WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Математика в высшем образовании

2006 №4

НОВАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ

ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Классические и новые методы,

нелинейные математические модели,

симметрия и принципы инвариантности Н. Х. Ибрагимов Textbook A Practical Course in Dierential Equations and Mathematical Modelling: Classical and new methods, nonlinear mathematical models, symmetry and invariance principles, 2nd edition, Sweden: ALGA publications, 2005. 332 p.

by Nail Ibragimov Professor of mathematics and Director of ALGA, e-mail rkh@bth.se

“ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ” 1 первый учебник по обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям в частных производных, предназначенный для освоения аналитических приемов и “рабочих знаний” при изучении классических и теоретико-групповых методов (методов Ли) решения линейных и нелинейных уравнений.

Курс основан на лекциях, прочитанных автором в различных университетах России, США, Франции, Италии, Южной Африки и Швеции.

Требуемые предварительные знания линейная алгебра и математический анализ (случаи одной и нескольких переменных), включая элементы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Перевод на русский язык фрагментов учебника профессора Н. Х. Ибрагимова выполнен И. С. Емельяновой.

Новая учебная литература по математике для вузов Главы учебника:

1. Избранные разделы анализа:

Элементарная математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. Векторный анализ. Элементы дифференциальной алгебры. Вариационное исчисление.

2. Математические модели:

Природные явления. Физика и инженерные науки. Явление диффузии.

Биоматематика. Волновые явления.

3. Обыкновенные дифференциальные уравнения:

Традиционный подход. Введение и элементарные методы. Линейные уравнения первого порядка, второго порядка, высших порядков. Системы уравнений первого порядка.

4. Уравнения в частных производных первого порядка:

Однородные линейные уравнения. Частные случаи неоднородных уравнений. Квазилинейные уравнения. Системы однородных уравнений.

5. Линейные уравнения в частных производных второго порядка:

Уравнения с несколькими переменными. Классификация уравнений с двумя независимыми переменными. Интегрирование гиперболических уравнений с двумя переменными, метод инвариантов Лапласа. Проблема начальных условий. Смешанная задача. Разделение переменных.

6. Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения:

Группы преобразований. Интегрирование уравнений первого порядка с использованием симметрий. Уравнения второго порядка. Линеаризация уравнений третьего порядка. Нелинейная суперпозиция.

7. Нелинейные уравнения в частных производных:

Симметрии. Групповые инвариантные решения. Инвариантность и законы сохранения.

8. Обобщенные функции и решения:

Введение в обобщенные функции. Оперирование с распределениями.

Преобразования распределений.

9. Принцип инвариантности и фундаментальные решения:

Принцип инвариантности. Задача Коши для уравнения распространения тепла. Волновое уравнение. Уравнения с переменными коэффициентами.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

История современной математики насчитывает более 300 лет. С самого зарождения она фокусировала внимание на дифференциальных уравнениях как главном инструменте математического моделирования. Большая часть математических моделей в физике, инженерных науках, биоматематике и т. д.

приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям.

Перед современными студентами и исследователями в области науки и техники обычно ставятся задачи математического моделирования, содержащие приемы решения дифференциальных уравнений. Иногда эти решения Математика в высшем образовании 2006 № могут быть получены аналитически с помощью многочисленных традиционных для этих задач методов, пригодных для интегрирования уравнений частного вида. Чаще, однако, решения не могут быть получены этими методами, несмотря на то, что, например, с помощью частных подходов были получены и собраны в объемные справочники более 400 типов интегрируемых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

С другой стороны, фундаментальные законы природы и технологические задачи, сформулированные в терминах дифференциальных уравнений, могут быть успешно рассмотрены и решены с помощью метода групп Ли. Например, анализ групп Ли сводит классические 400 типов уравнений всего лишь к 4 типам! Развитие группового анализа содержит многочисленные факты, свидетельствующие о том, что эта теория дает универсальный аппарат для решения многочисленных дифференциальных уравнений даже в том случае, когда другие средства интегрирования оказываются безуспешными. Фактически групповой анализ является единственным универсальным и эффективным методом аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений. Старые методы интегрирования существенно опираются на линейность, точно так же, как на постоянство коэффициентов. Групповой анализ с одинаковой легкостью обходится с линейными и нелинейными уравнениями, точно так же, как с уравнениями с постоянными и переменными коэффициентами. Например, с традиционной точки зрения линейное уравнение с постоянными коэффициентами a1,..., an отличается от уравнения известного как уравнение Эйлера. С позиции теории групп, однако, эти уравнения всего лишь два различных представления одного и того же уравнения, допускающего две известные коммутирующие симметрии, а именно, для первого и второго уравнения, соответственно. Эти симметрии дают две подобные алгебры Ли и без труда приводят к преобразованию x = ln ||, переx водящему уравнение Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.



В наши дни групповой анализ становится частью программы курса “Дифференциальные уравнения и нелинейное математическое моделирование” и привлекает новых и новых студентов. Например, курс “Дифференциальные уравнения в частных производных ” в Московском физико-техническом институте привлек более 100 студентов, когда я использовал метод групп Ли, по сравнению с 10 студентами, которые выбрали традиционный курс. То же самое произошло, когда я читал подобные лекции для студентов-теоретиков в Южной Африке и Швеции.

Новая учебная литература по математике для вузов Настоящий учебник основан на лекциях и, в известной мере, отражает мои пристрастия и опыт. Он соответствует курсу “Дифференциальные уравнения” в Технологическом институте Блекинджа для студентов будущих инженеров, математиков и теоретиков. По моему представлению, я стремлюсь сделать групповой анализ дифференциальных уравнений более доступным для будущих инженеров и теоретиков. Следовательно, основной смысл этой книги не столько в вычислении симметрий, сколько в их приложениях.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Второе издание содержит значительные изменения и дополнения практически во всех главах. Добавлены новые разделы, в частности, по нелинейным суперпозициям и законам сохранения.

В приложении к дифференциальным уравнениям это означает, что предусмотрена возможность выяснения того, выполняются ли условия интегрируемости уравнения в замкнутой форме и построения этого решения наиболее простым способом. Чтобы сформулировать сущность моего опыта решения дифференциальных уравнений различного типа, я перефразировал известный французский афоризм cherchez la femme следующим образом: Если вы не можете решить нелинейное дифференциальное уравнение, cherchez le group (ищите группу).

С этой целью я добавил раздел о вычислении симметрий с помощью решения так называемых определяющих уравнений. Это поможет читателю понять суть вопроса. Освоив метод определяющих уравнений, студент легко сможет находить симметрии, используя пакеты компьютерной алгебры и применяя методы интегрирования, представленные в этом учебнике.

Расширено и обсуждается со значительной общностью изложение теоретико-группового подхода к распределениям и фундаментальным решениям с акцентом на приложения.

Центральную роль в этой книге играет групповой анализ. Я надеюсь, что группы Ли интересны в первую очередь в связи с их применением для решения дифференциальных уравнений. Было ошибкой изолировать их от естественных приложений и использовать лишь как ветвь абстрактной математики. “Изолировать математику от практических потребностей науки это то же самое, что предлагать стерилизацию коровы, чтобы оградить е от быков” (П. Л. Чебышев, 1821–1894).

Ниже приводится характерный фрагмент учебника, в котором демонстрируется применение группового анализа к задаче интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Метод С. Ли интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка основан на так называемых канонических координатах двумерных алгебр С. Ли L2 2. Эти переменные обеспечивают для любой L2 с базисом простейшие формы базисов, приведенные в табл. 6.4.1, и приводят дифференциальное уравнение, допускающее L2, к интегрируемой форме, указанной в табл. 6.4.2.

Таблица 6.4.2. Четыре типа уравнений второго порядка, допускающих L Приведенные в конце фрагмента Пояснения (c. 118) составлены И. С. Емельяновой.

Метод С. Ли интегрирования содержит классификацию всех уравнений второго порядка допускающих двумерную алгебру Ли, на четыре типа в соответствии с таблицей 6.4.1. А именно, вводя канонические переменные t, u, сводим допускаемую алгебру Ли L2 к одной из стандартных форм, приведенных в табл. 6.4.1.

Затем переписываем исходное уравнение в канонических переменных. Полученное уравнение примет одну из четырех интегрируемых канонических форм, приведенных в табл. 6.4.2.

Таким образом, метод состоит в следующем. Если мы знаем допускаемую алгебру L2, то интегрирование предполагает следующие шаги.

Первый шаг: Определяется тип L2 в соответствии с колонкой Структура L2 табл. 6.4.1. Для типов III и IV может потребоваться изменение базиса L2, при котором коммутатор даст требуемый результат.

Второй шаг: Находятся канонические переменные с помощью решения следующих уравнений в зависимости от типа:

Дифференциальное уравнение записывается в канонических переменных.

При этом t выбирается в качестве новой независимой переменной, а u зависимой. Уравнение приобретет одну из четырех интегрируемых форм, приведенных в табл. 6.4.2. Интегрируем полученное уравнение.





Третий шаг: Найденное решение переписывается в исходных переменных x, y. Процедура интегрирования завершается.

Пример 6.4.6. Рассмотрим нелинейное уравнение Первый шаг: Решая определяющие уравнения, отмечаем, что они допускают двумерную алгебру Ли L2 с базисом Следовательно, мы можем применить метод Ли интегрирования. Мы имеем [X1, X2 ] = X1 and 1 2 1 2 = x2 y/2 = 0. Таким образом, алгебра Ли L относится к типу III.

Второй шаг: Найдем канонические переменные и проинтегрируем наше уравнение. Уравнения X1 (t) = 0, X2 (t) = t для новой переменной t дают а система X1 (u) = 1, X2 (u) = u для u дает В канонических переменных t, u, операторы X1, X2 приобретают вид:

После замены независимой переменной (2) полная производная Dx трансформируется в полную производную Dt, определяемую следующим уравнением:

Далее мы дифференцируем обе части уравнения (3), используя уравнение (4), и, замечая, что левая часть уравнения (3) зависит от t, а правая часть от x, получаем следующее:

Для вычисления преобразования второй производной удобно записать преобразование полной производной, и для первой производной справедливо Тогда получим следующее преобразование для второй производной:

Уравнения (2)–(3) дают Далее, из выражения для y и уравнений (2)–(3) следует Новая учебная литература по математике для вузов После подстановки этих выражений уравнение (1) приобретает интегрируемую форму:

Эквивалентно ли уравнение (5) исходному (1)? Более подробно, вопрос состоит в том получим ли мы все решения уравнения (1) из решений (5) после замены переменных (2)–(3) и верно ли обратное утверждение? Ответ не очевиден, поскольку переменная t, удовлетворяющая выражению (2), содержит зависимую переменную y исходного уравнения (1) и, следовательно, t может быть выбрана в качестве новой независимой переменной, только если (1) не содержит решений, вдоль которых t произвольная постоянная. Прямой анализ показывает, однако, что (1) имеет такое особое решение, вдоль которого t = const, а именно, решение, определяемой прямыми:

Все другие решения уравнения (1) получаются из решений (5) заменой переменных (2)–(3).

Более того, можно проверить, все ли решения уравнения (5) связаны с решениями (1). Отметим, что уравнение (5), очевидно, выполняется при u = 0, а также при u = 2. Соответствующие решения имеют вид u = A, u = C, где A и C произвольные постоянные. Согласно (3), первое из приведенных решений, u = A, означает x = const. Следовательно, это не связано с любым решением уравнения (1) и должно быть отброшено. Но второе решение, u = C t/2, является решением уравнения (1). Действительно, подставляя в него выражения (2) и (3) для t и u, соответственно, получаем следующее решение уравнения (1):

Теперь мы интегрируем уравнение (5), исключая вышеупомянутые особые решения, т. е. считая u = 0 и u + 1/2 = 0. Тогда из (5) получаем:

или откуда где C1 = K1 /2 = 0. Окончательно элементарное интегрирование дает Третий шаг: Запишем решение в исходных переменных. Заменим в последнем выражении t и u, используя (2) и (3), соответственно, и получим следующее неявное представление решения y(x) уравнения (1), содержащее две константы C1 = 0 и C2 :

Добавляя к этому решению два вышеупомянутых особых решения, получаем окончательно общее решение уравнения (1) в виде следующих трех формул, содержащих произвольные постоянные K, C, C1, C2 при условии C1 = 0:

Тот факт, что общее решение уравнения (1) включает три различные формулы, не противоречит стандартной теореме о единственности решения задачи при произвольных начальных условиях. В действительности решение нижеследующего примера показывает, что сами начальные условия выделяют из (6)–(8) точно одну формулу решения.

Упражнение 6.4.1. Решить следующие задачи Коши:

Решение. Задача (i): Подставляя x = 1, y = 1, y = 1 во все три формулы решения (6)–(8), можно убедиться, что начальные условия (i) удовлетворяются только формулой (6) при K = 1.

Задача (ii): Подобные рассуждения для x = 1, y = 1, y = 0 выделяют только вторую формулу решения (7) со знаком “плюс” и при C = 1.

Задача (iii): Аналогично, подстановка x = 1, y = 1, y = 2 выделяет формулу решения (8) при C1 = 2, C2 = 6.

Таким образом, решение вышеупомянутой задачи Коши имеет следующий вид:

Справочный материал по элементам теории алгебр Ли, используемым в настоящем тексте, приводится ниже.

Новая учебная литература по математике для вузов

ПОЯСНЕНИЯ

1. ЛОКАЛЬНАЯ ГРУППА ЛИ. ОПЕРАТОР ГРУППЫ

Преобразования при помощи которых точка q = (q1, q2,..., qn ) евклидова пространства Rn (q Rn ) переводится в новое положение q = (1, q2,..., qn ) того же пространq n, а непрерывный параметр a принадлежит односвязному вещественства R ному множеству a R, образуют локальную группу С. Ли G, в том и только в том случае, если выполнены следующие три аксиомы:

1) аксиома замыкания:

любые два последовательно проведенные преобразования (1) могут быть заменены одним преобразованием (1) в котором закон преобразования параметра (a, b, c R; существенно, что этот закон не может содержать координаты q);

2) аксиома тождественности:

существует единственное значение a0 R, при котором любая точка q остается на месте, то есть выполняется условие Закон преобразования параметра удовлетворяет условиям (a, b0 ) = a;

(a0, b) = b). Кроме того, выполнение аксиомы замыкания предполагается лишь в области параметров, достаточно близких к их значениям при тождественном преобразовании (локально);

3) аксиома инверсии:

существует единственное значение параметра a1 R, которое соответствует возвращению точки q в точку q, что означает выполнение условия Последовательное проведение преобразований (1) и (4) в любом порядке эквивалентно тождественному преобразованию (3).

Функция f (q, a) в преобразованиях (1), а также функция (a, b) (2) являются гладкими (функциями класса C ). Последнее условие может быть ослаблено: достаточно чтобы функции принадлежали классу C 3.

Примеры.

1. Преобразование трансляции x = x + a является преобразованием локальной группы Ли G. Действительно, оно, как легко убедиться, удовлетворяет аксиоме замыкания:

Выполнены также аксиомы тождественности и инверсии:

Параметр a, удовлетворяющий полученным условиям называют каноническим.

2. Преобразование отражения не образует локальную группу Ли G:

Аксиома замыкания не выполнена, поскольку не существует закона преобразования параметра, не содержащего x.

3. Преобразование растяжения удовлетворяет условиям (2)–(4):

Разложим функцию q = f (q, a) (1) в ряд Тейлора по параметру a в малой окрестности тождественного преобразования (3). Для каждой координаты qi (i = 1,..., n) имеем:

Существенным элементом этого разложения является слагаемое, линейное относительно a. Величина есть компонента вектора, касательного к кривой, описываемой точками q при фиксированном q преобразования группы Ли G (1) в малой окрестности тождественного преобразования (3). Компоненты вектора (q) называют инфинитезималями.

Новая учебная литература по математике для вузов Определение 1. Инфинитезимальным оператором 3 преобразования (1) называется дифференциальный оператор или в более подробной записи (принято обозначение qi =, i = 1,..., n).

Примеры.

1. Преобразование трансляции x = x + a; y = y характеризуется оператором (7) X = x. Соответствующее векторное поле сдвига вдоль координаты x характеризуется единичным вектором (1, 0) в каждой точке плоскости 0xy (рис. 1).

2. Преобразованию растяжения x = ea x; y = e2a y соответствуют оператор (7) X = xx + 2yy и векторное поле с компонентами (6) 1 = x;

Теорема 1. Пусть преобразования локальной однопараметрической группы G (1) q имеют канонический закон преобразования параметра (5). Тогда эти преобразования являются решением следующей задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений Ли):

Синонимы: оператор группы Ли, генератор; нередко ограничиваются термином “оператор”.

Верно и обратное утверждение: векторное поле (q), являющееся решением задачи Коши (8) (в предположении, что решение существует и единственно), удовлетворяет групповому свойству Пример.

Используя первую теорему Ли, восстановим преобразование локальной группы Ли по оператору Согласно (8) имеем:

Решая поставленную задачу Коши, получаем:

Определение 2. Инвариантом группы преобразований G (1) q = f (q, a) называют функцию I(q), которая не изменяется при этих преобразованиях.

Это означает, что при любых допустимых значениях q и a выполняется условие Теорема 2. Функция I(q) является инвариантом группы G (1) тогда и только тогда, когда выполнено условие В более подробной записи имеем:

Полученному линейному уравнению в частных производных первого порядка (ЧДУ-1) (11) соответствуют уравнения характеристик Константы интегрирования этих n 1 уравнений являются функционально независимыми инвариантами Ii (q), (i,..., n 1). Любые другие инварианты Новая учебная литература по математике для вузов функционально зависят от базовых инвариантов Ii (q). Общий инвариант является функцией базовых инвариантов и имеет вид Найдем инварианты (9) преобразования Ли с оператором Составим уравнения (12): = =. Решая эти уравнения, находим два инварианта: I1 = ; I2 =.

Определение 3. Инвариантное семейство группы преобразований (1) q = f (q, a) определяется функциями J(q), которые удовлетворяют условию Пример.

Прямые = k, k = const, проходящие через начало координат плоскости 0xy, составляют инвариантное семейство функций для преобразования вращения на плоскости с оператором X = yx + xy. Действительно, выполнено условие (13):

Геометрическая интерпретация полученного результата проста: при повороте вокруг начала координат плоскости 0xy любая прямая = k переходит в пряx Таким образом, для нахождения функций, определяющих инвариантное семейство, достаточно потребовать, чтобы выполнялось условие При групповом анализе дифференциальных уравнений нередко используется операция выпрямления векторного поля. При этом исходный оператор с помощью замены переменных в малой окрестности тождественного преобразования превращается в оператор трансляции вдоль одной из новых координат: X = t, и соответствуюПри переходе к щее векторное поле приобретает простейший вид (1, новым переменным инфинитезимальный оператор преобразуется следующим образом:

При вычислении X использовано свойство оператора X: Xqi = i (i = = 1,..., n).

Теорема 3 (теорема о выпрямлении векторного поля). Для выпрямления векторного поля локальной группы G (1) в пространстве Rn в качестве новых переменных достаточно использовать элемент инвариантного семейства (14) и n 1 инвариант группы, то есть функции, удовлетворяющие условию (10) Полученная система двух уравнений в частных производных (16) эквивалентна системе n ОДУ-1:

причем новые переменные (t, u) являются левыми частями интегралов системы (17).

Пример.

Продемонстрируем технику выпрямления векторного поля на примере преобy разования с инфинитезимальным оператором X = xx + y + 2zz. Составим Элемент инвариантного семейства может быть получен из уравнения = dt:

t = ln x. В переменных t, u1, u2 оператор принимает следующий вид:

С помощью замены переменных векторное поле неоднородного растяжения x, y, 2z преобразовано в векторное поле сдвига вдоль оси t.

Алгебры Ли и многопараметрические группы.

Определение 4. Коммутатором двух операторов X1 = 1 (q)q и X2 = = 2 (q)q называют бинарную операцию При вычислении коммутатора [X1, X2 ] (18) удобно использовать формулу Коммутатор двух линейных дифференциальных операторов первого порядка оператор того же типа. Из определения коммутатора следуют его свойства:

билинейность:

антисимметричность:

тождество Якоби:

Определение 5. Операторы X1, X2,..., Xr образуют алгебру Ли Lr, представляющую собой векторное линейное пространство, порожденное этими операторами Xi, Xj Lr (i, j = 1,..., r) и всей совокупностью их коммутаторов [Xi, Xj ] (18)4.

Теорема 4. Векторное пространство Lr с базисом X1, X2,..., Xr образует алгебру Ли G в том и только в том случае, если и только если коммутаторы базисных операторов принадлежат Lr, т. е. выполнено условие (структурные константы ck являются вещественными числами и образуют тензор третьего ранга).

Алгебра Ли строится над левоинвариантным векторным полем, которое можно отождествлять с касательным пространством, соответствующим тождественному преобразованию локальной группы Ли (1).



Похожие работы:

«Экономика в школе Экономика плюс педагогика Дмитрий Викторович АКИМОВ, старший преподаватель кафедры экономической теории ГУ–ВШЭ и кафедры экономики МИОО Ольга Викторовна ДИЧЕВА, преподаватель кафедры экономической теории ГУ–ВШЭ Лекции по экономике: профильный уровень1 Кривая производственных возможностей Одна из важных экономических моделей, позволяющая подробнее познакомиться с понятием альтернативных издержек, – кривая производственных возможностей (КПВ) – кривая, каждая точка которой...»

«ПОНЕДЕЛЬНИК, 18 МАЯ 2009 г. СТЕНДОВЫЕ ДОКЛАДЫ 13.00 – 14.30 ХИРУРГИЧЕСКОЕ ЛЕЧЕНИЕ ПРИОБРЕТЕННЫХ ПОРОКОВ СЕРДЦА ХИРУРГИЧЕСКОЕ ЛЕЧЕНИЕ ВРОЖДЕННЫХ ПОРОКОВ СЕРДЦА ВОПРОСЫ ИСКУССТВЕННОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ, КАРДИОАНЕСТЕЗИОЛОГИИ, ИНТЕНСИВНОЙ ТЕРАПИИ И ИНФЕКЦИИ ДИАГНОСТИКА И ХИРУРГИЧЕСКОЕ ЛЕЧЕНИЕ ЗАБОЛЕВАНИЙ СОСУДОВ ПОНЕДЕЛЬНИК, 18 МАЯ 2009 г. ЗАЛ № 1 9.00-10.00 ПЛЕНАРНОЕ ЗАСЕДАНИЕ ОТКРЫТИЕ XIII ЕЖЕГОДНОЙ НАУЧНОЙ СЕССИИ НЦССХ им. А.Н. Бакулева РАМН Председатель: Л.А. Бокерия (Москва) Мемориальная лекция...»

«УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе _Зарубина А.И. РАСПИСАНИЕ учебных занятий для студентов заочного отделения Вологодского института бизнеса на период зимней сессии с 11.02.2011г. по 07.03.2011г. 64-Ф 64-М 64-К недели День Дата Время (34 чел.) (25 чел.) (6 чел.) № занятий дисциплина ауд. дисциплина ауд. дисциплина ауд. 14.00 Организационное 4 13.20 - 14. собрание 11.02. пятница Бюджетная ситема РФ 231 Учебно- Учебност.пр. Самойличенко Н.В., лекция ознакомительная ознакомительная практика...»

«ГОУ ВПО ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ И СОЦИАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ РФ КЛИНИЧЕСКИЕ ЛЕКЦИИ ПО ХИРУРГИИ Часть 2 ПОД РЕДАКЦИЕЙ Чл.-корр. РАМН, проф. Е. Г. Григорьева, проф. А. В. Щербатых Рекомендуется Учебно-методическим объединением по медицинскому и фармацевтическому образованию вузов России в качестве учебного пособия для студентов медицинских вузов (УМО-926 20.12.2007) Издание четвертое, переработанное и дополненное ИРКУТСК ББК 54.5 я УДК Рецензенты:...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан факультета географии и геоэкологии Е.Р. Хохлова 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Районная планировка (4 курс) (наименование дисциплины, курс) 020401.65 География (шифр, название направления подготовки, специальности) Форма обучения очная Обсуждено на заседании кафедры Составитель: 2012...»

«Антитромбоцитарная терапия при КБС – существует ли предпочтительное средство Н.А.Грацианский Центр атеросклероза и лаборатория клинической кардиологии НИИ Физико-Химической Медицины ФМБА РФ athero.ru 24.04.2012 Потенциальный конфликт интересов Н.А.Грацианский 2011-2012 Платные лекции – Гедеон-Рихтер, Санофи, Астра-Зенека. Поездки на конгрессы - Санофи Некоторые состояния, при которых используется антитромбоцитарная терапия Острые коронарные синдромы С подъемами ST, Без подъемов ST Без связи с...»

«Семь духовных законов успеха Дипак Чопра Перевод с англ. Н. Шпет София Об авторе Дипак Чопра - всемирно известный лидер в области психотелесной медицины и человеческих возможностей. Он является автором многих ставших бестселлерами книг, включая Нестареющее тело, неподвластный времени ум, Квантовое исцеление, Создание изобилия, Путь волшебника, Путь к любви, а также многочисленных аудио- и видеопрограмм, которые способствуют достижению здоровья и благополучия. Книги Дипака Чопры переведены...»

«Интервью с профессором В. Г. Гельбрасом ИСАА МГУ им. М. В. Ломоносова Interview with prof. Dr. Vilya G. Gelbras, Moscow State University Проект выполнен при поддержке гранта РГНФ № 12-21-10000 Гельбрас Виля Гдаливич (ВГ) д.и.н., Gelbras G. Vilya, Full Doctor (History) 1992, профессор, Институт стран Азии и Африки, МГУ и. professor, Moscow State University М.В. Ломоносова Project: Sinology – Oral History Проект: Китаеведение – устная история Place: Moscow Место интервью: Москва Date: June 19-22,...»

«Д.И. Воронин, В.А. Кузнецов ГИМНАСТИКА И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ. ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ Нижний Новгород, 2012 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА I. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА НА 1 КУРСЕ. 6 1.1. Лекционный материал 1.2. Лекция 1. Гимнастика в отечественной системе физического воспитания6 1.3. Лекция 2. История гимнастики 1.4. Лекция 3. Гимнастическая терминология 1.5. Лекция 4. Строевые упражнения 1.6. СРЕДСТВА КОНТРОЛЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (1 КУРС) 1.7. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ...»

«Лекция 1 Предмет и задачи географии населения. Г.Н. – наука, которая изучает динамику, состав, размещение населения и населенных пунктов, т.е. территориальную организацию населения. География населения является частью социально-экономической географии, но это отдельная самостоятельная наука. Другие ученые считают ее 3-ей ветвью географии (наряду с физической и экономической). Народонаселение – это самоовоиспроизводящееся, исторически сложившееся сообщество людей, проживающих на данный момент...»

«ТЕОРИЯ ВСЕГО СТИВЕН ХОКИНГ ТЕОРИЯ ВСЕГО Происхождение и судьба Вселенной санкт-петербург АМФОРА 2009 УДК 524.8 ББК 22.68 Х70 STEPHEN HAWKING The Theory of Everything The Origin and Fate of the Universe Перевел с английского И. И. Иванов Научный редактор Г. А. Бурба Издательство выражает благодарность литературному агентству Goumen & Smirnova за содействие в приобретении прав Original English language edition published by Phoenix Books and Audio Защиту интеллектуальной собственности и прав...»

«1. Цели подготовки Цель – изучить теорию и практику технологии получения и переработки сырья, производства пищевых и кормовых продуктов, холодильную обработку и их хранение. Задачей специальности 05.18.04 является анализ, систематизация и развитие теоретических и практических основ технологии пищевых производств (мясных, молочных, рыбных и холодильных), методов их моделирования, оптимизации процессов, обеспечивающих получение биологически безопасных пищевых продуктов с заданными качественными...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет Кафедра лесных машин и технологии лесозаготовок А. П. Матвейко, А. С. Федоренчик ТЕХНОЛОГИЯ И МАШИНЫ ЛЕСОСЕЧНЫХ И ЛЕСОСКЛАДСКИХ РАБОТ Тексты лекций по одноименной дисциплине для студентов специальности Лесоинженерное дело специализации Транспорт леса Минск 2014 ЛЕКЦИЯ 1 1.1. Лесные ресурсы Республики Беларусь, их значение для национальной экономики и общества Леса занимают...»

«РАБОЧИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ЭКОНОМИКЕ (ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ) ДЛЯ СТУДЕНТОВ НЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Конспект представляет собой систематизированное изложение основных проблем, включенных в лекционный курс экономики для студентов неэкономических специальностей. 2 ТЕМА 1. ВВЕДЕНИЕ В ЭКОНОМИКУ Объект и предмет экономики 1. Понятие и классификация потребностей 2. Процесс производства в экономике 3. Ресурсы и факторы производства 4. Вопрос 1. Экономика - это особая сфера общественной жизни со...»

«“НЕТ РЕЛИГИИ ВЫШЕ ИСТИНЫ” ВЕСТНИК русской эзотерической школы Теософии им. Е.П. Блаватской г. Москва, Нижний Новгород, Кемерово 2007 В.М.Рослев Материалы русской эзотерической школы теософии им. Е.П. Блаватской СТАТЬИ И ЛЕКЦИИ часть 1 IV издание, исправленное и дополненное Вестник учрежден: общественным объединением – Русской Эзотерической Школой Теософии им. Е.П. Блаватской 2 Редакция: Главный редактор Баканов В.А. Редактор – составитель Светлова Г.В. Компьютерная обработка Суханова Е.А....»

«История религий. Лекция 20 Язычество народов Европы Духи рек, озер, омутов, водоворотов – они тоже разные и бывают людям вполне враждебными, как водяные. Но, конечно, с духами хаоса и разрушения, как в греческой традиции, ни в какое сравнение не идут. Вот изображение кельтской священнослужительницы – друидши. Хотя есть люди, которые говорят, что друидами могли быть только мужчины. Другие говорят, нет, друидками могли быть и женщины. Не знаю. О друидах очень мало нам известно. Хотя образованные...»

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В.И. Юдович Лекции по курсу Математические модели естественных наук Ростов-на-Дону 2006 Оглавление 1 Математические модели 8 1.1 Динамические системы................................... 8 1.2 Динамические системы и автономные дифференциальные уравнения........................................... 11 1.3 О глобальной разрешимости задачи Коши и единственности решения...........»

«1. Цели подготовки Цель – изучить особенности методов исследований в экономической теории для практического применения в научно-исследовательской работе. Целями подготовки аспиранта, в соответствии с существующим законодательством, являются: • формирование навыков самостоятельной научноисследовательской и педагогической деятельности; • углубленное изучение теоретических основ применения методов в экономических исследованиях 2. Требования к уровню подготовки аспиранта Аспирант должен быть широко...»

«Лекции по Церковному Праву З а с л у же н н о г о п р офе с с о р а П р от ои е р е я В. Г. П е в ц о в а. Предварительные понятия Отдел I. Источники церковного права. Общие источники. Священное Писание. Священное и церковное предания. Законодательство Церкви. Церковные обычаи. Государственные законы относительно Церкви. Толкователи канонов. Сборники канонов и номоканоны греческой Церкви. Особые источники Права и его сборники в русской Церкви. Добавление. Отдел II. Устройство церковного...»

«Э.С. ИСЛАМОВА АСПЕКТЫ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ РЕАЛИЙ (Сборник статей) Баку – 2010 Печатается решением Ученого совета педагогического факультета Бакинского славянского университета (пр. №3, от 27.11.2008 г.) Научный консультант : доктор филологических наук, профессор И.Г.ГАМИДОВ Ответственный редактор: доктор филологических наук, профессор Т.Г.МАМЕДОВА Рецензенты: кандидат филологических наук, доцент Р.Т.ТАГИЕВА, кандидат филологических наук, доцент Н.Ш.МАМЕДОВ Э.С.Исламова. Аспекты лингвистических...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.