WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

ПОНЯТИЕ КАНОНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

КРИТЕРИЙ КАНОНИЧНОСТИ, ВЫРАЖЕННЫЙ ЧЕРЕЗ

МАТРИЦУ ЯКОБИ1

А.П.Маркеев

1. Введение. Пусть движение материальной системы с n степенями

свободы описывается каноническими уравнениями

dqi H dpi H

=

=,, i = 1, 2,..., n, (1.1) dt pi dt qi где H = H(q1, q2,..., qn, p1, p1,..., pn, t) функция Гамильтона.

При анализе и интегрировании дифференциальных уравнений (1.1), как и всяких других, очень важен удачный выбор переменных. Например, если для задания движения материальной точки в центральном поле сил в плоскости Oxy выбраны полярные координаты r,, то угол будет циклической координатой и порядок системы дифференциальных уравнений движения может быть понижен на две единицы. А если рассматривать движение в декартовых координатах x, y, то циклической координаты не будет.

Уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности.

Выбор обобщенных координат q1, q2,..., qn в этих уравнениях весьма произволен. Но нет общего метода упрощения уравнений Лагранжа за счет того или иного выбора обобщенных координат.

При переходе от уравнений Лагранжа к каноническим уравнениям Гамильтона дополнительно к координатам q1, q2,..., qn вводятся обобщенные импульсы p1, p2,..., pn и тем самым количество переменных удваивается.

Величины q1, q2,..., qn, p1, p2,..., pn координаты в 2n – мерном фазовом пространстве. При этом ни одна из совокупностей q1, q2,..., qn и p1, p2,..., pn не является более существенной, чем другая. В гамильтоновой динамике они равноправны.

Для иллюстрации только что сказанного рассмотрим систему с одной степенью свободы (n = 1), описываемую уравнениями dq H dp H = =,, H = H(q, p). (1.2) dt p dt q 1 Излагается содержание первой лекции из раздела "Канонические преобразования" курса теоретической механики для студентов факультета общей и прикладной физики МФТИ ( 2010 - 2012 г.г.) Сделаем в этих уравнениях замену переменных q = P, p = Q. Легко проверить, что в новых переменных Q, P движение описывается каноническими уравнениями вида dQ dP = =,, = H(P, Q). (1.3) dt P dt Q Уравнения (1.3) по форме не отличаются от уравнений (1.2). Но в этих уравнениях Q координата (в (1.2) это был импульс), P импульс (а была координата, взятая с обратным знаком). Как видим при замене переменных первоначальный физический смысл названий "координата" и "импульс" потерялся.

По отмеченной причине и по ряду других причин переменные q1, q2,..., qn и p1, p2,..., pn часто называют канонически сопряженными или просто сопряженными переменными.

Упомянутое удвоение числа независимых переменных расширяет множество возможных преобразований, что является одним из преимуществ гамильтоновой механики перед лагранжевой. Равноправность переменных q1, q2,..., qn и p1, p2,..., pn дает большую свободу для выбора "координат" и "импульсов".

2. Замена переменных. Для дальнейшего нам удобнее будет записать систему уравнений (1.1) в векторно - матричной форме (штрихом обозначаем операцию транспонирования) dx = JHx, (2.1) dt где x 2n - мерный вектор - столбец: x = (q, p ), q = (q1, q2,..., qn ), p = (p1, p2,..., pn ), 0 En J=, (2.2) En En единичная матрица n - го порядка, H = H(x, t) - функция Гамильтона из (1.1), Hx матрица - строка размером 1 2n, Hx = (Hq, Hp ) = (Hq1, Hq2,..., Hqn, Hp1, Hp2,..., Hpn ).

Нетрудно проверить, что J = J1 = J, J2 = E2n, det J = 1. (2.3) В некоторой области фазового пространства q1, q2,..., qn, p1, p2,..., pn рассмотрим обратимую, дважды непрерывно дифференцируемую замену переменных q, p Q,P, содержащую t в качестве параметра:

Qi = Qi (q, p, t), Pi = Pi (q, p, t), i = 1, 2,..., n. (2.4) Если ввести обозначение y =(Q, P ), где Q = (Q1, Q2,..., Qn ), P = (P1, P2,..., Pn ), то замену (2.4) можно записать в виде y = y(x, t). (2.5) Пусть M матрица Якоби преобразования (2.4), Q1 Q1 Q1 Q......

q1 qn p1 pn..........

Q Q Qn Qn Qn Qn......

q p q1 qn p1 pn y M= = =. (2.6) x P P P1 P1 P1 P......

q p q1 qn p1 pn..........

Предполагается, что det M = 0. Для обратного к (2.5) преобразования матрица Якоби является обратной к матрице (2.6), Преобразуем уравнения (2.1) к новым переменным. Из (2.5),(2.6) и (2.1) имеем Обозначим через (y, t) функцию Гамильтона H, записанную в переменных y, Тогда и из равенства (2.9) получаем уравнения движения в новых переменных Второе слагаемое в правой части равенства (2.11) функция переменных y, t. Эта функция получается после частного дифференцирования функции (2.5) по t с последующей заменой x на функцию (2.7), задающую преобразование, обратное (2.5). Справедливо следующее утверждение.

Лемма. Матрица (Jy/t)y будет симметрической тогда и только тогда, когда матрица M JM не зависит от t.

Действительно, учитывая,что J постоянная матрица, а замена переменных (2.4) обратима и дважды непрерывно дифференцируема, имеем и, следовательно, симметричность матрицы (Jy/t)y означает, что и равенство (2.12) запишется в виде Умножив обе части этого равенства слева на матрицу M, а справа на M, придем к соотношению или Последнее равенство эквивалентно равенству (2.12). Лемма доказана.

3. Понятие канонического преобразования. В новых переменных уравнения движения могут стать проще исходных уравнений (1.1). Но они могут уже не быть гамильтоновыми. Мы, однако, будем рассматривать только такие преобразования (2.4), которые не нарушают гамильтоновой формы уравнений движения, т.е. мы требуем, чтобы уравнения (2.11) записывались в виде где = (y, t) новая функция Гамильтона, вообще говоря, отличная от старой функции H, задающей исходные уравнения (1.1). Векторно матричной формой уравнений (3.1) будут уравнения где J матрица (2.2), а y матрица - строка вида Определение. Преобразование (2.4) называется каноническим, если оно переводит л ю б у ю гамильтонову систему (1.1) снова в гамильтонову систему (3.1) (вообще говоря, с другой функцией Гамильтона ).



Замечание 1. Обратим внимание на выделенное разрядкой в определении канонического преобразования слово "любую". Преобразование, переводящее некоторую конкретную гамильтонову систему (1.1) в некоторую другую гамильтонову систему (3.1), не обязательно является каноническим. Например, если старая функция Гамильтона H = = const, то произвольное не зависящее от времени неканоническое преобразование x y переводит систему (1.1) в систему (3.1) с новой функцией Гамильтона = = const.

Замечание 2. Канонические преобразования тесно связаны с преобразованиями, которые в математике называют контактными или касательными преобразованиями [1 - 4]. Доказательство того факта, что при контактном преобразовании любая гамильтонова система переходит в гамильтонову, дано Якоби [5]. Приведенное выше определение канонического преобразования встречается во многих монографиях и учебниках по математике и механике (см., например, [6 - 15]).

Канонические преобразования дают метод исследования движения совсем иной, нежели метод интегрирования системы дифференциальных уравнений (1.1). Можно забыть об этих уравнениях, но выбором тех или иных канонических преобразований стремиться упростить функцию Гамильтона преобразованной системы (3.1). В гамильтоновой механике разработаны конструктивные методы упрощения функции. Эти методы особенно эффективны в теории возмущений, когда невозможно получить точные решения.

В теории канонических преобразований нужно, в первую очередь, найти ответы на два принципиальных вопроса: а) как проверить, является ли замена переменных (2.4) каноническим преобразованием; б) если замена (2.4) каноническое преобразование, то как найти функцию Гамильтона преобразованной системы.

Ниже мы коснемся только первого вопроса. А именно, получим критерий каноничности преобразования (2.4) в матричной форме. Из него затем несложно будет получить другие формы критерия каноничности (через скобки Лагранжа, через скобки Пуассона, через производящие функции).

4. Критерий каноничности преобразования (2.4), выраженный через матрицу Якоби (2.6). Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Для того чтобы преобразование (2.4) было каноническим, необходимо и достаточно, чтобы существовало число c = 0 такое, что матрица Якоби (2.6) удовлетворяет тождеству Число c называется валентностью преобразования (2.4); если c = 1, то преобразование называется унивалентным.

Замечание 3. Матрица M, удовлетворяющая тождеству (4.1) при c = 1, называется симплектической; если же в (4.1) c = 1, то матрица M называется обобщенно симплектической (с валентностью c). Так как det J = 1, то из (4.1) следует, что det M = ±cn, т.е. обощенно симплектические матрицы являются невырожденными.

Замечание 4. Умножив обе части тождества (4.1) слева на матрицу (M ), а справа на M1, получим J = c (M ) JM1. Беря обратные матрицы от обеих частей этого равенства, его можно переписать в виде J1 = MJ1 M c1. Учтя теперь, что J1 = J, приходим к тождеству, эквивалентному (4.1):

Сначала покажем д о с т а т о ч н о с т ь условия (4.1) для каноничности преобразования (2.4). В самом деле, пусть выполнено условие (4.1). Тогда имеет место тождество (4.2), и, при любой функции H в исходных уравнениях (1.1), уравнения движения (2.11) в новых переменных записываются в виде причем, согласно доказанной лемме (ввиду того, что матрица M JM при условии (4.1) не зависит от t), матрица (Jy/t)y будет симметрической.

Поэтому2 существует функция R(y, t) такая, что Алгоритм построения функции R здесь не обсуждается. Из (4.4) получаем Напомним, что в правой части равенства (4.6) старая функция Гамильтона, записанная в новых переменных; "добавочная" функция R в (4.6) возникла из - за того, что преобразование (2.4) явно зависит от t. Отметим также, что валентность преобразования c и функция R не зависят от исходной функции Гамильтона, они определяются только самим преобразованием (2.4).

Теперь покажем н е о б х о д и м о с т ь условия (4.1). Пусть преобразование (2.4) л ю б у ю гамильтонову систему (1.1) переводит в гамильтонову.

Покажем, что тогда имеет место тождество (4.1).

Рассмотрим равенство (2.11). По предположению ее правая часть при любой H (или, что одно и то же, при любой функции ) имеет структуру правой части уравнения (3.2). Положим 0. Тогда из (2.11) и (3.2) следует, что существует функция R(y, t) такая, что для второго слагаемого из правой части равенства (2.11) справедливо представление (4.5). Отсюда 2 Здесь мы пользуемся известной теоремой из анализа (условиями интегрируемости): для того, чтобы дифференциальная форма (a, dx) = a1 (x1,..., xm )dx1 +... + am (x1,..., xm )dxm была в некоторой области полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы матрица a/x была симметрической (иными словами, чтобы выполнялись равенства ai /xj = aj /xi для всех i, j = 1,..., m) вытекает, что матрица (Jy/t)y симметрическая (см. условие интегрируемости в сноске на предыдущей странице). Следовательно, согласно лемме, матрица M JM не зависит от t. Очевидно, что тогда и матрица MJM тоже не зависит от t.





Теперь рассмотрим первое слагаемое в правой части равенства (2.11).

Из сказанного выше о структуре второго слагаемого и всей правой части следует, что при любой функции существует такая функция G(y, t), что имеет место равенство Если ввести обозначения то равенство (4.7) можно переписать в виде Элементы akr матрицы A не зависят от t. Это видно из (4.8) и показанной выше независимости матрицы MJM от t.

Из (4.9) имеем такие выражения для k - го и - го элементов вектора столбца Gy :

Соотношение (4.9) возможно тогда и только тогда, когда имеют место равенства (условия интегрируемости) Эти равенства должны выполняться для любой функции. Пусть произвольная функция, зависящая только от одной переменной yk (k любое значение из 1, 2,..., 2n). Тогда равенства (4.10) запишутся в виде Если = k,то равенства (4.11) становятся такими:

Ввиду произвольности отсюда следует, что т. е. все внедиагональные элементы матрицы A равны нулю, а ее диагональный элемент akk может зависеть только от yk. Установив это, вернемся снова к равенствам (4.10), в которых опять произвольная функция от всех своих переменных. Но теперь равенства (4.10) становятся такими Проведя дифференцирование, перепишем их в виде Отсюда, учтя равенство смешанных производных функции, приходим к равенству akk = a. Но akk функция yk, а y функция y, поэтому последнее равенство возможно только тогда, когда причем c = 0 (в противном случае из (4.8) следовало бы, что detM = 0).

Таким образом показано, что где c постоянная, отличная от нуля.

Из (4.8) и (4.12) следует, что JMJM = cE2n, или MJM = cJ. Но последнее равенство эквивалентно равенству (4.1) (см. Замечание 4 ).

Теорема доказана. Она дает простой и практически удобный способ проверки каноничности преобразования (2.4).

Приведем несколько примеров канонических преобразований [16]. Старую и новую функции Гамильтона обозначаем через H(q, p, t) и (Q, P, t) соответственно.

1. Тождественное преобразование Преобразование (5.1) каноническое, унивалентное ; при этом = H(Q, P, t).

2. Преобразование Это каноническое преобразование с валентностью c = 1. Оно меняет ролями обобщенные координаты и обобщенные импульсы. При этом 3. Преобразование где = const, = const, = 0, каноническое с валентностью и 4. Преобразование где = const, = const, = 0, также каноническое и 5. Перенос начала координат в фазовом пространстве представляет собой унивалентное каноническое преобразование. Непосредственной проверкой можно убедиться, что новая функция Гамильтона может быть вычислена по формуле 6. Преобразование является унивалентным каноническим преобразованием. Оно осуществляет переход от пары канонически сопряженных переменных qj, pj, играющих роль декартовых координат на плоскости, к паре канонически сопряженных переменных j, rj (j "координата", rj "импульс"), имеющих характер полярных координат.

Если старая функция Гамильтона имела вид то уравнениям для переменных j, rj соответствует функция Гамильтона 7. Преобразование мнимая единица (i2 = 1), осуществляет переход к комплексно где i сопряженным переменным. Оно является каноническим с валентностью 2i и для новой функции Гамильтона имеем выражение Если, например, старая функция Гамильтона имеет вид (5.8), то 8. Пусть Замена переменных является каноническим унивалентным преобразованием. При этом новые переменные Q, P удовлетворяют системе канонических уравнений с функцией Гамильтона 0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Франк М., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Л.;М.: ОНТИ, 1937, 998 с.

2. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.1. М.: Изд во иностр. лит.,1958, 931 с.

3. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1937, 500 с.

4. Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Физматлит, 1971, 635 с.

5. Jacobi C. Note sur l inte gration des e quations die rentielles de la dynamique. C. r. Acad. Sci., 1837, t.5, p.61 - 67.

6. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Физматлит, 1967, 524 с.

7. Леви - Чивита Т., Амальди Т. Курс теоретической механики. Т.2, ч.2.

М.: Изд -во иностр. лит., 1951, 555 с.

8. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т.2, М.;Л.:

Гостехиздат, 1951, 544 с.

9. Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Физматлит, 1975, 416 с.

10. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике, М.: Физматлит, 296 с.

11. Айзерман М.А. Классическая механика. М.:Физматлит, 1980, 368 с.

12. Яковенко Г.Н. Краткий курс аналитической динамики. М.: БИНОМ.

Лаборатория знаний, 2004, 238 с.

13. Петкевич В.В. Теоретическая механика. М.: Физматлит, 1981, 496 с.

14. Лидов М. Л. Курс лекций по теоретической механике. М.: Физматлит, 2010, 495 с.

15. Вилази Г. Гамильтонова динамика. М.- Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2006, 432 с.

16. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.- Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2007, 592 с.



Похожие работы:

«Лекция 11. Ускорители заряженных частиц Введение Субатомная физика отличается от всех других наук одной особенностью: в ней надо рассматривать проявление одновременно трех видов взаимодействия между физическими объектами, причем два вида проявляются только в тех случаях, когда объекты расположены очень близко друг к другу. В биологии, в химии, в атомной физике и физике твердого тела почти полностью господствует дальнодействующее электромагнитное взаимодействие. Явлениями в окружающем нас мире...»

«Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru || slavaaa@yandex.ru || Icq# 75088656 1 of 322 Сканирование и форматирование: Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || slavaaa@yandex.ru || yanko_slava@yahoo.com || http://yanko.lib.ru || Icq# 75088656 || Библиотека: http://yanko.lib.ru/gum.html || Номера страниц - вверху update 28.01.06 Лурия, А. Р.= Лекции по общей психологии — СПб.: Питер, 2006. — 320 с. 1 Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru || slavaaa@yandex.ru || Icq#...»

«ПРОГНОЗНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭПИДЕМИЙ (оценка последствий техногенных аварий и природных катастроф) Борис Васильевич БОЕВ д.т.н., руководитель лаборатории эпидемиологической кибернетики Научно-исследовательского института эпидемиологии и микробиологии им. Н. Ф. Гамалеи РАМН Лекция, прочитанная 24 марта 2005 г. в Московском физико-техническом институте для слушателей курса Режим нераспространения и сокращения оружия массового поражения и национальная безопасность (...»

«ГРИНЕВ В. В. ГЕНЕТИКА ЧЕЛОВЕКА КУРС ЛЕКЦИЙ МИНСК БГУ 2004 УДК 575.1/2:599.89(075.8) ББК 28.704я73 Г85 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Белорусского государственного университета Рецензент кандидат биологических наук, доцент Д.Б. Сандаков Гринев В. В. Г85 Генетика человека : курс лекций / В. В. Гринев. – Мн. : БГУ, 2006. – 131 с. : ил. ISBN 985-485-586-4 В курсе лекций излагаются основы генетики человека. Адресуется студентам и аспирантам, специализирующимся в области...»

«Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Пермский государственный технический университет Кафедра автоматизированных систем управления В. П. Г л а д к о в КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ПРОГРАММИРОВАНИЮ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ Рекомендовано учебно-методическим объединением вузов по образованию в области машиностроения и приборостроения в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности 220100 Пермь 1998 4 ББК Ч23я72 УДК 681.3 Г 52 Гладков В.П. Конспект лекций по...»

«Текст, подготовленный для выступления Новый многосторонний подход для XXI века: лекция имени Ричарда Димблби Кристин Лагард Директор-распорядитель, Международный Валютный Фонд Лондон, 3 февраля 2014 года Добрый вечер! Для меня большая честь быть приглашенной выступить с лекцией имени Димблби в этом году, и я хотела бы поблагодарить Би-Би-Си и семью Димблби за столь любезное приглашение — и особенно Дэвида Димблби за его теплое вступительное слово. Сегодня вечером я хотела бы поговорить о...»

«ПАЛЕОМАГНЕТИЗМ И МАГНЕТИЗМ ГОРНЫХ ПОРОД Материалы семинара Борок 27 – 30 октября 2011 г. Геофизическая обсерватория Борок – филиал Учреждения Российской академии наук Института физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН Палео магнет изм и магнетизм горных поро д теория, практика, эксперимент Материалы семинара БОРОК 27 – 30 октября 2011 г. Борок 2011 2011 Семинар и издание материалов семинара осуществлено при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 11-05-06085г) и...»

«418 Лекция 21. Правовая и политическая культура; взаимосвязь и взаимодействие Правовая культура выступает в качестве интегральной характеристики правового развития общества и составляющих его социальных, этнических, конфессиональных групп, слоев, общностей и входящих в них индивидов. Правовой культуре общества должны соответствовать как законодательство (иначе оно окажется неэффективным), так и поведение, деятельность должностных лиц, учреждений и граждан (в противном случае они получают...»

«Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика СТО Лекция 19 ЛЕКЦИЯ 19 Собственное время. Парадокс близнецов. Распад пиона. Преобразования Лоренца. Лоренцево сокращение. Собственная длина стержня. Собственное время Предположим, что мы наблюдаем из некоторой инерциальной системы отсчета произвольным образом движущиеся относительно нас часы. В каждый отдельный момент времени это движение можно рассматривать как равномерное. Поэтому в каждый момент времени можно ввести связанную с часами инерциальную систему...»

«ВЕСТНИК ВЫПУСК 2 (Ч.II) САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ИЮНЬ УНИВЕРСИТЕТА 2007 Научно-теоретический журнал Издается с августа 1946 года СОДЕРЖАНИЕ Психология образования и воспитания Подколзина Л.Г. Ценностные ориентации подростков классов компенсирующего обучения Борисова Е.А. Мотивы выбора профессии старшеклассниками: психодиагностический инструментарий. Крылова М.А. К вопросу о структуре креативности старшеклассников Яснова А.Г. Реалистичность Я-образа и самооценки как ресурс личностного развития...»

«Мы родились в глухом средневековье, В хибарах, прилепившихся к дворцу, И все питали преданность сыновью К тому, кто нас по горло залил кровью, К великому и мудрому творцу Из стихов знакомого филолога, эмигрировавшего в США 1975г Анатолия Либермана. ВВЕДЕНИЕ У меня никогда ранее не появлялось желания написать чтонибудь о себе. Я даже никогда не вел дневников. Кроме научных статей и двух сугубо специальных монографий я ничего публичного не писал. Пожалуй, основным инициатором написания этой...»

«Психологизм и его критика Эдмундом Гуссерлем Рецепция Пролегомен Первый том Логических из наиболее успешных сочинений современисследований Э. Гуссерля, вышедший в свет в 1900 году, является одним ной философии. Именно эта работа, построенная на критике широкого круга философских авторитетов своего времени, сделала сорокаоднолетнего приват-доцента известнейшим философом своего времени, стяжав не только ответную критику, но и широкую поддержку университетских философов Германии. До публикации...»

«Лекция 1 Создание ОС Windows. Структура ОС Windows ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ Целью настоящего цикла практических занятий является иллюстрация основных положений лекционного курса Основы операционных систем на примере 32-разрядной версии операционной системы (ОС) Windows (Windows NT, 2000, XP, Vista), разработанной корпорацией Microsoft. В дальнейшем эта ветвь операционных систем Microsoft для краткости будет называться просто ОС Windows. Данный курс не является руководством по системному...»

«1 Тема 3. ЛОГИСТИКА УПРАВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫМИ ПОТОКАМИ В СФЕРАХ ПРОИЗВОДСТВА И ОБРАЩЕНИЯ. Лекция 3.2. Логистика снабжения. Управление закупками. План: 1. Что такое управление закупками. Значение деятельности по организации и управлению закупками. Терминология, используемая для описания этого вида деятельности. 2. Цели деятельности отдела (службы) закупок любой производственной (торговой) фирмы в области организации и управления закупками. 3. Основные функции отдела закупок и взаимодействие с...»

«Станислав Лем Астронавты Станислав Лем Возвращение со звезд: АСТ, АСТ Москва, Хранитель; Москва; 2007 ISBN 5-17-040299-6, 5-9713-4240-1, 5-9762-1597-1 Оригинал: StanislawLem, “Astronauci” Перевод: Зинаида Анатольевна Бобырь Аннотация Станислав Лем автор произведений-легенд, на которых выросли поколения поклонников научной фантастики, – Соляриса, Эдема, Звездных дневников Ийона Тихого – и множества других. Лауреат множества национальных и иностранных литературных премий. Писатель, которого...»

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ ИРЕНА БОРЕЦКА Б И Б Л И О Т Е РА П И Я Лекции для студентов педагогических специальностей Гродно 2007 УДК 37.013.8(042) ББК 74.3 Б82 Перевод осуществлен по изданию. Перевод с польского И.Ф.Притульчик. Борецка, И. Библиотерапия : лекции / И.Борецка; пер. с польского И.Ф.ПриБ82 тульчик. – Гродно : ГрГУ, 2007. – 99 с. ISBN 978-985-417-920-9 Предлагаемые лекции рассматривают...»

«Некоммерческая организация Ассоциация московских вузов Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина Научно-информационный материал Методика оценки технического состояния ТА дизелей Москва 2010 1 СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ Стр. Лекция 1. Обоснование необходимости разработки новых методов диагностирования ТА дизелей........ 3. Лекция 2. Особенности конструкции ТА дизелей...»

«http://ucheba-legko.ru Венгеров А.Б. Теория государства и права: Учебник для юридических вузов. 3-е изд. – М.: Юриспруденция, 2000. –.528 с. Учебник, написанный в соответствии с курсом Теория государства и права для юридических вузов, качественно отличается от выходивших ранее книг по этой дисциплине. Сохраняя все то ценное, что наработано в теоретико-правовой мысли за предыдущие годы, автор вместе с тем решительно отходит от вульгаризированных догм и методов, существенно обновляет и...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Кафедра химии И.В. БОДНАРЬ, А.П. МОЛОЧКО, А.А. ПОЗНЯК, Н.П. СОЛОВЕЙ, Л.В. ЯСЮКЕВИЧ ФИЗИЧЕСКАЯ ХИМИЯ лекции для студентов БГУИР специальностей Микро- и наноэлектронные технологии и системы I-41 01 02 Квантовые информационные системы I-41 01 03 Электроннооптические системы и технологии I-36 04 01 МИНСК 2007 Примечание Допускается изменение последовательности...»

«1 Лекция № 2 ТЕМА:Речевой гол ос и его эле ме нты ВОПР ОСЫ:1) качества речевого го лоса; 2)голосовые регистры; 3)постановка голоса ( выработка правильной осанки; поста новка речевого дыхания, гимнас тика Стрельник овой); 4)тембр гол оса; 5)недостатк и речевого голоса; 6)профессиональ ные качества рече вого голсоа. Выделяются сле дующие основные качества професс ионального речевого го лоса: Выделяют основные качества профессионального речевого г олоса : 1)достаточная сила звука. Он должен быть...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.