WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

1

ЛЕКЦИЯ №16

СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ.

ФУРЬЕ – ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СПЕКТРОВ

Спектр — реально существующая картина и спектр — математическое понятие

«Я поместил в очень темной комнате у круглого отверстия, около трети дюйма

шириной, в ставне окна стеклянную призму, благодаря чему пучок солнечного света, входившего в это отверстие, мог преломляться вверх, к противоположной стене комнаты и образовать там цветное изображение солнца».

Рис.16.1. Чертеж из «Оптики» Ньютона.

Так начинается в «Оптике» Ньютона доказательство его знаменитого утверждения (или, как называет его Ньютон, теоремы): «Солнечный свет состоит из лучей различной преломляемости». Один из чертежей «Оптики» Ньютона (его воспроизводит наш рис. 16.1) отчетливо показывает форму этого цветного изображения - оно имеет вид полоски ТР с закругленными концами. Конец Т полоски окрашен в красный цвет, конец Р - в фиолетовый. Между красным и фиолетовым концами полоски располагаются, незаметно переходя один в другой, оранжевый, желтый, зеленый, синий цвета.

Наряду с выражением «цветное изображение» Ньютон пользовался для обозначения полоски ТР словом «спектр». Оно было первоначально (латинское spectrum) синонимом слова «изображение». Но впоследствии спектром стали называть в оптике только цветную картину, о которой идет здесь речь, и аналогичные картины, возникающие в результате прохождения света от любого источника через призму, а также через дифракционную решетку. При этом обычно - как уже делал Ньютон в другом своем опыте - свет пропускается не через круглое отверстие, а через узкую прямую щель (параллельную ребру призмы или штрихам решетки).

Значительно позднее, в процессе развития учения о колебаниях и волнах, слово «спектр» приобрело в науке еще и другой смысл. Рассмотрим функцию вида f ( t ) = C1 cos(1t 1 ) + C 2 cos(2 t 2 ) +... + C N cos( N t N ) или в более короткой записи N f ( t ) = C n cos(n t n ) (16.1) n = где Cn, n, n - постоянные, причем n, соответствующие различным значениям индекса n, не равны между собой. Совокупность пар чисел (1, C12), (2, C22), … (N, CN2), называется спектром функции f(t). N может быть конечным или бесконечным. В первом случае функция (16.1) обычно называется тригонометрической суммой, во втором тригонометрическим рядом. Мы будем, однако, для краткости называть всякую функцию вида (16.1) тригонометрическим рядом, рассматривая тригонометрическую сумму как частный случай последнего.

Построим графическое изображение спектра функции f(t). Отметим на оси абсцисс точки, соответствующие в некотором масштабе частотам (1, 2, …,N). В каждой такой точке восставим перпендикуляр к оси абсцисс и отложим на нем отрезок, длина которого пропорциональна интенсивности С12, С22,…,СN2 соответствующей синусоидальной слагаемой. Получающуюся в результате такого построения диаграмму (рис. 16.2) мы будем называть спектрограммой функции f(t).

С12 С32 Рис.16.2. Пример спектра функции.

С 1 2 «Спектр функции» есть математическое понятие. Как покажет дальнейшее изложение, между этим математическим понятием и физическим понятием спектра существует тесная связь: характер спектра как реально существующей цветной картины (спектра в физическом смысле) определяется характером спектра (в математическом смысле) - функции, описывающей световую волну, падающую на призму или решетку.

Установление этой связи составляет содержание одного из важнейших утверждений учения о колебаниях и волнах, или, говоря языком XVII в., одной из фундаментальных теорем этого учения, раскрывающей смысл открытия Ньютона.

Мы не будем ограничиваться рамками оптики. Из того, как был определен спектр функции (спектр в математическом смысле), ясно, что этот термин принадлежит единому языку теории колебаний и волн. Функция типа (16.1) может изображать не только изменение напряженности электрического поля в световой волне, но и изменение напряженности поля в «невидимой» электромагнитной волне, давление в звуковой волне, силу тока и т. д. В связи с этим целесообразно под спектром в физическом смысле понимать не только ту картину, которая возникает в оптических опытах с призмой или решеткой, но и всякую реально существующую картину (например, на экране электронного осциллографа), являющуюся механическим, акустическим, радиофизическим аналогом оптического спектра. С такими картинами нам предстоит скоро познакомиться. При этом слово «спектр» как обозначение реально существующей картины также становится одним из слов единого языка теории колебаний и волн. Придание термину «спектр» указанного здесь математического и широкого (выходящего за пределы оптики) физического смысла было важным этапом возникновения языка теории колебаний. Заметим, что иногда спектром (в математическом смысле) называют совокупность одних только чисел 1, 2, …,N. Именно в этом смысле говорят, например, что спектр собственных колебании однородной струны состоит из нескольких частот.

Вместе с тем в физике заметна тенденция к все большему расширению смысла, вкладываемого в слово «спектр». Так, например, картину, показывающую распределение некоторой совокупности атомов по массам, называют массовым спектром. Даже в журналистике и политике процветают «спектры мнений» и «спектры кандидатур» и т.п.

Заметим, что задание спектра функции f(t) не эквивалентно заданию самой функции: две функции, имеющие одинаковый спектр, могут различаться фазами своих синусоидальных компонент. Так, например, функции cos t + cos 2t и cos t + sin 2t имеют одинаковые спектрограммы, но весьма различные осциллограммы. Однако для тех явлений, изучение которых составляет основное содержание этой главы, важен, как мы увидим, только спектр той или иной функции, а не фазы ее синусоидальных компонент.



Спектральное разложение как математическая операция 1. Как появляются при построении теории физических явлении тригонометрические ряды и их спектры? Всякая попытка построить теорию некоторого физического явления (или группы физических явлений) состоит, говоря грубо схематически, из следующих этапов:

1) на основании некоторых физических утверждений, а также результатов предварительных экспериментов формулируется математическая задача (например, составляется дифференциальное уравнение);

2) эта задача решается с помощью подходящих для этой цели математических методов;

3) выясняется физический смысл полученного решения, т. е. формулируются вытекающие из него физические утверждения;

4) эти физические утверждения проверяются на опыте и, смотря по результатам этой проверки, исходные утверждения признаются правильными, т. е. отражающими (в том или ином приближении) объективную реальность или нет.

Иногда при построении теории физического явления тригонометрический ряд и его спектр (спектр в математическом смысле) появляются «естественным образом»— уже на первом этапе построения теории. Это бывает тогда, когда те или иные физические соображения нам непосредственно указывают, что в интересующем нас явлении складываются синусоидальные воздействия, создаваемые независимыми источниками.

Пусть, например, мы хотим построить теорию вынужденных колебаний в контуре, индуктивно связанном с несколькими ламповыми генераторами (например, тремя), дающими практически синусоидальные колебания различной частоты (рис. 16.3).

Каждый из генераторов наводит в контуре синусоидальную э.д.с., частота которой равна частоте колебаний генератора. Общая э.д.с., наводимая в контуре, есть, как учит электродинамика, сумма э.д.с., наводимых каждым генератором в отдельности.

Следовательно, дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид (q - заряд конденсатора).

Здесь правая часть нам непосредственно задана физическими условиями задачи в виде тригонометрического ряда.

Рассмотрим другой пример. Пусть мы хотим построить теорию прохождения через дифракционную решетку света, создаваемого точечным источником, в котором одни атомы излучают синусоидальные волны частоты 1 другие атомы - синусоидальные волны частоты 2 и т. д. (всего N сортов атомов). Тогда согласно принципу суперпозиции свет, падающий на решетку, есть сумма синусоидальных волн …………………………….

создаваемых в отдельности каждым сортом атомов, т.е. изображается формулой Здесь волна, падающая на решетку, нам непосредственно задана физическими условиями задачи в виде тригонометрического ряда.

Гораздо чаще, однако, - и этот случай представляет для нас главный интерес — тригонометрические ряды и их спектры появляются на втором этапе построения теории.

Дело может обстоять, например, так. В формулировку математической задачи (например, в правую часть дифференциального уравнения) входит функция, записанная не в виде тригонометрического ряда; но, приступая к решению математической задачи, мы изменяем запись этой функции, представляя ее в виде тригонометрического ряда.

Такое изменение записи функции есть математическое преобразование, возможность которого основана на определенных математических теоремах: оно ничего не меняет в физических условиях задачи. Именно это преобразование мы имеем в виду, когда говорим о спектральном разложении как математической операции.

Конкретные примеры такого «искусственного» появления тригонометрических рядов при построении теории физического явления будут приведены в пп. 2, 3.

Дело может обстоять и так. В формулировку математической задачи не входят никакие заданные функции вида f (t) или f (t – r/c). Но в процессе решения математической задачи появляются такие функции, и притом представленные в виде тригонометрических рядов. Здесь также можно говорить о спектральном разложении в математическом смысле.

2. Спектральное разложение простейшего модулированного колебания.

Пусть нас интересуют вынужденные колебания гармонического осциллятора, создаваемые в нем одним источником колебаний (в отличие от примера п. 1), но колебаний не синусоидальных, а амплитудно-модулированных. Речь может идти, например, о контуре, совершающем вынужденные колебания под действием амплитудномодулированного лампового генератора (рис. 16.4). Речь может идти также, например, о таком опыте. На камертон действует звуковая волна, излучаемая резонаторным ящиком другого камертона, перед отверстием которого колеблется, периодически его закрывая и открывая, рука или механическая заслонка.

Рис.16.4. Колебательный контур, индуктивно связанный с одним ламповым генератором модулированных Здесь физически дано следующее: э.д.с. индукции в контуре или звуковое давление, раскачивающее камертон, имеет периодически меняющуюся амплитуду A (t). Примем для простоты, что она меняется синусоидально около некоторого среднего значения а:

( - частота модуляции). Тогда э.д.с. в контуре или сила, действующая на камертон, имеет вид f(t) = A(t) cos t = (a + 2bcos t) cost.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид (будем говорить для определенности о контуре) Таково дифференциальное уравнение, написанное непосредственно «с натуры».

Подвергнем его теперь математической обработке. Преобразуя правую часть уравнения (16.3), мы можем его представить в виде Теперь правая часть представлена в виде тригонометрического ряда суммы трех синусоидальных колебаний с различными частотами -,, +. Ее спектрограмма показана на рис. 16.5.

Электродвижущая сила в контуре создастся одним источником несинусоидалъных (модулированных) колебаний. Но, как показывает сравнение с (16.2), она ничем не отличается от той силы, которую создавали бы три источника синусоидальных э. д. с. частоты -,, + и амплитуды b, а, b.

Ясно, что колебательный контур (рис. 16.4) или камертон одинаково колеблется под действием силы вида (16.2), независимо от того, создается она одним модулированным источником или тремя независимыми источниками синусоидальных колебаний.

3. Спектральное разложение несинусоидального периодического воздействия.

Пусть на резонатор действует несинусоидальная, но периодическая внешняя сила f(t). Теорема Фурье, доказываемая в курсе математики, утверждает, что функция f(t) может быть представлена во всем интервале - t + виде суперпозиции бесконечного множества синусоид, имеющих частоты, кратные = 2/T, где Т— период функции f(t):

или где причем коэффициенты An, Bn («коэффициенты Фурье» периодической функции) даются формулами (t0 произвольно) Первый пример: периодические прямоугольные толчки (рис. 16.6, а). Здесь, обозначив продолжительность толчка, F - величину силы во время толчка и взяв t = в середине толчка, имеем:

и аналогичным образом для n Спектрограмма показана для частного случая на рис. 16.6, б. Интересен случай,

Похожие работы:

«Ю.М. Берёзкин ОСНОВАНИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТНОЙ МЕТОДОЛОГИИ (начальный курс) Семинарский сезон 2010-2011 гг. Версия для печати СОДЕРЖАНИЕ Предисловие..2 Отличия методологического (деятельностного) подхода от I. научного и философского.3 Различительность как первая операция мышления.51 II. Методологический инструментарий III. формирующегося мышления.101 Рефлексия: феноменально-смысловое введение IV. и обзор исторических точек зрения.157 Механизмы методологической рефлексии. V. Понимание как...»

«Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Основы ОТО Лекция 25 ЛЕКЦИЯ 25 Равенство инертной и гравитационной масс. Принцип эквивалентности. Искривление луча света в гравитационном поле. Изменение частоты света при движении в гравитационном поле. Равенство инертной и гравитационной масс Массу тела можно определить путем измерения испытываемого телом ускорения a под действием известной силы F F Mин =. (1) a Определяемая таким путем масса Mин известна под названием инертной массы. Массу можно также...»

«КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ХИМИЯ ПОВЕРХНОСТИ доц. Василевская Е.И. Лекция 1 ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ПОВЕРХНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ История становления химии поверхности как науки. Поверхностные молекулярные и химические процессы играют основную роль в явлениях гетерогенного катализа, адсорбции, электрохимии и коррозии металлов. Большая армия биологов, биофизиков, био- и геохимиков интенсивно изучает сложные межфазные процессы в мембранах клеток, в пористых органических и неорганических веществах....»

«НИКОЛАЙ ОРЛОВ СТИХОТВОРЕНИЯ Москва ООО ИПЦ “Маска” 2008 УДК 882 ББК 84 (2Рос-Рус) 6 О66 Николай Орлов О66 Стихотворения М.: ООО ИПЦ “Маска”, 2008 — 162 с. ISBN 978-5-91146-222-2 УДК 882 ББК 84 (2Рос-Рус) 6 О66 ISBN 978-5-91146-222-2 © Николай Орлов, 2008 *** 19 декабря 1988 года я сидел на лекции по линейной алгебре доцента Панферова. Это был мой любимый день в году, и я сочинил 2 стишка:. Темнота. Вдруг на рельсы упал Луч сверхмощного зверя-прожектора, Обнажив на дорожке из шпал Труп...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет Утверждаю Декан экономического факультета _Д.И.Мамагулашвили _2008 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Общая и неорганическая химия для студентов 1 курса Специальность: 080401 – Товароведение и экспертиза товаров Форма обучения очная Обсуждено на заседании кафедры Составитель: 2008 г. Феофанова М.А. к.х.н., доцент Протокол № Зав....»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М. В. ЛОМОНОСОВА Химический факультет ВВЕДЕНИЕ В ИСТОРИЮ ХИМИЧЕСКОЙ НАУКИ. (ПЕРИОДЫ, ФАКТЫ, ФРАГМЕНТЫ) МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу: “Введение в историю и методологию химии. История химического факультета” (для студентов второго года обучения) МОСКВА, 2000 г. © Составители: доц. О. Н. Зефирова, асс. Т. В. Богатова, 2000. Ответственный редактор: академик РАН В. В. Лунин. С другими материалами по курсу “Введение в историю и методологию химии. История...»

«1. Цели подготовки Цель дисциплины - глубокое познание функций организма, которое послужило бы основой для активного воздействия человека на эти функции в нужном для себя направлении. Для специалистов это особенно важно в связи с необходимостью разведения здоровых, высокопродуктивных, устойчивых к неблагоприятным условиям внешней среды животных. Целями подготовки аспиранта, в соответствии с существующим законодательством, являются: • формирование навыков самостоятельной научно-исследовательской...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тверской государственный университет УТВЕРЖДАЮ Декан факультета географии и геоэкологии Е.Р. Хохлова 2012 г. Учебно-методический комплекс по дисциплине Районная планировка (4 курс) (наименование дисциплины, курс) 020400.62 География (шифр, название направления подготовки, специальности) Форма обучения очная Обсуждено на заседании кафедры Составитель:...»

«Лекция вторая, в которой рассказывается об апробации МКЭ для расчета автомобильных аварий Никакой пророк не принимается в своем отечестве Лука (гл.5, ст.24) Итак, в прошлой лекции мы выяснили, читатель, что у консервной банки и автомобиля общее то, что деформацию обоих можно рассчитать одним и тем же методом – методом конечных элементов. И пока наши доблестные органы внутренних дел, выполняя указание из послания Президента сократить число ДТП, не покладая рук (хотел написать – голов, но...»

«КАЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АРХИТЕКТУРНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА В СТРОИТЕЛЬСТВЕ по дисциплине Инвестиционное планирование КАЗАНЬ 2002 Составитель: Э.И. Шагиахметова УДК 336.6 КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине Инвестиционное планирование /Каз. Гос. Арх.-стр. акад.; Сост. Э.И. Шагиахметова. Казань, 2002. – 32 с. В конспекте лекций дается краткая информация, способствующая более полному освоению лекционного материала. Рецензент: Декан экономического факультета...»

«Специальность (шифр), форма обучения ЮУПИ 080507.65 Название дисциплины Основы менеджмента Курс, семестр Ф.И.О. преподавателя – разработчика Алексеева Т.В. материалов Лекция 1 Введение. Предмет и задачи курса. Менеджмент как вид деятельности План 1. Причины возникновения управления 2. Предмет курса. Главная задача менеджмента как курса лекций 3. Менеджмент как особый вид профессиональной деятельности 1. Если внимательно посмотреть вокруг, то нетрудно заметить, что управлять можно очень многим:...»

«3 лекция. Применение энергоэффективных ограждающих конструкций в современной архитектуре. Краткая аннотация: Приводятся примеры современных и перспективных ограждающих конструкций и их формообразующего потенциала для применения в архитектуре. Лекционный материал: I. Эффектиные ограждающие конструкции, как один из аспектов энергоэффективного здания Исторически сложилось, что энергоэффективность никогда не была приоритетной задачей в нашей стране. Это связано с большим количеством и,...»

«www.otido.com/friday/2010-09-24.pdf Американский юмор: The Gmail account of Chuck Norris: gmail@chucknorris.com Пятницо! О! xxx: Десять лет занятий профессионально оперным вокалом и репетиции солистом Netflix наконец-то добрался и до Канады, теперь нужды скачивать фильмы может, в хеви-металл-группе ничто по сравнению с двумя лекциями, прочитанными группе поубавиться, хотя. первому курсу. xxx: Я голос сорвал после этих лекций ((( XXX: Здравствуйте. у меня принтер комкает бумагу =( можно что...»

«ТЕОРИЯ ВСЕГО СТИВЕН ХОКИНГ ТЕОРИЯ ВСЕГО Происхождение и судьба Вселенной санкт-петербург АМФОРА 2009 УДК 524.8 ББК 22.68 Х70 STEPHEN HAWKING The Theory of Everything The Origin and Fate of the Universe Перевел с английского И. И. Иванов Научный редактор Г. А. Бурба Издательство выражает благодарность литературному агентству Goumen & Smirnova за содействие в приобретении прав Original English language edition published by Phoenix Books and Audio Защиту интеллектуальной собственности и прав...»

«1 Тема 2. ЛОГИСТИЧЕСКИЙ МЕНЕДЖМЕНТ. Лекция 2.2. Логистический менеджмент. Взаимосвязь логистики с другими видами управленческой деятельности. План: 1. Основные управленческие функции администрирования логистической системы. Функции логистического анализа и аудита. 2. Контроллинг логистической системы. 3. Взаимосвязь логистики с маркетингом. 4. Взаимодействие логистики с производственным, инвестиционным и финансовым менеджментом фирмы. 5. Взаимодействие логистики с HR-менеджментом. Что должен...»

«1. Цели освоения дисциплины Целью курса Зоология является формирование у студентов представлений об уровнях организации и планах строения животных, основах морфологии, систематики и экологии позвоночных животных мировой и региональной фауны, основных направлениях эволюции животного царства, формирование как общей, так экологической культуры личности, осмысленного восприятия многообразия животного мира и его значение для существования биосферы как глобальной экосистемы. Задачами курса Зоологии...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра физики и высшей математики М. В. ЩУКИН КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Минск 2007 УДК 514.122:512.64(075.8) ББК 22.151.5:22.143я73 Щ95 Рекомендовано к изданию научно-методическим советом МГЭУ им. А. Д. Сахарова (протокол № 9 от 23 мая 2007 г.). Автор: доцент кафедры физики и...»

«Лекция 9. Моделирование бизнеспроцессов. Введение. Основные понятия Развитие моделирования бизнес-процессов Основные принципы моделирования бизнес-процессов 1 Введение. Основные понятия Говоря о моделировании бизнес-процессов, мы будем пользоваться терминологией сразу нескольких областей знаний, относящихся к экономике, информатике, моделированию сложных систем. Поэтому, прежде чем двигаться дальше, необходимо ввести ряд базовых понятий и определений. Для начала попробуем разобраться, что,...»

«1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет ОБОРУДОВАНИЕ ОТРАСЛИ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОБОРУДОВАНИЕ ОТРАСЛИ для студентов специальности 250303.65 Технология деревообработки всех форм обучения Хабаровск 2006 2 Раздел 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАУКИ О РЕЗАНИИ ДРЕВЕСИНЫ И ДРЕВЕСНЫХ МАТЕРИАЛОВ Введение Все определения необходимо запомнить дословно, т.к. только в этом...»

«Лекция 1: Сущность, содержание, функции бухгалтерского учета 1.Виды хозяйственного учета и их характеристика 2.Виды бухгалтерского учета 3.Основные задачи и функции бухгалтерского учета 1) Основой существования и развития любого общества является материальное производство. Чтобы успешно управлять производством, необходимо контролировать хозяйственное производство. Для получения достоверных сведений о ходе хозяйственных процессов организуется хозяйственный учет, который представляет собой...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.