WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Алгебры Клиффорда и спиноры

Широков Д. C.1

Научно-образовательный центр

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской академии наук

13 ноября 2011 г.

1 Вопросы, замечания, указания на ошибки и неточности просьба отправлять на shirokov@mi.ras.ru

Данный материал является конспектом лекций, которые читаются автором в рамках Научно-образовательного центра при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН (осень 2011 года). Предложенный материал не является окончательным вариантом и от лекции к лекции будет претерпевать изменения.

В лекциях рассматривается понятие алгебры Клиффорда над полем вещественных или комплексных чисел. В настоящее время алгебра Клиффорда (или, иногда, Геометрическая алгебра) применяется во многих разделах современной математики и физики - теории поля, робототехнике, обработке сигналов и изображений, механике, химии, космической динамике, электродинамике, геометрии и др.

Алгебра Клиффорда была открыта английским математиком Вильямом Клиффордом в 1878 году как алгебра, объединяющая свойства алгебры Грассмана и кватернионов Гамильтона. Теория алгебр Клиффорда развивалась усилиями многих математиков - Липшицем (R. Lipschitz), Картаном (E. Cartan), Валеном (K. T. Vahlen), Уиттом (E. Witt), Шеваллье (C. Chevalley), Риссом (M. Riesz), Портеусом (I. R. Porteous), Хелмстейтером (J. Helmstetter).

Курс построен таким образом, что алгебра Клиффорда рассматривается не как абстрактная алгебра, а как математический аппарат, который активно используется в различных приложениях математической физики. По этой причине материал излагается без излишней формализации.

Излагается своя точка зрения на рассматриваемые объекты.

Никаких дополнительных знаний от слушателей не требуется. Все необходимые понятия даются по ходу изложения. Курс будет полезен как студентам младших курсов для расширения своего кругозора, так и студентам старших курсов и аспирантам для возможного применения аппарата алгебр Клиффорда в различных приложениях.

Излагаемый материал сопровождается упражнениями, которые помогут лучше усвоить новый материал и подтолкнут читателей к более детальному изучению предмета.

Данное изложение по возможности минимизирует необходимость смотреть другую литературу, однако для удобства читателей в конце материала приводится список рекомендуемой литературы для более детального изучения исследуемых проблем.

i Оглавление 1 Лекция 1 1.1 Алгебраический минимум: группы, кольца, тела, поля, векторные пространства, алгебры................. 1.2 Алгебры Клиффорда (АК) с фиксированным базисом... 1.3 Примеры АК, кватернионы, матрицы Паули и Дирака... 1.4 Классификации элементов АК по рангам, четности и кватернионным типам........................ 1.5 Операции сопряжения и проектирования в АК....... 2 Лекция 2 2.1 Структура унитарного (евклидова) пространства на АК.. 2.2 Утверждение о центре АК................... 3 Лекция 3 3.1 Периодичность Картана-Ботта и матричные представления вещественных АК...................... 3.2 Матричные представления комплексныx АК......... 3.3 Метод задания матричного представления комплексных АК с помощью эрмитова идемпотента и левого идеала... 4 Лекция 4 4.1 АК как алгебры кватернионного типа............ 4.2 Алгебры Грассмана....................... 5 Лекция 5 5.1 Второй базис в АК........................ 5.2 Теоремы о коммутировании элементов базиса........ 5.3 Свертки и обобщенные свертки в АК............. ii 6 Лекция 6 6.1 Теорема Паули в случае размерности 4............ 6.2 Обобщенная Теорема Паули (ОТП) в АК четной размерности 6.3 ОТП в АК четной размерности для нечетных элементов.. 6.4 ОТП в АК нечетной размерности для нечетных элементов 6.5 ОТП в АК нечетной размерности в общей постановке... 7 Лекция 7 7.1 Псевдоортогональная группа и ее подгруппы........ 7.2 Группы Клиффорда и группы Липшица........... iii Глава Лекция 1.1 Алгебраический минимум: группы, кольца, тела, поля, векторные пространства, алгебры Группой называется непустое множество G, в котором задана групповая операция GG G (обычно называемая умножением), сопоставляющая каждой паре элементов x, y G единственный элемент xy = z G. При этом должны выполняться аксиомы:

1. (xy)z = x(yz) для всех x, y, z G (ассоциативность), 2. существует единица e G такая, что ex = xe = x для всех x G, 3. для каждого x G существует обратный элемент x1 G такой, Группа G называется абелевой группой, если групповая операция удовлетворяет условию коммутативности В этом случае групповая операция G G G обычно называется сложением и обозначается через +. Аксиомы перепишутся тогда в следующем виде:

1. (x + y) + z = x + (y + z) для всех x, y, z G (ассоциативность), 2. существует нулевой элемент 0 G такой, что 0 + x = x для всех 3. для каждого x G существует противоположный элемент x G 4. x + y = y + x для всех x, y G (коммутативность).

Кольцом называется абелева группа R, в которой кроме операции сложения (групповой операции) задана операция умножения RR R, сопоставляющая каждой паре элементов x, y R единственный элемент xy = z R и такая, что выполняется свойство дистрибутивности:

Кольцо может обладать дополнительными свойствами. А именно, свойствами унитальности, ассоциативности и коммутативности:



Кольцо R называется унитальным, если в нем существует единичный элемент e R такой, что Кольцо R называется ассоциативным, если выполнено свойство ассоциативности Кольцо R называется коммутативным, если выполнено свойство коммутативности Телом (или кольцом с делением) называется унитальное кольцо R, в котором e = 0 и всякий ненулевой элемент имеет обратный, т.е.

Рассматривается, например, тело кватернионов H.

Полем называется ассоциативное коммутативное кольцо с делением.

Например, имеем поле вещественных чисел R, поле комплексных чисел C, поле рациональных чисел Q, поле p-адических чисел Qp.

Векторным (или линейным) пространством V над полем F называется абелева группа по сложению, в которой задана операция умножения на числа из поля F так, что выполняются следующие свойства 4. 1x = x для всех x V, где 1 - единица из F.

Элементы векторного пространства будем называть векторами, а элементы F - скалярами.

Будем рассматривать вещественные и комплексные векторные пространства (над полями R и C соответственно).

Алгеброй A над полем F называется векторное пространство V, на котором задана операция умножения A A A, сопоставляющая каждой паре элементов x, y A единственный элемент xy = z A, согласованная с линейной структурой и такая, что выполняется свойство дистрибутивности:

Алгебра может обладать дополнительными свойствами. А именно Алгебра A называется унитальной (или алгеброй с единицей), если в ней существует единичный элемент e A такой, что Алгебра A называется ассоциативной, если выполнено свойство ассоциативности Алгебра A называется коммутативной, если выполнено свойство коммутативности Алгебра A называется алгеброй Ли, если выполнены следующие свойства 1. xy + yx = 0 для всех x, y A (антикоммутативность), 2. x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0 для всех x, y, z A (тождество Якоби).

В алгебрах Ли для обозначения операции умножения принято использовать скобку Ли [x, y].

1.2 Алгебры Клиффорда (АК) с фиксированным базисом Пусть E - векторное (линейное) пространство над полем F вещественных чисел R или над полем комплексных чисел C. Пусть n - натуральное число и размерность пространства E равна dim E = 2n. Пусть в E введен базис занумерованный упорядоченными мультииндексами длины от 0 до n.

Индексы a, a1, a2,... пробегают значения от 1 до n.

Пусть p и q - неотрицательные целые числа и p+q = n, n 1. Введем диагональную матрицу размера n:

у которой на диагонали стоят p штук +1 и q штук 1.

Введем на E операцию Клиффордова умножения U, V U V по следующим правилам:

1) (дистрибутивность и согласованность с линейной структурой) 2) (ассоциативность) для любых U, V, W E 3) (унитальность) для любого U E Тогда введенная таким образом алгебра называется алгеброй Клиффорда и обозначается C R (p, q) в случае поля вещественных чисел и C C (p, q) = C (p, q) в случае поля комплексных чисел. Заметим, что в случае поля комплексных чисел мы часто будем опускать индекс C и писать просто C (p, q). Заметим, что В тех случаях, когда рассуждения верны для обоих случаев, будем писать C F (p, q), подразумевая, что F = R или F = C.

Элементы ea называются генераторами 1 алгебры Клиффорда, элемент e называется единицей алгебры Клиффорда. Пара чисел (p, q) называется сигнатурой алгебры Клиффорда C F (p, q). Иногда под сигнатурой понимают число p q.

Итак, в виду условий 1)-4) мы имеем ассоциативную некоммутативную унитальную алгебру с определяющими соотношениями (1.3).

Любой элемент U алгебры Клиффорда C F (p, q) представляется в виде разложения по базису (1.1):

Будем называть подпространства подпространствами главных кватернионных типов.

Целесообразность рассмотрения алгебры Клиффорда как прямой суммы четырех приведенных подпространств обсуждается ниже.

Упражнения 1. Показать, что квадрат от элемента алгебры Клиффорда ранга есть элемент ранга 0.

Бинома Ньютона).

3. Показать, что алгебра Клиффорда является супералгеброй.

4. Доказать, что для двух произвольных элементов алгебры Клиффорда C F (p, q) заданных рангов k l, верно 5. * Показать, что 1.5 Операции сопряжения и проектирования Комплексное сопряжение. Если элемент U C (p, q) задан в виде разложения (1.4), то операцию комплексного сопряжения U U зададим формулой В частности получаем для всех главных миноров Теперь вспоминаем, что для матриц из псевдоортогональной группы O(p, q) определитель равен detA = ±1. Значит, из полученных равенств следует Для главных миноров получаем кроме того в частности Из Леммы 7.2 (стр. 89) и Леммы 7.1 (стр. 88) нетрудно получить, что Принимаем следующее соглашение: будем рассматривать сигнатуры (p, q) псевдоевклидова пространства V, где первые p координат являются временными, а последние q - пространственными.

Теорема 7.1 Множества матриц являются подгруппами группы O(p, q) и называются соответственно ортохронной группой, ортохорной (сохраняющей четность) группой (“parity preserving” или “orthochorous” в разных источниках) и специальной ортохронной группой.

Доказательство. [15] Докажем утверждение теоремы для O (p, q).

Очевидно, что единичная матрица 1 принадлежит группе O (p, q).

Тот факт, что обратная матрица A1 к A O (p, q) будет принадлежать O (p, q) непосредственно следует из Леммы 7.2 (стр. 89).

Теперь докажем, что для любых двух матриц A1, A2 O (p, q) их произведение A1 A2 O (p, q).





Пусть где Pi, Ri, Qi, Di - блоки размеров p p, p q, q p, q q соответственно и определители detQ1, detQ2 > 0.

Тогда Докажем, что det(L1 R2 + Q1 Q2 ) = det(Q1 (Q1 L1 R2 Q1 + 1q )Q2 ) > 0.

Для начала заметим, что для любой матрицы A из O(p, q) верно A A =, а значит для ее блоков верно RT R QT Q = 1q и (RQ1 )T (RQ1 ) = (Q1 )T RT RQ1 = (Q1 )T (QT Q1q )Q1 = 1q (Q1 )T (Q1 ).

Аналогично получим из AAT = выражения LP T = QRT и P P T RRT = 1p. Тогда Q1 L = (P 1 R)T и (Q1 L)T (Q1 L) = P 1 RRT (P 1 )T = P 1 (P P T 1p )(P 1 )T = 1p (P 1 )(P 1 )T.

Обозначим K = Q1 L1 R2 Q1 и рассмотрим K T K = (R2 Q1 )T (Q1 L1 )T Q1 L1 R2 Q1 = (R2 Q1 )T (1p P1 (P1 )T )R2 Q1 = Итак, откуда следует, что матрица K T K 1q отрицательно полуопределена.

Таким образом для любого v Rq имеем v T (K T K 1q )v 0, т.е.

(Kv)T (Kv) v T v.

Пусть - произвольное вещественное собственное значение матpицы K + 1q с собственным вектором v. Тогда Kv = ( 1)v, а значит ( 1)2 v T v v T v, откуда следует, что 0. Т.к. комплексные собственные значения встречаются парами, то имеем det(K + 1q ) 0. Заметим, что det(K + 1q ) = 0 в силу (7.3), а значит det(K + 1q ) > 0. Тогда Эти группы можно интерпретировать как группу ортогональных преобразований, сохраняющих ориентацию во времени (временных координатах), в пространстве (пространственных координатах) или во времени и пространстве соответсвенно. Группу SO (p, q) можно определить также как связную компоненту группы SO(p, q), содержащую единицу группы.

Отметим, что группу SO (p, q) также можно определить не только как пересечение специальной ортогональной группы и ортохронной группы, но и (см.(7.4)) как пересечение ортохронной и ортохорной групп или как пересечение специальной ортогональной группы и ортохорной группы Частным случаем рассматриваемых групп являются группы Лоренца (ортогональные преобразования пространства Минковского) При p, q = 0 группа O(p, q) состоит из четырех связных1 компонент где В случае сигнатур (n, 0) и (0, n) 5 ортогональных групп сводятся к двум группам (см. упражнения).

Подробное рассмотрение топологических свойств ортогональных групп мы опускаем, соответствующие утверждения можно найти в литературе.

Много полезной информации об ортогональных группах можно найти в [16] и в других источниках.

Упражнения 1. Показать, что условие AT A = для матриц A O(p, q) эквивалентно следующим соотношениям на элементы матрицы A:

Представленные соотношения будут верны и в том случае, если в них поменять местами индексы строк и столбцов.

2. Используя формулы из предыдущего упражнения показать, что условие a1 > 0 эквивалентно a1 1 для A O(1, n 1).

3. C помощью неравенства Коши-Буняковского убедиться, что является группой.

Действительно, пусть A, B O (p, q) и C = AB. Тогда, учитывая 4. Используя определения ортогональных групп, показать что в случае сигнатур (n, 0) и (0, n) 5 ортогональных групп сводятся к двум:

Более того, O(n, 0) = O(0, n) = O(n) и SO(n, 0) = SO(0, n) = SO(n).

5. * Доказать, что для матрицы A O(p, q) верны следующие формулы (обощающие формулы из упражнения 1)

Похожие работы:

«Этот электронный документ был загружен с сайта филологического факультета БГУ http://www.philology.bsu.by И. И. Шпаковский ПРАКТИКУМ ПО РУССКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ XVIII ВЕКА МИНСК БГУ 2003 Этот электронный документ был загружен с сайта филологического факультета БГУ http://www.philology.bsu.by УДК 882 (09) 10/16 (075. 83) ББК 83. 3 (2Рос=Рус) 1я7 Б33 Р е ц е н з е н т: кандидат филологических наук, доцент Рекомендовано Ученым советом филологического факультета мая 2003 г., протокол №...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГУМАНИТАРНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ИСТОРИИ КУРС ЛЕКЦИЙ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ НОВОСИБИРСК 2012 Документ подготовлен в рамках реализации Программы развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Новосибирский государственный университет на 20092018 гг. Курс лекций Вспомогательные исторические дисциплины составлен в...»

«с/к “Эффективные алгоритмы” Лекция 9: Линейный вероятностный алгоритм построения минимального покрывающего дерева А. Куликов Computer Science клуб при ПОМИ http://logic.pdmi.ras.ru/infclub/ А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 9. Мин. покрывающее дерево 1 / 27 План лекции Введение 1 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 9. Мин. покрывающее дерево 2 / 27 План лекции Введение 1 Алгоритм 2 А. Куликов (CS клуб при ПОМИ) 9. Мин. покрывающее дерево 2 / 27 План лекции Введение 1 Алгоритм 2 Время работы в худшем...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЧ ЕБНО- М ЕТОДИЧЕС КИЙ КОМ ПЛЕ КС по дисциплине Б2.В.ДВ1 – БИОЛОГИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ В ЛАБОРАТОРИИ Код и направление 111900.62 – Ветеринарно-санитарная подготовки экспертиза Профиль бакалавриат подготовки Квалификация Ветеринарно-санитарная экспертиза (степень) выпускника Факультет...»

«24.10.2011 17:45 Слов.нет 17:00 Гостиный двор 18:15 Сумусы 17:30 Барахольщики 06:00 Великие открытия 18:30 Прогород 18:00 Спасайкин 06:15 Для почемучек 2x2 19:00 Место происшествия 18:30 Мультфильмы 06:30 Голубой дракончик 19:15 Город 19:00 Гостиный двор 06:45 Цифровой экипаж 06:00 Химэн 19:45 Вятка Today 19:30 Картель 07:00 Цифровой экипаж 06:30 Боевые роботы Дзинки 20:00 Прогород 21:00 Гостиный двор 07:15 Дом математики 06:55 Букашки 20:30 Охотники за разумом 21:30 Создание совершенства 07:30...»

«2012.01.10. Йога Триада. Лекция 28. Культурный Центр Просветление, г. Москва метро. Автозаводская Лекцию читает: Вадим Запорожцев Итак друзья у нас сегодня 10 января 2012 года. Меня зовут Вадим Запорожцев. Я преподаю йогу. Это у нас лекции по йоге Триаде- йоге влюбленности, тантра йоге, йоге союза. Для площадки единомышленников изучающих эти йоги. Предполагается, что все так или иначе знакомы с теорией, которую можно изучить на сайте www.kurs.openyoga.ru вся базовая теория находиться там. Ну...»

«51 Лекция 3 РУССКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ 1. Реформы Петра - истоки русского просвещения Реформами Петра Великого (1672 - 1725) открывается новая страница в истории Российского государства. Исчерпав свои исключительно национальные элементы, Россия, как пишет К.Д.Кавелин, вошла в жизнь 1 общечеловеческую, инициатива которой в Новое время прочно перешла к Западной Европе. Поэтому нет ничего удивительного, что именно к Европе обратился Петр в поисках общечеловеческого опыта и не побоялся поставить себя и...»

«Подготовлено при финансовом содействии Национального фонда подготовки кадров в рамках его Программы поддержки академических инициатив в области социальноэкономических наук ИНСТИТУЦИОНАЛЬНАЯ ЭКОНОМИКА КУРС ЛЕКЦИЙ Я.И. Кузьминов М.М. Юдкевич 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Лекция 1 ИСТОКИ ИНСТИТУЦИОНАЛИЗМА Лекция 2 ПРЕДПОСЫЛКИ НЕОКЛАССИЧЕСКОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ИХ МОДИФИКАЦИЯ ИНСТИТУЦИОНАЛИСТАМИ Лекция 3 ТЕОРИЯ ИНСТИТУТОВ Лекция 4 ТИПОЛОГИЯ ТРАНСАКЦИОННЫХ ИЗДЕРЖЕК Лекция 5 ТЕОРИЯ КОНТРАКТОВ (часть 1) Лекция...»

«Лекция1 ХУДОЖЕСТВЕННАЯ ПАРАДИГМА РУССКОЯЗЫЧНОЙ ДРАМАТУРГИИ БЕЛАРУСИ НА РУБЕЖЕ XXXXI вв. Современная русскоязычная драматургия Беларуси представлена авторами как старшего поколения (Е. Попова, А. Делендик, С. Бартохова, Е.Таганов), так и младшего (А. Курейчик, К. Стешик, Д. Балыко, А. Шурпин, Л. Баклага, П. Пряжко, С. Гиргель, Н. Халезин, А. Щуцкий, Г. Тисецкий, Е. Анкундинова, Н.Средин и др.). Переведенные на белорусский язык, на отечественной сцене идут пьесы Е. Поповой, А. Делендика, С....»

«Индекс Наименование издания. Аннотация. Цена Философские науки. Психология. Религия 1. 11101 IQ-тесты. 2008 г. CD. Диск содержит уникальную подборку 220-00 профессиональных тестов, применяемых психологами для оценки интеллекта, а также набор упражнений Разминка для интеллектуалов, предложенный Гансом Айзенком. 11102 Аудиокурсы. Лекции по Этике. 2008 г. CD. Курс Философии 220-00 для ВУЗов и Лицеев. Курс начитан по особой методике, разработанной с целью повышения усвоения материала и увеличения...»

«НАУЧНЫЕ И 320349 ТЕХНИЧЕСКИЕ БИБЛИОТЕКИ 2012 №12 БИБЛИОТЕЧНО-ИНФОРМАЦИОННАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Ракитская Л.М. Лекция-тренинг – эффективная форма обучения пользователей поиску документов в справочно-правовых системах (Опыт Центра правовой информации РГБ) Грабарь Н.Г., Соколовская Т.Б. Современное информационное пространство и формирование информационных потребностей пользователей Протопопова Е.Н. Информационное обеспечение инновационного развития приграничных территорий...»

«Модуль 3. Модели роста клетки Лекция 4. Простые модели роста клеточных популяций Введение Основоположником математических популяционных моделей принято считать Т.Мальтуса, который сформулировал закон роста народонаселения по геометрической прогрессии. В дальнейшем было предложено множество моделей, которые учитывали влияние различных факторов на рост популяции, в том числе и клеточных популяций. К наиболее простой модели, используемая в наши дни, можно отнести модель Ферхюльста, которая...»

«1 ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Утверждаю: Зав. каф. РЗИ _ Задорин А.С. ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ (чать I) Курс лекций для специальностей 090103 (организация и технология защиты информации) и 090104 (комплексная защита объектов информатизации) Разработчики: доц. каф. РЗИ _ Бацула А.П. м.н.с. каф. РЗИ _ Волегов К.А. доц. каф. РЗИ _ Литвинов Р.В. ТОМСК Введение 1. Классификация и общая характеристика технических средств добывания информации....»

«План занятий Дисциплина ФИЗИКА (ЧАСТЬ 1) ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Литература. №№ Авторы Наименование, издательство, год издания. Основная литература: Савельев И.В. Курс физики: Учеб.:Т.1.-М.: Наука. Гл. ред. 1 физ-мат. лит.2000. Дополнительная литература. Тихомиров Ю.В. Лаб. работы с элементами компьютерного моделирования (1й и 2й сем.). М.: МГТУ ГА. 2000. Новиков С.М Сборник заданий по общей физике. – 3 М.ОНИКС. Мир и образование. 2006.-510 с. Темы и лекции. Блок 1. Тема 1. Кинематика...»

«ГОУВПО Федерального агентства по здравоохранению и социальному развитию (заведующая кафедрой - профессор М.В.Дегтярева) М.В.Дегтярева И м м у н и т е т новорожденных в норме и п р и патологии. И м м у н о т е р а п и я ликопидом. (обзор клинических исследований) Лекция для практикующих врачей М о с к в а 2010 3 И м м у н и т е т новорожденных в норме и при патологии. И м м у н о т е р а п и я ликопидом. (обзор клинических исследований) М.В. Дегтярева ГОУВПО Федерального агентства по...»

«Основы радиационной биологии. Основные биологические эффекты радиации (Кашпаров В.А.) Назначение: лектор должен представить краткое изложение основных сведений, касающихся радиобиологии человека, а также об основных биологических эффектах радиации. Цели: по завершении лекции слушатели будут: знать историю становления и развития радиационной биологии человека; знать основные дозиметрические единицы; иметь представление об эффектах радиации; понимать последствия радиационного воздействия; знать...»

«Лекция 5. Трансакции и трансакционные издержки Вопросы: • 1. Понятие, происхождение и значение трансакций. Классификация трансакций. • 2. Трансакционные издержки: содержание и значение. • 3. Виды трансакционных издержек. • 4. Проблема количественной оценки трансакционных издержек. • 5. Использование теории трансакционных издержек для объяснения некоторых процессов переходной экономики. Литература 1. Олейник А.Н. Институциональная экономика. М., 2000, тема 5. 2. Шаститко А.Е. Новая...»

«Автоматическая классификация текстов Лекция № 6 курса Алгоритмы для Интернета Юрий Лифшиц 2 ноября 2006 г. Содержание 1. Постановка задачи, подходы и применения 2 1.1. Введение................................................. 2 1.2. Постановка задачи........................................... 2 1.3. Где применяется автоматическая классификация текстов..................... 2....»

«ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2009 Философия. Социология. Политология №2(6) АРХИВ От переводчика Кристина Шюес изучала философию, политологию и литературу в университетах Гамбурга и Филадельфии, защитила докторскую диссертацию по философии (Ph.D.) в Университете Темпла (Филадельфия, США). В настоящее время К. Шюес работает в должности профессора философии в Институте образования и социальных наук Университета г. Вехта (Германия) и читает лекции в университетах г. Вилланова...»

«Белавин А. А., Кулаков А. Г., Усманов Р. А. Лекции по теоретической физике 2-е издание, исправленное и дополненное Москва Издательство МЦНМО 2001 УДК 530 Издание осущствлено при поддержке РФФИ (издательский проект № 00–02–30001). ББК 22.3 Б43 Р И Белавин А. А., Кулаков А. Г., Усманов Р. А. Б43 Лекции по теоретической физике— 2-е изд., испр. и доп.— М.: МЦНМО, 2001.— 224 с.: ил. ISBN 5-900916-91-X Книга написана на основе курса лекций, в течении ряда лет прочитанных в Независимом московском...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.