения дается таблицей умножения группы D5, приведенной выше. При этом отображении паре элементов из D5 соответствует единственный элемент из D5, приведенный в таблице. Такое отображение обозначается следующим образом: D5 D5 D5 и в качестве множеств X и Y мы имеем D5 D5 и D5, соответственно. Этот пример дает абстрактное определение умножения в любом множестве G как отображения m: G G G (т.е. двум элементам из G соответствует элемент из G). Ассоциативность отображения m (умножения) при таком определении представляется в виде коммутативности диаграммы (здесь id обозначает тождественное отображение G G).

Множество X называется областью определения или прообразом отображения X Y, а множество тех элементов из Y, которые являются образами элементов из X, называется областью значений или образом отображения X Y.

Пользуясь понятиями отображений, мы можем теперь интерпретировать операции g1 и r, переводящие звезду саму в себя, как следующие взаимно-однозначные отображения множества {A, B, C, D, E} в себя

ABCDE ABCDE

BCDEA CBAED

Эти обозначения чрезвычайно удобны для умножения операций g1 и r:

ABCDE ABCDE ABCDE

BCDEA CBAED BAEDC

(правило следующее: например, согласно первой операции C D, а согласно второй операции D E, т.о., в результате получаем C E и т.д. 1 ). Из таблицы Кэли для D5 следует, что этот же результат (2.1.15) получается и для произведения r · g4.

Действительно, мы имеем

ABCDE ABCDE ABCDE

CBAED EABCD BAEDC

Нетрудно убедиться, что мы получили те же результаты, что и при последовательном вращении и отражении (отражении и вращении) пентаграммы. Такой способ перемножения (он нам понадобится при обсуждении группы перестановок) гораздо более удобен в случае конечных груп, не имеющих наглядной интерпретации в виде симметрии какого-либо объекта, типа звезды.

Приведенная интерпретация преобразований симметрии как взаимно- однозначных отображений позволяет ввести абстрактное определение симметрий некоторого множества M:

Определение 2.1.4 Симметрией множества M называется взаимно-однозначное отображение : M M. Если множество M наделено некоторой структурой (например, структурой векторного пространства), то симметрия должна сохранять эту структуру.

На совокупности GM всех симметрий множества M можно определить умножение двух симметрий 1 и 2 как отображение 1 · 2, получающееся в результате последовательного применения отображений 1 и 2. Очевидно, что GM, с заданной операцией умножения, образует группу.

В заключении этой лекции мы обсудим еще один важный для теории групп тип отображений. Заметим, что операции (2.1.14) можно представить как результат действия справа некоторых 5 5 матриц на вектор (A, B, C, D, E):

Отметим, что здесь мы перемножаем отображения так, что стоящее слева отображение считается первым, следующее – вторым и т.д. Иногда принимают другой порядок умножения, при котором первое отображение стоит справа. Этот порядок определяется тем, в какую сторону (влево или вправо) действуют преобразования, соответствующие этим отображениям, см (2.1.9).

Пользуясь этим матричным представлением для элементов g1 и r (обозначим эти представления как (g1 ) и (r)), посчитаем произвеление (r) · (g1 ) · (r) · (g1 ):

что соответствует результату представленному в таблице Кэли для D5. Т.о., мы определили отображение : D5 GL(5) из группы диэдра D5 в группу матриц (5 5), причем такое, что g1, g2 D5 мы имеем (g1 · g2 ) = (g1 ) · (g2 ). Отображение, обладающее таким свойством, называется гомоморфизмом.

Определение 2.1.5 Отображение группы G в другую группу G называют гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую операцию, т.е.

для всех g1, g2 G. Гомоморфное отображение называется изоморфизмом если оно является взаимно однозначным отображением G G. Изоморфизм группы G на себя называется автоморфизмом.

Примеры 1. Изоморфизм группы C5 и группы комплексных чисел 2. Примером автоморфизма : D5 D5 может служить преобразование элементов D5, осуществляемое с помощью умножения всех элементов D5 на элемент r D слева и справа одновременно, т.е. a D5 мы имеем: a (a) = r a r. При этом 3. Примером тривиального гомоморфизма служит отображение G e всех элементов группы G в единичный элемент e группы, состоящей из этого одного элемента e.

Упражнения.

1. Рассмотреть группу симметрии D2 отрезка AB (правильного "двухугольника") с учетом изменения ориентации, заданной вектором на рисунке (т.е. вращение на 180 градусов и отражение относительно вертикальной оси не эквивалентны). Составить для этой группы таблицу Кэли. Доказать, что эта группа абелева и содержит две разные подгруппы C2.

2. Составить таблицы Кэли для групп симметрии правильного треугольника D3 и квадрата D4.

3. Составить таблицу Кэли для группы перестановок трех элементов S3 и доказать изоморфизм D3 S3.

4. Доказать, что матричное умножение ассоциативно, т.е. выполняется соотношение A(BC) = (AB)C, где A, B, C-произвольные n n матрицы. (Указание: записать компоненты произведения матриц (A · B · C) в виде aij bjk ckm ).

5. Доказать, что множество (n n) матриц, с определителем не равным нулю, образует группу относительно матричного умножения. Эта группа обозначается GL(n).

6. Доказать, что совокупность всех симметрий множества M образует группу.

2.2 Лекция 2. Группы симметрий правильных n-угольников (диэдральные группы Dn ). Смежные классы. Классы сопряженных элементов. Фактор группа. Прямое произведение групп.

В этой лекции мы продолжаем изучение конечных групп или групп конечного порядка (групп с конечным числом элементов). В предыдущей лекции мы подробно обсуждали группы симметрий C5 и D5 правильного пятиугольника. На основе рассмотрения этих симметрий мы дали абстрактное определение группы и подгруппы.

Группы симметрий правильного n-угольника Cn и Dn определяются аналогичным образом. Рассмотрим правильный n-угольник, вершины которого лежат на окружности Группа Cn порождена поворотом n-угольника по часовой стрелке на угол 360 · n или, что то же самое, циклическая перестановка вершин где в правой части мы ввели краткое обозначение для цикла длинны n. Очевидно, что g1 = e и все элементы представимы в виде {e, g1, g1,... g1 }, а порядок этой абелевой группы равен n.

Для задания диэдральной группы Dn всех преобразований симметрии правильного n-угольника необходимо расширить группу Cn, добавив все отражения правильного n-угольника относительно осей симметрии, проходящих через его вершины. Для этого достаточно определить преобразование симметрии правильного n-угольника, соответствующее его отражению относительно вертикальной оси, проходящей через Элементы группы Dn представимы в виде {e, g1, g1,..., g1, r, rg1,..., rg1 } и ее порядок равен 2n. Всю таблицу умножения Кэли для Dn можно вывести исходя из соотношений на порождающие элементы g1, r:

которые называются определяющими соотношениями для группы Dn. В качестве других образующих группы Dn можно выбрать 2 элемента a, b, удовлетворяющих определяющим соотношениям которые переходят в (2.2.1) при отождествлении a = r, (a · b) = g1, b = r · g1.

Отметим, что у правильных n-угольников с четным числом вершин n = 2k имеются дополнительные оси симметрии, которые проходят через середины противоположных сторон. Однако, как легко увидеть, отражения относительно этих дополнительных осей сводятся к преобразованиям rgm.

Группа Cn – подгруппа в группе Dn. Отметим следующее замечательное свойство подгруппы Cn. А именно f Cn и g Dn мы имеем что иногда записывают как g·Cn ·g 1 Cn. Т.е., умножая любой элемент f подгруппы Cn Dn слева на любой элемент g Dn, а справа на обратный элемент g 1 (такое действие элемента g на f называется присоединенным), мы всегда получаем элемент из той же подгруппы Cn. Этот факт очевиден для g Cn. Если же g включает в себя отражение g = rgk, то g 1 = gk r и, пользуясь тождествами r 2 = e и которые легко выводятся из определяющих соотношений (2.2.1), мы получаем Подгруппы, обладающие свойством (2.2.3), называются инвариантными. Абстрактное определение следующее Определение 2.2.1 Пусть H- подгруппа в группе G. Если gHg 1 H для любого элемента g из группы G, то H называется инвариантной подгруппой, или нормальным делителем.

Инвариантные подгруппы были введены Э.Галуа в 1830 г. Замечательное наблюдение Э.Галуа заключается в том, что группу можно делить на ее инвариантную подгруппу и результат деления будет снова группой. Для описания такого деления необходимо ввести понятие смежного класса.

Определение 2.2.2 Подмножество элементов gH = {g · h|h H}, где g фиксированный элемент группы G, называется левым смежным классом элемента g группы G по подгруппе H. Аналогично: Hg = {h·g|h H} называется правым смежным классом элемента g G по подгруппе H.

Пример: Рассмотрим смежные классы группы Dn по подгруппе Cn. Если в качестве элемента g Dn мы возьмем элемент из подгруппы Cn, то его левый смежный класс g · Cn совпадает с множеством e · Cn Cn. Если в качестве элемента g мы возьмем элемент вида rgm, то левый смежный класс по подгруппе Cn совпадает с множеством r · Cn. Очевидно, что эти два класса e · Cn и r · Cn не пересекаются и исчерпывают всю группу Dn. Аналогично, пользуясь формулой (2.2.4), легко получить, что Dn расщепляется на два непересекающихся правых смежных класса Cn ·e и Cn ·r, причем Множества левых и правых смежных классов группы G по подгруппе H обозначаются G/H и H\G, соответственно.

Утверждение 2.2.1 Левые (правые) смежные классы либо совпадают, либо не пересекаются. Левые и правые смежные классы (одного и того же элемента) по инвариантной подгруппе совпадают.

Док-во. Пусть один и тот же элемент g принадлежит левым смежным классам g1 H и g2 H: g g1 H и g g2 H. Это значит, что существуют h1, h2 H, такие что g1 h1 = g = g2 h2. Отсюда следует, что g1 = g2 h2 h1 = g2 h и следовательно g1 g2 H, g2 g1 H, т.е. такие смежные классы совпадают g1 H = g2 H. Для правых смежных классов это утверждение доказывается аналогично. Пусть подгруппа H инвариантна. Тогда g G, согласно определению инвариантной подгруппы, мы имеем gHg 1 = H, т.е. gH = Hg – левые и правые смежные классы совпадают. • Определим произведение двух смежных классов g gH и g g H элементов g и g группы G по инвариантной подгруппе H как множество, составленное из всех произведений f · f, f g и f g. В результате такого произведения мы получаем снова смежный класс gg, т.к. (gH) · (g H) = g(H g )H = g(g H)H = g g H в силу определения инвариантной подгруппы H. Т.е. групповая аксиома для такого определения произведения смежных классов выполнена. Ассоциативность этого произведения очевидно следует из ассоциативности группового умножения в G. Роль единицы выполняет смежный класс eH, совпадающий с подгруппой H, а обратный к gH смежный класc есть g 1 H. Т.о., мы получили:

Утверждение 2.2.2 Смежные классы группы G по инвариантной подгруппе H образуют группу G/H, которая называется факторгруппой.

Пример. Как мы выяснили группа Dn распадается в два смежных класса e и r по инвариантной подгруппе Cn : e = e · Cn и r = r · Cn. Таблица Кэли для элементов e и r совпадает с таблицей Кэли для группы C2 :

Т.о., мы имеем Dn /Cn = C2.

Отметим, что можно специальным образом перемножить две группы G1 и G2, чтобы получить новую группу, которая обозначается G1 G2 и называется прямым произведением групп. Прямое произведение групп играет важную роль в теории групп, оно позволяет конструировать новые группы и сводить изучение более сложных групп к изучению более простых.

Определение 2.2.3 Пусть G1 и G2 – две группы. Множество всех пар (g1, g2 ) (g G1 и g2 G2 ) с покомпонентной операцией умножения (g1, g2 )(h1, h2 ) = (g1 h1, g2 h2 ) образует группу, называемую прямым произведением групп G1 и G2. Единицей в этой группе служит элемент (e1, e2 ), где e1 и e2 единицы в группах G1 и G2, соответственно.

В группе G1 G2 имеются две инвариантные подгруппы, изоморфные G1 и G2, с элементами (G1, e2 ) и (e1, G2 ); соответствующие фактор группы равны G1 G2 /G Важным понятием в теории групп является понятие классов сопряженных элементов в группе G.

Определение 2.2.4 Подмножество элементов g0 = {g g0 g 1 |g G}, где g0 фиксированный элемент группы G, называется классом сопряженности (или классом сопряженных элементов) для элемента g0.

Единица группы e образует класс сопряженных элементов, состоящий из одного элемента. Группа G расслаивается на классы сопряженных элементов, т.к. классы сопряженности или совпадают или не пересекаются. Это следует из равенств Примеры.

1. Группа Cn расслаивается на n классов сопряженности {e}, {g1}, {g2 },..., {gn1 }, каждый из которых состоит из одного элемента. Действительно, группа Cn – абелева и g Cn мы имеем ggn g 1 = gn. Такое расслоение на классы сопряженности, состоящие из одного элемента, справедливо для всех абелевых групп.

2. Группа D2n+1 расслаивается на n + 2 класса сопряженности {e}, {gk, gk } (k = 1,..., n), {r, rg1,..., rg2n }. То, что все несобственные элементы D2n+1 попадают в один класс сопряженности следует из соотношения rgk (rgm )gk r = rg2km и нечетности порядка группы (2n + 1).

3. Группа D2n расслаивается на n + 3 класса сопряженности {e}, {gn }, {gk, gk } (k = 1,..., n 1), {rg2k }, {rg2k+1 }.

Определение 2.2.5 Подмножество самосопряженных элементов группы G образует абелеву инвариантную подгруппу Z, которая называется центром группы G.

Т.е., центр Z группы G образован теми элементами из G, которые коммутируют со всеми элементами G. Доказательство того, что такое множество Z является инвариантной подгруппой – очевидно.

Примеры.

1. Любая группа имеет тривиальный центр, состоящий из одного элемента e.

2. Центр абелевой группы Cn совпадает с самой группой.

3. Центр группы D2n образован двумя элементами {e, gn }.

Определение 2.2.6 Конечная группа G называется простой, если она не имеет нетривиальных инвариантных подгрупп. Конечная группа G называется полупростой, если она не имеет нетривиальных абелевых инвариантных подгрупп.

Т.о., понятие простых групп обобщает понятие простых чисел (простые группы делятся только на тривиальные нормальные делители).

Примеры.

1. Группы Cp просты, если p – простое число. Группы Dn не полупросты и не просты.

2. Если группы G1 и G2 просты и неабелевы, то группа G1 G2 полупроста.

Определение 2.2.7 Цепочка подгрупп для которых Gi+1 – инвариантная подгруппа (нормальный делитель) в Gi, i n 1, называется нормальным рядом группы G. Факторгруппы G1 /G2, G2 /G3, G3 /G4,..., называют факторами нормального ряда. Группа, имеющая нормальный ряд, все факторы которого коммутативны, называется разрешимой.

Оказывается, что можно установить чрезвычайно важную связь между инвариантными подгруппами некоторого набора групп и гомоморфизмами между этими группами (определение гомоморфизма групп дано в Лекции 1, см. Определение 2.1.5). Рассмотрим гомоморфизм : G G из группы G в группу G. Множество K элементов G, отображающихся с помощью в единичный элемент e G, называется ядром гомоморфизма. Множество элементов I G, на которое отображается группа G при отображении, называется образом гомоморфизма. Очевидно, что K и I являются подгруппами в G и G, соответственно, причем Утверждение 2.2.3 Ядро K гомоморфного отображения : G G есть инвариантная подгруппа в G.

Док-во. Пусть K = {K1, K2,..., Km }. Множество K есть группа, т.к. из (Ki ) = e и (Kj ) = e следует (Ki Kj ) = e и следовательно Ki Kj K. Кроме того e K и Ki1 K, т.к.

K есть инвариантная подгруппа, т.к. g G мы имеем Утверждение 2.2.4 Если ядро K гомоморфного отображения тривиально, то – изоморфизм в G 2.

Док-во. Пусть ядро гомоморфизма : G G тривиально, т.е. состоит только из одного элемента e: (e) = e и (g) = e g = e, то мы имеем (g1 ) = (g2 ) если g1 = g (т.е. – изоморфизм в G ). Докажем этот факт от противного. Пусть g1 = g2 такие, что (g1 ) = (g2 ), следовательно (g1 g2 ) = e, т.е. элемент g1 g2 K() и g1 g2 = e, а это противоречит нашему первоначальному утверждению о тривиальности ядра K().

Рассмотрим последовательность групп и гомоморфизмов Напомним, что мы различаем ”отображение на” и ”отображение в”: G G. В первом случае образом является все множество G, а во втором случае – некоторое подмножество G.

Такая последовательность называется точной, если образ i1 (Gi1 ) Gi совпадает с ядром i. Другими словами i (i1 (Gi1 )) = e (или i1 (Gi1 ) K(i ) Keri ) и i (g) = e, если g i1 (Gi1 ) (или Keri i1 (Gi1 )). Т.о., последовательность является точной только если является изоморфизмом H в G (т.к. образом e в H может быть только один элемент, который очевидно совпадает с единицей в H).

Проиллюстрируем этот факт с помощью диаграммы Аналогично, последовательность является точной только если образом µ является вся группа G (или G отображается на G ), т.к. вся группа G является ядром второго гомоморфизма G e:

Теперь предположим мы имеем точную последовательность и обозначим (H) = H :

Тогда H H, где H является ядром µ, т.е., согласно Утверждению 2.2.3, H H является инвариантной подгруппой в G. Т.к. µ(H ) = e, то весь смежный по H класс gH = H g в G отображается в единственный элемент µ(g) в G :

а для любых двух смежных классов gH и g H, которые не пересекаются (g 1 g ), мы имеем т.е. µ(gH ) = µ(g H ). Т.о., мы установили взаимнооднозначное соответствие групп G/H G/H и G :

т.е., если последовательность (2.2.5) – точная, то группа G есть факторгруппа G по Пример. Пусть Gi – абелевы группы (умножение можно заменить сложением, а единичные элементы в Gi будем обозначать нулем). Рассмотрим последовательность гомоморфизмов di ((ко)граничных операторов) таких, что di+1 di (Gi ) = 0, т.е. Imi = di (Gi ) Keri+1. Условие гомоморфизма в данном случае записывается в виде di (g1 + g2 ) = di (g1 ) + di (g2 ) (g1, g2 Gi ). Образ Imi = di (Gi ) в Gi+1 образует инвариантную (т.к. Gi+1 – абелева) подгруппу в ядре Keri+1. Фактор группа Hi = Keri+1 /Imi называется группой (ко)гомологий.

Для точной последовательности имеем Keri+1 = Imi и группы (ко)гомологий Hi тривиальны.

Упражнения 1. Доказать, что отражения правильных 2k-угольников относительно дополнительных осей симметрии (которые проходят через середины противоположных сторон) сводятся к преобразованиям rgm D2k.

2. Найти классы сопряженности для групп Dn Dn.

3. Докажите, что если порядок группы G равен 2n, а H – подгруппа порядка n группы G, то H – ее нормальная подгруппа. (Указание: В G имеется только 2 смежных класса, один из которых есть H, а второй можно реализовать как левый или как правый смежный класс по H.) 4. Если группа G конечна, то количество смежных классов по H называется индексом подгруппы H в G. Доказать теорему:

Теорема 2.2.5 (Лагранжа) Порядок и индекс подгруппы H в G являются делителями порядка группы G.

5. Найти факторгруппу аддитивной группы целых чисел, кратных 3, по подгруппе чисел, кратных 15.

6. Доказать, что группы S3 и S4 разрешимы, а группа S5 неразрешима.

2.3 Лекция 3. Группа перестановок Sn (симметрическая группа).

Как мы уже отмечали, элементы диэдральной группы Dn можно представить в виде взаимно однозначных отображений множества n вершин {1, 2,..., n} n-угольника в где {a1, a2,..., an } – некоторое новое размещение чисел {1, 2,..., n}. Т.о., перестановка A является взаимно-однозначным отображением следующего вида Все перестановки типа (2.3.6) образуют группу перестановок n объектов (симметрическую группу), которая обозначается Sn и в которой под произведением двух перестановок (2.3.6) и (очевидно, что столбцы в такой записи мы можем переставлять произвольным образом, при этом отображение не меняется) мы понимаем перестановку, которая получается в результате последовательного применения сначала перестановки A, а потом Единичная перестановка и обратная перестановка A1 к перестановке (2.3.6) имеют вид Циклическими перестановками или циклами (a1, a2,..., ak ) (k n) мы называем перестановки, которые объекты {a1, a2,..., ak } переставляют циклически a1 a2, a2 a3,..., ak1 ak, ak a1, а остальные (n k) объектов оставляют неизменными:

(циклы, состоящие из одного элемента, мы будем опускать для упрощения записи).

Очевидно, что любая перестановка распадается в произведение циклических перестановок (циклов). Практически – надо взять какой-то объект и последовательно записать те объекты в которые он переходит (согласно данной перестановке) пока не вернемся к начальному объекту. Далее повторить эту процедуру с оставшимися объектами и т.д. Например, рассмотрим перестановку из группы S7 :

где мы использовали краткое обозначение для циклов Заметим, что циклы, состоящие из разных символов, не влияют друг на друга и, соответственно, коммутируют друг с другом, например:

Цикл (a, b), переставляющий лишь два различных символа, называется транспозицией Утверждение 2.3.1 Любой цикл распадается в произведение транспозиций:

Док-во. Достаточно доказать следующее утверждение (k > 2) Действительно мы имеем: (a1, a2, a3,..., ak1 )(a1, ak ) = Или графически Т.к. любая перестановка представима в виде произведения циклов, то из Утверждения 2.3.1 следует, что любая перестановка представима в виде произведения транспозиций. Более того, любая перестановка представима в виде произведения соседних транспозиций (k, k + 1). Это утверждение легко понять на интуитивном уровне, т.к. любой объект ai из k объектов {a1, a2,..., ak } можно поставить на место любого элемента aj, а элемент aj на место ai (другие объекты останутся на своих местах) осуществляя последовательные транспозиции данного объекта с соседними объектами. Например, для случая j > i, мы сначала переставляем ai и ai+1, т.е.

делаем транспозицию (ai, ai+1 ) (при этом объект ai будет расположен на i + 1-ом месте), потом соседнюю (ai, ai+2 ) и т.д. до последней соседней транспозиции объектов (ai, aj ) (при этом объект ai будет расположен на j-ом месте, а все объекты am (m = i + 1,..., j) будут располагаться на m 1-ом месте). После этого, точно также (с помощью соседних транспозиций), объект aj с (j 1)-ого места можно передвинуть влево на i-ое место. Теперь из Утверждения 2.3.1 очевидно следует, что любую перестановку можно сделать, осуществляя соседние транспозиции.

Для группы Sn обычно выбирают один из 2-х наборов образующих:

1.) набор из (n1) образующих i = (i, i+1) (i = 1,..., n1) (соседних транспозиций), которые удовлетворяют соотношениям группы кос и i = e (i = 1,..., n 1). Соотношения (2.3.9) можно изобразить графически если воспользоваться представлением 2.) набор из двух образующих – первой транспозиции 1 = (1, 2) и самого длинного цикла = (1, 2,..., n) (см. упражнения к этой лекции).

Заметим, что графическое представление (2.3.10) подсказывает важную матричную реализацию образующих i Sn, а соответственно дает матричную реализацию и всей группы перестановок Sn. А именно, каждой вершине с номером a (a = 1,..., n) на диаграмме (2.3.10) в верхнем ряду сопоставим индекс ka, а в нижнем ряду – индекс ja, пробегающие M значений 1, 2,..., M. Каждой стрелке, связывающей вершины с индексами ka и rb сопоставим символ Кронекера rba. В результате для транспозиции a (2.3.10) получаем представление в виде тензора Наконец, произведению двух перестановок A, B Sn сопоставляется свертка соответствующих тензоров Здесь и в дальнейшем, если это не оговорено специально, мы будем придерживаться соглашения, что по повторяющимся индексам идет суммирование.

Определение 2.3.1. Перестановки, которые представляются в виде произведения четного (нечетного) числа транспозиций, называются четными (нечетными).

Заметим, что перестановки представляются в виде произведения транспозиций неоднозначно, т.к. транспозиции удовлетворяют соотношениям Тем не менее видно, что преобразования, использующие соотношения (2.3.13), сохраняют четность перестановки. Четные перестановки очевидно образуют подгруппу в группе перестановок Sn (произведение четных перестановок всегда имеет четное число транспозиций и, т.о., есть четная перестановка). Эта подгруппа обозначается An и называется альтернативной (или знакопеременной) подгруппой. Подгруппа An является инвариантной подгруппой в группе Sn, т.к. очевидно, что присоединенное преобразование h ghg 1 (g Sn ) сохраняет четность элементов h.

Утверждение 2.3.2 В группе Sn две перестановки, имеющие одинаковое разложение в произведение циклов (т.е. одинаковое количество циклов и одинаковые длины соответствующих циклов), содержатся в одном и том же классе сопряженных элементов.

Док-во. Действительно, перестановка состоящая из m циклов длинной k1, k2 k1,..., km km1 (km = n), преобразованием подобия T 1 AT, где T - произвольная перестановка т.е. T (ai ) = bi, переводится в перестановку состоящую из произведения циклов той же длинны. Т.о., произвольные перестановки A и B, имеющие одинаковое количество циклов и одинаковые длины соответствующих циклов, переводятся друг в друга преобразованием подобия и принадлежат одному классу сопряженных элементов.

Теперь, если мы хотим решить вопрос, входят ли две перестановки A и B в один и тот же класс, то расположим все циклы, произведение которых дают A (или B), слева на право в порядке убывания их длин, пока самый короткий цикл не окажется на последнем месте справа. Если длины всех циклов 1 = k1, 2 = k2 k1,..., m = km km и их число одинаковы для перестановок A и B, то эти перестановки принадлежат одному и тому же классу сопряженности, в противном случае это не так. Поэтому число классов равно числу последовательностей целых чисел 1, 2,..., m, удовлетворяющих условиям 1 2... m и 1 + 2 +... + m = km = n. Каждая такая которая изображает перестановки, имеющие m1 циклов длинной (1) (т.е. длины первых m1 циклов равны друг другу 1 =... = m1 (1) ), m2 циклов длинной (2), и т.д. Конкретную перестановку, например (2.3.14) можно представить в виде таблицы, заполняя клетки диаграммы соответствующими элементами Примеры.

1. Рассмотрим группу перестановок S3. Мы имеем следующие разбиения 3! = 6 перестановок 3-х элементов на 3 различных класса Соответствующие диаграммы Юнга имеют вид 2. Рассмотрим группу перестановок S4. Мы имеем следующие разбиения 24-х перестановок 4-х элементов на 5 различных классов (# обозначает их размерность) 2. (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) = •• = (2, 12) (#6), 3. (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) = •• = (2, 2) (#3), 4. (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3) = • = (3, 1) (#8), 5. (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (4, 3, 2, 1) = •••• = (4) (#6), Оказывается, что для числа сопряженных элементов класса K Sn, где = (m1, m2,..., mk ), можно получить общую формулу.

Утверждение 2.3.3 Рассмотрим класс K сопряженных элементов, имеющих разложение в циклы = (m1, m2,..., mk ) (2.3.16). Тогда, число |Z | перестановок g Z Sn таких, что фиксированный элемент K – стабилен (т.е. g g 1 = ) равно а число элементов в классе K определяется формулой Док-во. Согласно (2.3.15), (2.3.17) данная перестановка g Z либо переставляет в циклы одинаковой длинны, либо делает циклическую перестановку элементов внутри цикла. T.е., для циклов длинны (i), которых mi штук, имеется mi ! способов для первого действия и mi для второго действия. Произведение этих чисел дает (2.3.18).

Заметим, что Z – подгруппа в Sn. Вся группа Sn действует на преобразованием сопряжения gg 1 так, что все элементы g из левого смежного класса h · Z (для некоторого фиксированного h Sn )) переводят в один и тот же элемент hh1.

Более того, разные элементы из множества gg 1 (g Sn ) соответствуют разным смежным классам по подгруппе Z, т.к. из hh1 = h h 1 следует, что h1 h Z.

Т.о., число элементов в классе K равно числу смежных классов в Sn по подгруппе Z и, пользуясь Теоремой 2.2.5 и (2.3.18), мы получаем (2.3.19).

Заметим, что формула (2.3.19) имеет нетривиальный комбинаторный смысл, т.к. все пускает вероятностную интерпретацию.

Важность группы перестановок определяется тем, что в определенном смысле изучение конечных групп порядка n сводится к изучению различных подгрупп группы перестановок Sn. Это следует из следующего утверждения:

Теорема 2.3.4 (Кэли) Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок Sn.

Док-во. Для конечной группы G порядка n с элементами {e = g1, g2,..., gn } множество элементов {gi g1, gi g2,..., gi gn } для любого фиксированного элемента gi G совпадает с множеством {g1, g2,..., gn }, но записанном в другом порядке. Действительно, из gk = gm следует, что gi gk = gi gm, т.е. все элементы {gi g1, gi g2,..., gi gn } разные и, следовательно, перечисляют изначальный набор {g1, g2,..., gn }. То же самое справедливо и для набора {g1 gi, g2 gi,..., gn gi }. Т.о., мы можем сопоставить каждому элементу gi перестановку элементов группы G. Множество таких перестановок образует группу изоморфную G. Действительно Отсюда следует, что отображение gi pi задает гомоморфизм группы G на некоторую подгруппу группы Sn, причем тождественная перестановка pe является образом всего лишь одного единичного элемента e G (т.е. ядро отображения gi pi тривиально), а это означает, согласно Утверждению 2.2.4, что отображение gi pi – изоморфизм.

Из этой теоремы следует, что любую конечную группу G порядка n можно гомоморфно отобразить в группу матриц GL(n). Такой гомоморфизм строится следующим образом. Расставим n элементов группы G в некотором порядке в виде вектора (g1, g2,..., gn ). Действие слева (справа) фиксированного элемента gi G на этот вектор определяет перестановку компонент этого вектора, которую можно представить в виде (n n)- матрицы T (R) (gi )jk (T (gi )) согласно правилам:

Эти правила определяют гомоморфные отображения T (R) и T (R) : G GL(n) Соотношения (2.3.21) следуют из ассоциативности умножения в G:

gm (gi gj ) = gm gk Tkj (gi ) = gl Tlk (gm ) Tkj (gi ), (gm gi ) gj = gl Tlj (gm gi ), (gj gi ) gm = Tjk (gi ) gk gm = Tjk (gi ) Tkl (gm ) gl, gj (gi gm ) = Tjl (gi gm ) gl.

Гомоморфизмы T (R) и T (R) называются левым и правым регулярным представлением группы G, соответственно.

Упражнения 1. Разложить в произведение циклов перестановку 2. Доказать формулы (2.3.13) для транспозиций (i, j). Пользуясь этими формулами, доказать, что транспозиции i = (i, i + 1) удовлетворяют соотношениям группы кос (2.3.9).

3. Доказать, что набор из двух элементов – первой транспозиции 1 = (1, 2) и самого длинного цикла = (1, 2,..., n) являются образующими всей группы Sn.

4. Проверить, что соотношения группы кос (2.3.9) выполняются для матричной реализации (2.3.11), (2.3.12).

5. Доказать, что инвариантная подгруппа An в группе Sn имеет порядок n!/2, и что факторгруппа Sn /An = C2 = Z2.

6. Посчитать по формуле (2.3.19) размерность классов сопряженности в S5, которые соответствуют диаграммам •, •, ••, •••, •••, ••••, •••••: и проверить, что сумма этих размерностей равна 5!.

2.4 Лекция 4. Теорема Эйлера и эйлерова характеристика.

Правильные платоновские многогранники и их симметрии. Фуллерены и графены.

Теорема Эйлера3 и эйлерова характеристика.

Заметим, что резиновый мяч непрерывными деформациями (разрезы и склейки запрещены) невозможно преобразовать в резиновый спасательный круг. Более общее утверждение – никакой непрерывной деформацией сферу с g1 ручками Mg1 нельзя Краткая биография Л.Эйлера приведена в Приложении.

перевести в сферу Mg2 с g2 = g1 ручками. На математическом языке это звучит так:

Mg1 не гомеотопна Mg2, если g2 = g1. Сфера с одной ручкой гомеотопна спасательному кругу, с двумя ручками гомеотопна поверхности кренделя, и т.д..

Возьмем теперь сферу S, отметим на ней 4 точки и соединим эти точки линиями на S так, чтобы она разбилась на 4 куска треугольного типа. Непрерывной деформацией сделаем эти куски плоскими – в результате получим тетраэдр с V = вершинами (vertices), E = 6 ребрами (edges) и F = 4 гранями (faces). Вычислим для тетраэдра величину = V E + F. Простой подсчет дает = 4 6 + 4 = 2.

Далее рассмотрим поверхность куба, которую также можно получить непрерывной деформацией сферы S (если отметить на S 8 точек и соединить их линиями так, чтобы разбить S на 6 кусков подобных квадратам) – соответственно имеем = V E + F = 8 12 + 6 = 2. Поверхность куба можно ”триангулировать”, проводя по одной диагонали на каждой квадратной грани куба. При этом мы снова получаем поверхность, гомеотопную сфере, но состоящую только из треугольных граней (как и в случае с тетраэдром), образованных 18 ребрами и 8 вершинами. Такая конструкция называется комплексом, т.к. состоит из элементарных геометрических элементов определенной размерности (симплексов) – точек (0-мерный симплекс), отрезков (1мерный симплекс) и треугольников (2-мерный симплекс). При такой триангуляции поверхности куба (сферы) величина V E + F = 2 не меняется, т.к. каждая диагональ в квадратной грани увеличивает число граней F на 1, но при этом число ребер E, в этой же грани, также увеличивается на 1, т.е. при триангуляции для всей поверхности куба мы имеем (V E + F ) = 0 (число вершин F не меняется). Т.о., мы видим, что две разные триангуляции сферы приводят к одному и тому же результату для V E + F = 2. Более того покажем, что как бы мы не триангулировали сферу, величина V E + F = 2 не поменяется. Действительно, процесс изменения триангуляции при сохранении числа вершин сводится к преобразованиям вида а при увеличении числа вершин (в случае общего положения) к преобразованиям Легко видеть, что при обоих преобразованиях характеристика V E + F не меняется. Этот факт является содержанием знаменитой теоремы Эйлера.

Теорема 2.4.1 (Эйлер) Для всякого простого (одно-связного) многогранника число вершин V, ребер E и граней F удовлетворяют соотношению V E + F = 2.

Рассмотрим теперь комплекс, который получается вырезанием параллелепипеда из куба (см. рис. 4.3), гомеотопный тору (форма спасательного круга или сфера с одной ручкой).

По сравнению с кубом мы увеличили число вершин на 8, число ребер на 20 и число граней на 10, т.е. изменение характеристики V E + F равно Соответственно, для куба с одной дыркой мы получаем: V E +F = 2+ = 22 = 0.

Как видно из рисунка, данная фигура образуется склеиванием четырех объектов (параллелепипедов), каждый из которых "подобен"кубу. Заметим, что вырезание еще одного параллелепипеда (например, в одном из этих 4-х параллелепипедов – в результате мы получаем фигуру типа кренделя или сферу с двумя ручками) изменяет число симплексов как и в предыдущем случае. Т.о., для триангулированной поверхности, подобной поверхности кренделя, мы имеем V E + F = 2 + 2 = 2. Продолжая эту процедуру, мы приходим к заключению, что если вырезать таким образом g дырок в кубе, то для V E + F получим величину которая называется характеристикой Эйлера4 для двумерной поверхности типа сфеЭта же характеристика может быть получена как альтернированная сумма: = b0 b1 + b2, где bn – числа Бетти. По определению bn – размерности пространств Zn = Cn /Bn n-циклов для заданного комплекса K (Cn – пространство замкнутых n-цепей в K, а Bn – пространство n-границ в K). Для триангулированной сферы легко получить, что b0 = b2 = 1 и b1 = 0, следовательно, ры с g ручками. Характеристика Эйлера – это топологическая характеристика поверхности, т.к. она не зависит от способа триангуляции этой поверхности.

Мы видим, что если у двух поверхностей характеристика совпадает, то они принадлежат одному и тому же топологическому типу, а если отличаются, то тип поверхностей – разный. Эта топологическая характеристика указывает на то, можно ли разные поверхности переводить друг в друга с помощью непрерывной деформации (если 2-мерные поверхности вложены в 3-мерное пространство, то следует учитывать нюанс, связанный с различными топологическими типами вложений заузленностью”).

Правильные платоновские многогранники (тела) и их симметрии.

Определение 2.4.1 Платоновским многогранником (правильным выпуклым многогранником или регулярным простым полиэдром5 ) называется выпуклый многогранник, у которого все грани – правильные многоугольники – одинаковы, а все вершины имеют одинаковую валентность (число ребер, исходящих из вершины).

Утверждение 2.4.2 Имеется только 5 правильных выпуклых многогранников (платоновских тел): тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

Док-во. Предположим, что такой многогранник S имеет V вершин, E ребер и F граней. Пусть m обозначает число ребер, сходящихся в одной вершине и n – число ребер для каждой грани. Заметим, что n 3 и m 3. Тогда, удвоенное полное число ребер для S можно выразить через число граней и вершин: m V = n F = 2 E. Кроме того из теоремы Эйлера 2.4.1 мы имеем (т.к. S имеет топологию сферы) V E +F = так, что и, соответственно, (2 n m n + 2 m) > 0. Т.к. n 3 это дает Т.о., m может равняться только 3, 4 или 5. 1. Пусть m = 3, тогда из (2.4.24) мы получаем: F (6 n) = 12, т.е. F делит 12 и, Слово ”полиэдр” происходит от двух греческих слов: poly – много, многое и hedra – основание, поверхность, сторона, грань.

Если m = 2, то из (2.4.24) мы получаем F = 2 и, следовательно, V = n = E. Соответствующий двухгранник (диэдр) формально удовлетворяет требованиям, сформулированным в определении 2.4.1. Группа Dn симметрий этих тел называется диэдральной группой и рассматривалась в Лекции откидывая невозможные случаи F = 1, 2, мы имеем F = 3, 4, 6, 12, которым соответствуют n = 2, 3, 4, 5. Напомним, что n 3, тогда возможные значения для (m, n, F ):

(a) (3,3,4), (b) (3,4,6), (c) (3,5,12).

2. Пусть m = 4, тогда F (4 n) = 8, т.е. F = 4, 8, а n = 2, 3 и имеется единственная возможность для (m, n, F ): (d) (4,3,8).

3. Пусть m = 5, тогда F (10 3n) = 20, т.е. F = 4, 5, 10, 20, которым соответствуют n = 5/3, 2, 8/3, 3 и, т.к. n - целое и больше 2, то возможные значения для (m, n, F ):

(e) (5,3,20).

Т.о., мы получили только пять возможностей для (m, n, F ):

(a) (3,3,4) – тетраэдр (V = 4, E = 6, F = 4), (b) (3,4,6) – куб (V = 8, E = 12, F = 6), (c) (3,5,12) – додекаэдр (V = 20, E = 30, F = 12), (d) (4,3,8) – октаэдр (V = 6, E = 12, F = 8), Эти 5 правильных многогранников показаны на рисунке:

Имеется 3 группы симметрий этих правильных многогранников. Это группа собственных вращений тетраэдра T A4, куба (и октаэдра) W S4, додекаэдра (и икосаэдра) P A5. Порядки этих групп равны соответственно:

Симметрии куба и октаэдра совпадают, т.к. октаэдр ”дуален” кубу, т.е. взяв в качестве вершин середины граней куба, мы получаем октаэдр и обратно, середины граней октаэдра дают вершины куба. Такая же дуальность наблюдается между додекаэдром и икосаэдром. Эта дуальность (дуальность между соответствующими графами на сфере) проявляется в виде замены числа вершин на число граней и наоборот (число ребер не меняется):

Легко понять (в том числе и из этой диаграммы), что тетраэдр является самодуальным многогранником.

Порядок групп T, W, P можно найти, рассмотрев все оси инвариантных вращений, соответственно, тетраэдра, куба и додекаэдра. Например, для тетраэдра мы имеем четыре оси 3-его порядка, проходящие через вершины и противоположные грани (на каждую приходится по два нетривиальных вращения; итого 4 2 = нетривиальных вращений), и 3 оси 2-ого порядка, проходящие через середины противоположных ребер (на каждую приходится по одному нетривиальному вращению;

итого 3). С учетом тривиального преобразования мы имеем |T | = 1 + 8 + 3 = 12.

Аналогично, для икосаэдра (число вершин 12, число ребер 30 и число граней 20) мы имеем оси симметрий: 1.) 6 осей 5-ого порядка, проходящие через противоположные вершины; 2.) 10 осей 3-его порядка, проходящие через середины противоположных граней; 3.) 15 осей 2-ого порядка, проходящие через середины противоположных ребер. Т.о., число нетривиальных вращений симметрии икосаэдра равно 6 4 + 10 2 + 15 1 = 59. С учетом тождественного преобразования мы получаем, что порядок группы симметрии икосаэдра равен 60 = 5!/2 и совпадает с порядком группы A5. Группа симметрий икосаэдра (додекаэдра) P A5 – наименьшая (наименьшего порядка) неабелева простая группа.

Если рассмотреть полные группы симметрий T, W P для тетраэдра, куба и икосаэдра (додекаэдра), включая несобственные вращения (отражения), то порядки групп T, W, P соответственно равны 24, 48, 120. Заметим, что несобственная группа P не совпадает с группой S5 (хотя их порядки и совпадают). В этом можно убедиться заметив, что в группе P имеется инвариантная подгруппа порядка 2, связанная с полным отражением икосаэдра относительно его центра симметрии. Группа S5, как легко понять, не имеет инвариантных подгрупп 2-ого порядка. Действительно, если бы такая подгруппа с элементами e, r S5 существовала, то элемент r = e был бы центральным в S5 и образовывал бы класс сопряженных элементов, содержащий единственный элемент r, чего быть не может (см. Задачу 6 в конце Лекции 3).

С учетом групп Cn, Dn, рассмотренных в предыдущих лекциях, мы получаем полный список конечных групп собственных вращений в 3-х мерном пространстве:

где Cn циклическая группа поворотов вокруг некоторой оси l на углы, кратные 360 /n; Dn группа поворотов вокруг некоторой оси l на углы, кратные 360 /n плюс повороты на угол вокруг осей, лежащих в плоскости перпендикулярной l (эти повороты эквивалентны диэдральным отражениям в данной плоскости); T, W, P группы собственных вращений тетраэдра, куба (октаэдра), додекаэдра (икосаэдра), соответственно.

Фуллерен C60 – усеченный икосаэдр. Фуллерены и графены.

Для икосаэдра мы имеем (m, n, F ) = (5, 3, 20), т.е. число вершин V = nF/m = 3·20/5 = 12. Отсекая вершины икосаэдра, мы получаем 12 пятиугольных граней, при этом 20 треугольных граней икосаэдра превращаются в 20 шестиугольных граней.

Т.о., мы получаем фигуру типа поверхности футбольного мяча, у которой 12 пятиугольников окружены 20-ю шестиугольниками. Число трехвалентных вершин (число атомов углерода) у данной фигуры равно 60 (т.к., отсекая вершины в икосаэдре, мы каждую из его 12 вершин заменяем на 5 вершин) – такую молекулу (существующую в природе) обозначают C60 и называют фуллереном. Молекулы фуллерена C60 могут кристаллизоваться, занимая узлы кубической решетки. В свою очередь межузельные пространства могут занимать атомы металлов (металло-фуллерены), при этом вещество может становиться высокотемпературным сверхпроводником.

Углерод C четырех-валентен, но две из этих 4-х валентностей иногда образуют единую связь в этом случае почти все молекулы и кристаллы (кроме алмаза), построенные из атомов углерода, должны иметь вершины с 3-мя ребрами. Плоская решетка такого типа – это гексагональная решетка (решетка, состоящая из правильных шестиугольников, или решетка "пчелиные соты"). Такую структуру имеют графены7. Для трехвалентных решеток имеем V = 2E/3. Пусть в этой решетке имеется n3 - треугольных, n - четырехугольных, n5 - пятиугольных, n6 - шестиугольных и т.д. ячеек. Тогда мы имеем и конфигурация (молекула графена), типа сферы с g ручками, возникает, согласно формуле (2.4.23), при Т.е., для сферической конфигурации углерода (типа фуллерена), когда g = 0, число шестиугольников может быть произвольно, а число пятиугольников, семиугольников и т.д. удовлетворяют соотношению (2.4.25) Т.е., если молекула имеет только пятиугольные, шестиугольные и семиугольные ячейки, то ”основное” состояние соответствует n5 = 12 (фуллерен), а еще один пятиугольник может возникнуть только в паре с семиугольником и т.д.

Рассмотрим углеродные сферические системы (g = 0), которые не имеют ячейки в виде k-угольников с k > 6. В этом случае мы имеем соотношение Это соотношение показывает какие ячейки (и сколько) возникают при запаивании нанотрубки, представляющей собой свернутую в длинный цилиндр гексагональную решетку атомов углерода. Т.е., либо 12 пятиугольников (как у фуллерена), либо четырехугольников (как у куба), либо 4 треугольника, как у тетраэдра или многогранника, представленного на Рис. 4.4, Графен – слой графита толщиной в один атом.

Существует 3-х мерное обобщение только что рассмотренной геометрической конструкции. Пусть мы имеем 3-х мерную границу 4-х мерной фигуры, разрезанную на 3-х мерные грани так, что получается комплекс с V вершинами, E ребрами, F 2мерными гранями и P 3-мерными гранями (многогранниками). Топологической характеристикой такой фигуры является величина = V E + F P. Действительно, любую 3-х мерную триангуляцию можно перевести в любую другую триангуляцию с помощью двух перестроек (ср. с перестройками в 2-мерном случае, изображенными на рисунках 4.1, 4.2) Теперь легко проверить, что эти перестройки сохраняют характеристику = V Пусть все вершины в рассматриваемом комплексе четырех-валентны (минимальная нетривиальная валентность вершин для 3-мерных границ 4-мерных фигур; дуальная 3-х мерная решетка состоит из тетраэдров). Тогда очевидно, что 4V = 2E.

Пусть в этой 3-х мерной решетке имеется n4 - тетраэдров, n5 - многогранников с что ”2-мерная валентность” каждой вершины в такой решетке равна 6, т.к. в каждой вершине сходятся 6 граней. Рассматривая величину = V E + F P для границы 4-мерного симплекса, для которого V = C1 = 5, E = C2 = 10, F = C3 = 10, P = C4 = 5, мы находим, что для 3-мерной сферы (S 3 ) = V E + F P = 0. Т.о., для любой фигуры M с топологией S 3 мы имеем тождество которое связывает число вершин в M с числами nk.

Упражнения 1. Доказать, что порядки групп T, W, P собственных вращений тетраэдра, куба (октаэдра), додекаэдра (икосаэдра), соответственно равны 12, 24, 60.

2. Найти соотношение на число 5,6 и 7-угольников для торической молекулы графена, состоящей из атомов углерода, образующих 3-х валентную решетку. Обобщить это соотношение для случая молекулы графена, имеющей форму сферы с g ручками.

3. Доказать обобщение формулы (2.4.25) для решеток с r-валентными вершинами (V = 2E/r) Особый интерес представляют решетки с r = 3, 4, 6, которые позволяют замостить плоскость (поверхности с g = 1) с помощью 6-,4-,3-угольников, соответственно.

4. Доказать, что род двумерной квадратной решетки n n равен g = n2, а 3мерной кубической решетки n n n равен g = n3 + 9n2.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
Похожие работы:

«1 ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ЛЕКЦИИ для студентов 4 курса медико-биологического факультета ВолгГМУ по курсу общей иммунологии в 2012-13 уч.г. 1. Тема 1: Предмет и задачи иммунологии. Основные аспекты фундаментальной иммунологии. Структура и функции иммунной системы. Антигены. Понятие об антигенности. Химическая природа антигенов. Полные и неполные антигены. Основные свойства антигенов. Виды специфичности. Проникновение в организм и пути элиминации. Антигены как биологические маркеры. Номенклатура...»

«Я верую в отдельных людей, я вижу спасение в отдельных личностях, разбросанных по всей России там и сям – интеллигенты они или мужики, – в них сила, хотя их и мало. А.П. Чехов Министерство образования и науки Российской Федерации Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого Человек, язык и текст К юбилею Татьяны Викторовны Шмелевой Сборник статей Великий Новгород 2011 УДК 81'1 ББК 81.0 Редколлегия: д-р филол. наук Т.Л. Каминская (отв. ред.), канд. филол. наук А.Н. Сперанская...»

«1 Тема 3. ЛОГИСТИКА УПРАВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫМИ ПОТОКАМИ В СФЕРАХ ПРОИЗВОДСТВА И ОБРАЩЕНИЯ. Лекция 3.1. Функциональные области логистики. Транспортноэкспедиторское обслуживание в логистических системах. План: 1. Что такое функциональные области в логистике. Роль транспортировки, как ключевой логистической функции в логистике. 2. Основные этапы управления транспортировкой. Различные виды транспорта в логистической системе. 3. Основные способы транспортировки (виды перевозки). Почему в логистике...»

«Сто лет со дня рождения одного из известнейших геологов еретика С. Уоррена Кэри. В.В. Кузнецов Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия. С еретиками в науке - сущая беда. Их шпыняют, над ними надсмехаются, к ним относятся презрительно. Однако, статус еретика получает почти всегда тот ученый, который своими исследованиями оказался не попавшим в широкий поток традиционных - считающихся правильными - направлений и взглядов нормальной науки. В нормальной науке...»

«ГИПНОЗ И ПРЕСТУПЛЕНИЯ () В лекции рассматриваются два аспекта применения гипноза в уголовно-правовой сфере: возможность использования гипнотического воздействия для совершения преступлений; применение гипноза в целях раскрытия и расследования правонарушений. Дан исторический анализ исследуемой темы, приведены примеры следственной и судебной практики ряда стран. Подчеркивается, что использование в отечественной юриспруденции состояний измененного сознания человека (гипноз, наркоанализ) -...»

«Тема 1. Теоретические аспекты платежной системы Лекция 1. Основы безналичного денежного обращения 1. Платежный оборот. Понятия безналичные расчеты и платежная система. 2. Понятие расчетная система и ее особенности. 3. Платежные инструменты и формы расчетов. Вопрос 1. Безналичные расчеты - это расчеты, проводимые посредством отражения отдельных записей по счетам в банках, соответствующие списанию денежных средств со счета плательщика и зачислению на счет получателя. Платеж - перевод денежного...»

«Библиотека Выпуск 24 А. И. Дьяченко МАГНИТНЫЕ ПОЛЮСА ЗЕМЛИ Издательство Московского центра непрерывного математического образования Москва • 2003 УДК 550.38 ББК 26.21 Д93 Аннотация Географические полюса нашей планеты располагаются в Арктике и Антарктиде. А куда мы в конце концов придём, если будем идти по компасу точно на север? На северный географический полюс? Нет, магнитный северный полюс не совпадает с географическим. И в разные годы стрелка компаса может привести нас в разные места:...»

«РЕВОЛЮЦИЯ ПРОРОКОВ Собрание философских работ и лекций Гейдара Джемаля ВОЛЯ К НЕБЫВШЕМУ (интервью) ТРАДИЦИОНАЛИЗМ И ПРОФАНИЗМ ТРАДИЦИЯ И РЕАЛЬНОСТЬ o Лекция № 1. Традиция как отношение к ноумену o Лекция № 2. Глобальная перцепция и последняя реальность o Лекция № 3. Профаны и жрецы o Лекция № 4. Кризис реальности o Лекция № 5. Традиция жрецов и традиция пророков o Лекция № 6. Традиция и революция o Лекция № 7. О принципах новой социологии o Лекция № 8. Зло и общество ОРИЕНТАЦИЯ - СЕВЕР ЗА...»

«ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ РУССКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ХІХ века (ІІ пол.) УДК 811.161.0(091) ББК 83.3(2Рос=Рус)1я7 Р 89 Рекомендовано к изданию Ученым советом филологического факультета БГУ (протокол № 1 от 20. 10. 2004) А в т о р ы: Н. Л. Блищ (И. А. Гончаров, Проза А. П. Чехова); С.А. Позняк (Новаторство драматургии А. П. Чехова, А. Н. Островский) Р е ц е н з е н т ы: кандидат филологических наук, доцент — А. В. Иванов; кандидат филологических наук, доцент — Н. А. Булацкая Русская литература ХIХ века (II...»

«Э - 178 Э - 179 Ф - 180 ЭТ - 181 Понедельник Особо охраняем. терр. Геология, лб Физичкская химия лекц. Голубева Е.Б. 9.30 – 11.05 лекция Особо охраняем. терр. Иванов Н.С. Геология, лб практ. История Геология, лб Особо охраняем. терр. семинар Физичкская химия практ. 11.15 – 12.50 лб ГЕОЛОГИЯ Прир. и культ. наслед. лекция доц. Пркофьева Т.И. доц. Голубева Е.Б. Геология, лб История семинар Природное и культурное наследие ИС Т О Р ИЯ практ. лекция Абезгауз С.А. 15.15 – 16. История семинар Вторник Ф...»

«Ь1бЛ ш Министерство образования Ннауки РШ1\'б11Ш* Ъ в я п ж Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова Биолого-химический институт Кафедра экологии и географии МЕТОДЫ ПОЛЕВЫХ ФИЗИКО-ГЕОГРАФИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ Опорный конспект лекции Павлодар УДК 911.2 (07) ББК 26.82 я7 М 54 Рекомендовано ученым Советом ПГУ нм. С. Торайгырова Рецензенты: кандидат геолого-минералогических наук, доцент Калиева А.А., ПГУ им. С. Торайгырова старший преподаватель С.Ш.Смайлов., ГТГПИ Алтаева Р.А....»

«Лекция 17 Закон Республики Беларусь О радиационной безопасности населения Настоящий закон определяет основы правового регулирования в области обеспечения радиационной безопасности населения, направлен на создание условий, обеспечивающих охрану жизни и здоровья людей от вредного воздействия ионизирующего излучения. 1. Некоторые из основных понятий: радиационная безопасность – состояние защищенности настоящего и будущих поколений людей от вредного воздействия ИИ; ИИ – излучение, которое создается...»

«Лекция № 12 Учет движения денежных средств. Учет кассовых операций. План 1. Задачи учета движения денежных средств. 2. Права и обязанности кассира. 3. Виды и порядок учета приходных кассовых операций. 4. Виды и порядок учета расходных кассовых операций. 5. Составление отчета о движении денежных средств. 6. Ревизия кассы и контроль за соблюдением кассовой дисциплины. Литература 1. ФЗ №54 от 22.05.2003г. О применении контрольно-кассовой техники при осуществлении наличных денежных расчетов и (или)...»

«Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Момент импульса Лекция 12 ЛЕКЦИЯ 12 Момент импульса твердого тела. Свободное вращение симметрического волчка. Уравнение движения твердого тела. Уравнения Эйлера. Устойчивость вращения. Момент импульса твердого тела Как мы знаем, величина момента импульса системы матеpиальных точек, вообще говоpя, зависит от выбоpа начала кооpдинат, относительно котоpого он опpеделен. И только в том случае, если в выбpанной системе отсчета скоpость поступательного движения...»

«ать книгу александрова летающие лодки м-5 и м-20 Скачать беспласно и без смс порно ххх Скачать бесплатно и без регистрации ирину алегрову-уже не твоя Скачать и прослушать песни максим бесплатно Скачать книгу богодухова с и Dodge caravan б\у 2006 г выпуска Скачать бесплатно мелодии, стихи и смс приколы для мобильного Скачать песню бесплатно и без регистрации валерия нежность Скачать и прослушать рингтоны 2011 Скачать бесплатно луна + и текила Скачать бесплатно и без регистрации приколы для...»

«Е.П. ИЩЕНКО КРИМИНАЛИСТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ Москва 2007 МОСКОВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЮРИДИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Е.П. ИЩЕНКО КРИМИНАЛИСТИКА КУРС ЛЕКЦИЙ Юридическая фирма Издательство КОНТРАКТ АСТ-МОСКВА Москва 2007 УДК ББК Ищенко Е.П. Криминалистика: Курс лекций. — М.: Юридическая фирма КОНТРАКТ; АСТ-МОСКВА, 2007. — 416 с. ISBN 978-5-98209-024-9 (КОНТРАКТ) ISBN (АСТ-МОСКВА) В настоящем издании в доступной форме излагается полный курс криминалистики как учебной дисциплины, предусмотренной требованиями...»

«МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ЛЕКЦИОННЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ РУССКИЙ ЯЗЫК И КУЛЬТУРА РЕЧИ 1. Стиль речи Написанное или высказанное произведение слова для правильного и незатрудненного его понимания должно обладать рядом качеств, которые ожидают от него читатель или слушатель. В научной филологической традиции 19-20 вв. раздел языкознания, который занимается правильностью, выразительностью и другими позитивными качествами речи, называют стилистикой или культурой речи. Уже в древности и в Новое...»

«Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук А. В. Домрин, А. Г. Сергеев Лекции по комплексному анализу Первое полугодие Москва 2004 УДК 517.5 ББК (В)22.16 Д66 Домрин А. В., Сергеев А. Г. Д66 Лекции по комплексному анализу : В 2 частях. / А. В. Домрин, А. Г. Сергеев. — М.: МИАН, 2004. ISBN 5-98419-006-0 Часть I : Первое полугодие. — 2004. — 176 с. ISBN 5-98419-007-9 Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-01-14126). c...»

«Почётный патронат Супруги Президента РП Анны Коморовской. Ягеллонский университет, основанный в 1364 году, является старейшим польским вузом и одним из старейших в Европе. Находящийся в одном из красивейших городов Европы – старинном Кракове – Ягеллонский университет предоставляет иностранцам возможность изучать польский язык и культуру Польши, а также историю, искусство, общественные, политические и экономические вопросы. Школа польского языка и культуры Ягеллонского университета для...»

«Э.Н. Камышев МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ (практический менеджмент в условиях России) ТОМСК - 2002 ББК 65 я 72 С 17 Камышев Э.Н. Менеджмент организации (практический менеджмент в условиях России). - Томск: ТПУ, 2002. - 174 с. Книга написана заведующим кафедрой социологии, психологии и права Томского политехнического университета, профессором Эдуардом Николаевичем Камышевым для студентов специальности Менеджмент организации. Она предназначена заменить собой лекции и практические занятия по курсу...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.