WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Лекция 12

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ

1.1. Преобразование базисов и координат в линейном пространстве. Пусть V (K) —

линейное пространство над числовым полем K, dim V = n,

e1,..., en — старый базис в V,

e1,..., en — новый базис в V.

Вектор ek V можно разложить по базису e1,..., en :

ek = c 1 e1 + · · · + c n en k k или, в обозначениях Эйнштейна k = 1,..., n, ek = c k ek, (1) k k = 1,...,n.

Матрица c1 c... n C=.. = (ck )n...

..

.. kn cn cn... n называется матрицей перехода (МП) от старого базиса e1,..., en к новому базису e1,..., e n.

Столбцы матрицы перехода представляют собой столбцы координат векторов нового базиса относительно старого базиса.

Рассмотрим матрицу 1 cn c1... C 1 =.. = (ck )n,...

..

.. kn cn c1...

n n обратную к матрице C. Умножим обе части (1) на ck и просуммируем по k :

j c j ek = c k c k ek.

k jk Так как ck ck = j, получаем k jk c k e k = j ek = e j k j или, меняя индекс k на j, j = 1,..., n, ej = c j ej, (2) j j = 1,...,n.

Эта формула выражает векторы старого базиса через векторы нового базиса.

Рассмотрим матрицы-строки E = (e1,..., en ), E = (e1,..., en ), состоящие из векторов старого и нового базисов, соответственно. Тогда формулы преобразования базисов можно записать в матричной форме:

E = E C 1.

E = EC, Задача. Докажите эти формулы, используя матричную технику.

Пусть x V. Найдем связь между координатами xk этого вектора относительно старого базиса и его координатами xk относительно нового базиса. Имеем:

x = x k ek = xk ek (3) (здесь подразумевается суммирование по индексам k, k !).

Подставим в (3) соотношения (1):

xk ek = x k ek = x k c k ek.

k В силу единственности разложения по базису имеем xk = c k xk. (4) k Аналогично, подставляя в (3) соотношение (2), получим xk = c k xk. (5) k Рассмотрим столбцы координат вектора x относительно старого и нового базисов:

1 x x..

X =., X =..

..

n Тогда формулы (4), (5) можно записать в виде Задача. Докажите формулы (6), используя матричную технику.

1.2. Преобразование координат в аффинном пространстве. Пусть Oe 1... en и O e1... en — две аффинные системы координат в n-мерном аффинном пространстве A (старая и новая соответственно).

Пусть r, r — радиус-векторы точки M относительно старой и новой систем коордиPSfrag replacements нат соответственно, r 0 — радиус-вектор начала O новой системы координат относительно старой системы координат. Очевидно, имеем Обозначим через X столбец координат вектора r в старом базисе, через X — столбец координат вектора r в новом базисе, через X0 — столбец координат вектора r 0 в старом базисе. Тогда Отметим, что рассматривать координаты вектора r в новом базисе (равно как и координаты r в старом базисе) большого смысла не имеет.

Поскольку r = r 0 + r, получаем и, используя соотношение E = EC, где C — матрица перехода от базиса e к базису e, запишем так что в силу единственности разложения по базису.

Нетрудно получить формулы обратного перехода:

так что где X0 — координаты вектора r 0 в новом базисе.

Задача. Объясните геометрический смысл знака минус в последнем выражении.

Задача. Получите приведенные формулы, используя координатно-индексные обозначения.

1.3. Преобразование ортонормированных базисов. Пусть E — евклидово линейное пространство, e1,..., en, e1,..., en — два ортонормированных базиса в нем (старый и новый соответственно), C — матрица перехода от старого базиса к новому:

В матричной форме формулы замены базиса имеют вид Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому называется ортогональной матрицей. Установим свойства ортогональных матриц.

Рассмотрим скалярное произведение (ek, el ):

т.е.

Аналогично получаем соотношение Полученные соотношения называются соотношениями ортогональности: строки (столбцы) ортогональной матрицы, рассматриваемые как векторы евклидова пространства R n со стандартным скалярным произведением, попарно ортогональны и имеют единичную длину.

В матричной форме соотношения ортогональности получаются следующим образом.

Введем обозначение Поскольку имеем:

так что окончательно Из этого соотношения легко получаем Пользуясь теоремой об определителе произведения матриц, получаем откуда Ортогональные матрицы с определителем +1 называются собственными, с определителем 1 — несобственными. Геометрический смысл преобразования, задаваемого собственной ортогональной матрицей — вращение.

Задача. Выясните геометрический смысл преобразования, задаваемого несобственной ортогональной матрицей.

Преобразования координат относительно ОНБ получаются весьма простыми в силу того, что для ортогональной матрицы C 1 = C T : если для произвольной пары базисов то для пары ортонормированных базисов Получим общий вид ортогональной матрицы порядка 2:

Подставляя эту матрицу в уравнение C T C = I, находим Таким образом, получаем систему уравнений Первые два уравнения допускают решения Подставляя это в третье уравнение, находим Поэтому Итак, При выборе верхнего знака получается собственная ортогональная матрица, при выборе нижнего — несобственная. Видим, что любая ортогональная матрица порядка 2 вполне определяется одним параметром, геометрический смысл которого — угол поворота.



ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1. Постановка задачи. Кривая, задаваемая в декартовой системе координат уравнением вида где F (x, y) — многочлен степени n от переменных x, y, называется кривой порядка n.

Эллипс, гипербола и парабола представляют собой кривые второго порядка (квадрики).

Пусть F (x, y) — произвольный многочлен второй степени:

Наша задача — выяснить, какие кривые могут быть заданы уравнением F (x, y) = 0.

Введем матрицы Тогда уравнение квадрики можно записать в виде Задача состоит в том, чтобы найти систему координат, в которой уравнение квадрики имеет наиболее простой вид, не содержащий слагаемого 2a12 xy и (по возможности) линейных членов 2b1 x + 2b2 y.

2.2. Преобразование уравнения при повороте. Выясним, как изменится уравнение (7) при повороте системы координат. Пусть матрица перехода от исходного базиса к повернутому имеет вид здесь — угол поворота.

Координаты точки относительно старой (X) и новой (X ) систем координат связаны соотношением Поставляя это соотношение в уравнение (7), получим Вводя обозначения видим, что уравнение сохраняет свой вид:

а коэффициенты уравнения преобразуются по формулам (8).

2.3. Преобразование уравнения при переносе начала координат. Пусть новая система координат получена из старой сдвигом начала координат на вектор r 0, имеющий столбец координат X0. Тогда старые и новые координаты связаны соотношением Поставляя это соотношение в уравнение (7), получим Поскольку AT = A, имеем так что уравнение принимает вид Вводя обозначения видим, что при переносе начала системы координат уравнение сохраняет свой вид:

а коэффициенты уравнения преобразуются по формулам (9). Отметим, что коэффициенты старших членов уравнения при переносе не изменяются.

2.4. Уничтожение членов вида 2a12 xy с помощью поворота. Попытаемся подобрать поворот таким образом, чтобы слагаемое вида 2a12 xy в преобразованном уравнении исчезло, т.е. чтобы матрица A уравнения, отнесенного к новой системе координат, была диагональной:

Согласно (8) По теореме о произведении определителей Поскольку tr(AB) = tr(BA), имеем Задача. Докажите, что tr(AB) = tr(BA). [Указание: напишите выражение для элементов матриц C = AB и D = BA и вычислите tr C = cii и tr D = dii.] Таким образом, определитель и след матрицы A не меняются при повороте системы координат. Отметим, что при переносе начала координат не изменяется сама матрица A. Итак, det A и tr A являются инвариантами уравнения (7) относительно поворотов и сдвигов; обозначим их Замечание. Заметим, что при повороте не изменяется также свободный член уравнения (см. формулы (8)).

Для матрицы получаем:

Таким образом, 1 и 2 являются корнями квадратного уравнения называемого характеристическим уравнением. Многочлен 2 S + называется характеристическим многочленом квадрики (а также матрицы A).

Характеристическое уравнение всегда имеет вещественные корни, поскольку его дискриминант Векторы нового (повернутого) базиса имеют относительно старого базиса координаты эти столбцы являются столбцами матрицы поворота R: R = [R1, R2 ].

Поскольку должно выполняться соотношение (10), имеем:

так что Эти уравнения можно переписать в виде где I — единичная матрица. Таким образом, R1 и R2 являются решениями однородных систем линейных уравнений, которые имеют нетривиальные решения лишь в случае Проверим, что эти соотношения выполняются.

это выражение равно нулю, поскольку 1 является корнем характеристического многочлена (см. (11)); для 2 проверка аналогична.

Нетрудно найти выражение для угла поворота :

Задача. Докажите самостоятельно.

Итак, для уничтожения слагаемого 2a12 xy в уравнении квадрики (7) необходимо от исходного ОНБ перейти к новому ОНБ, векторы которого являются решениями ОСЛУ где 1, 2 — корни характеристического уравнения (Отметим, что найденные векторы R1, R2 необходимо нормировать!) Матрица поворота (перехода к новому базису) В новой системе координат Уравнение имеет прежний вид но группа старших членов уравнения теперь не содержит перекрестных членов:

2.5. Уничтожение линейных членов с помощью переноса. Попытаемся теперь подобрать перенос таким образом, чтобы уничтожить линейные слагаемые, т.е. в преобразованном уравнении B = O (O — нулевая матрица). Поскольку коэффициенты линейных слагаемых уравнения (7) при переносе преобразуются по формулам (9), получаем:

(использован тот факт, что A T = A ).

Используя соотношения (8), найдем Последнее уравнение позволяет определить координаты X0 вектора сдвига относительно исходной системы координат. Однако оно не всегда разрешимо, так что уничтожение линейных слагаемых в уравнении (7) возможно не во всех случаях.

2.6. Классификация.

Случай I. = det A = 0. В этом случае вектор переноса однозначно определен, так что возможно уничтожение как перекрестных, так и линейных членов. После поворота и сдвига системы координат уравнение принимает вид Ясно, что начало новой системы координат является центром симметрии кривой; по этой причине квадрики с = 0 называются центральными.

I.1. Эллиптический тип. Корни 1, 2 характеристического уравнения имеют один знак, т.е. = det A > 0.

I.1.a. 1 2 > 0, 1 < 0. Уравнение приводится к виду и определяет эллипс.





I.1.b. 1 2 > 0, 1 = 0. Уравнение приводится к виду Уравнение имеет единственное вещественное решение x = y = 0, однако в поле комплексных чисел оно может быть записано в виде Это уравнение называют уравнением пары мнимых пересекающихся прямых I.1.c. 1 2 > 0, 1 > 0. Уравнение приводится к виду и называется уравнением мнимого эллипса. Мнимый эллипс не содержит ни одной вещественной точки.

I.2. Гиперболический тип. Корни 1, 2 характеристического уравнения имеют разные знаки, т.е. = det A < 0.

I.2.a. 1 2 < 0, = 0. Уравнение приводится к виду и определяет гиперболу.

I.2.b. 1 2 < 0, = 0. Уравнение приводится к виду Записывая уравнение в виде обнаруживаем, что оно определяет пару пересекающихся прямых Случай II. = det A = 0, так что один из корней характеристического уравнения равен нулю; будем считать, что 1 = 0. В этом случае уравнение либо несовместно, либо имеет бесконечно много решений. Соответствующие квадрики называются нецентральными, или квадрики параболического типа. Такая квадрика либо не имеет центра симметрии, либо имеет их бесконечно много (все центры симметрии заполняют прямую).

Уравнение (7) после поворота системы координат принимает вид Слагаемое 2b2 y может быть уничтожено с помощью процедуры выделения полного квадрата:

так что получим где Случай II.1. Уравнение (12) несовместно. Это возможно, когда т.е. при b1 = 0. Уравнение (13) с помощью сдвига приводится к виду т.е. определяет параболу.

Случай II.2. Уравнение (12) имеет бесконечно много решений. Это возможно, когда т.е. при b1 = 0. Уравнение (13) приводится к виду т.е. определяет, в зависимости от знака, II.2.a. пару параллельных прямых II.2.b. пару мнимых параллельных прямых II.2.c. пару совпадающих прямых 2.7. Примеры.

Пример.

Привести к каноническому виду уравнение квадрики Для данной квадрики Характеристический многочлен имеет вид его корни 1 = 2, 2 = 8.

Найдем вектор сдвига:

так что Итак, начало новой системы координат находится в точке O (2, 1).

Найдем свободный член уравнения после преобразований поворота и сдвига:

Таким образом, уравнение может быть записано в одной из двух возможных форм:

Перенося свободный член второго из этих уравнений в правую часть равенства и деля на него, получим каноническое уравнение гиперболы Базисные векторы новой системы координат нужно выбирать так, чтобы первый из них соответствовал 2, а второй — 1.

Для 2 = 8 имеем так что для нахождения первого базисного вектора получаем однородную систему нормированное решение которой Аналогично, для 1 = 2 находим второй базисный вектор удовлетворяет системе так что Отметим, что выбирать векторы нового базиса следует так, чтобы ориентация плоскости сохранялась.

Матрица поворота имеет определитель det R = 1, так что ориентация плоскости сохранена. Поскольку cos = sin = 1/ 2, угол поворота системы координат = /4.

PSfrag replacements Пример.

Привести к каноническому виду уравнение квадрики Для данной квадрики Корни характеристического многочлена равны 1 = 0, 2 = 25, т.е. мы имеем квадрику параболического типа.

Найдем векторы повернутого базиса. При 1 = и нормированное решение однородной системы с этой матрицей и нормированное решение однородной системы с этой матрицей Таким образом, матрица поворота равна Найдем уравнение квадрики в системе координат Ox y, связанной с повернутым базисом; для этого нужно вычислить B :

Уравнение квадрики в системе координат Ox y принимает вид легко видеть, что это уравнение описывает параболу. Однако коэффициенты при y 2 и x имеют одинаковый знак, поэтому получить каноническое уравнение параболы не удастся.

Изменим выбор матрицы поворота:

это соответствует дополнительному повороту на 180. В этом случае Уравнение квадрики в повернутой системе координат принимает вид Выделяя полный квадрат, получим т.е. выполняя перенос начала координат в точку O с координатами (3, 2) (относительно повернутой системы координат), получим каноническое уравнение параболы Вычислим координаты точки O относительно исходной системы координат Oxy (см.

(6)):

PSfrag replacements 2.8. Инварианты квадрик. Выше было доказано, что инвариантны относительно поворотов и сдвигов системы координат, а свободный член уравнения квадрики (7) инвариантен относительно поворотов. Уравнение квадрики обладает и другими инвариантами.

Введем матрицы Запишем уравнение Если Z — решение этого уравнения, то Z, R также является решением, т.е. уравнение определяет в пространстве коническую поверхность с вершиной в начале координат.

При z = 1 уравнение (14) превращается в уравнение квадрики (7), т.е. кривая является сечением конуса плоскостью z = 1.

PSfrag replacements Преобразования поворота и сдвига можно записать в виде Матрица D в уравнении (14) после поворота и сдвига принимает вид с помощью теоремы об определителе произведения матриц получаем Инварианты квадрик позволяют получить каноническое уравнение квадрики без нахождения преобразования системы координат.

Пусть дано уравнение квадрики (7); вычислим величины Центральные квадрики: = 0. В центральном случае уравнение квадрики приводится к виду Этому уравнению отвечает матрица Таким образом, Поэтому 1, 2 являются корнями квадратного уравнения причем 1 = 0, 2 = 0.

Вырожденный центральный случай = 0. Получаем = 0, т.е. уравнение квадрики принимает вид Если 1 и 2 одного знака, т.е. > 0, получаем каноническое уравнение Если 1 и 2 имеют разные знаки, т.е. > 0, положив 1 < 0 < 2, получаем каноническое уравнение Невырожденный центральный случай = 0. Получаем т.е. уравнение квадрики преобразуется к виду Эллиптический случай ( > 0, т.е. 1 и 2 одного знака):

(1) если 1 < 0, получаем каноническое уравнение эллипса;

(2) если 1 > 0, получаем каноническое уравнение мнимого эллипса.

В гиперболическом случае ( < 0, т.е. 1 и 2 разных знаков) уравнение приводится к каноническому уравнению гиперболы, если выбрать 1 того же знака, что ; тогда Нецентральные квадрики: = 0, т.е. один из корней характеристического уравнения равен нулю; положим 1 = 0. Уравнение можно привести либо к виду (невырожденная параболическая квадрика — парабола), либо к виду (вырожденные параболические квадрики — пара вещественных или мнимых параллельных прямых или пара совпавших прямых).

В случае параболы уравнение имеет матрицу коэффициентов так что откуда Выбрав знак b1 противоположным знаку 2, получаем уравнение параболы в каноническом виде где В случае пары прямых матрица коэффициентов уравнения и, следовательно, имеющиеся инварианты не позволяют получить каноническое уравнение квадрики.

2.9. Семиинвариант K вырожденных параболических квадрик. Рассмотрим характеристический многочлен матрицы D:

(обратите внимание, что I в одном случае обозначает единичную матрицу порядка 3, а в другом — порядка 2).

При преобразовании координат матрица D превращается в матрицу В случае поворота без сдвига матрица преобразования ортогональна, т.е. P T = P 1, поэтому характеристический многочлен матрицы D совпадает с характеристическим многочленом матрицы D:

Итак, коэффициенты характеристического многочлена матрицы D инвариантны относительно поворотов.

Запишем развернутое выражение для fD ():

Поскольку S, и инвариантны относительно поворотов (а также и сдвигов!), заключаем, что — инвариант относительно поворотов. Имеется еще одна величина, инвариантная относительно поворотов — свободный член c уравнения; c и K называются семиинвариантами (полуинвариантами).

Докажем, что K является инвариантом также и относительно сдвигов в случае Поскольку K — инвариант относительно поворотов, можем считать, что в уравнении квадрики мы с помощью поворота уже добились того, что a12 = 0. В этом случае Будем считать, что a11 = 0, a22 = 0, т.е.

так что = b2 a22. Поскольку по условию = 0, получаем b1 = 0. Уравнение квадрики принимает вид Рассмотрим сдвиг В сдвинутой системе координат т.е.

и, следовательно, Имеем что и требовалось доказать.

Закончим рассмотрение параболического случая, когда = = 0. В этом случае уравнение квадрики имеет матрицу коэффициентов так что Каноническое уравнение получаем в виде т.е.

Пример.

Получить каноническое уравнение квадрики с помощью инвариантов.

так что Это невырожденная гиперболическая квадрика, т.е. гипербола. В канонической системе поэтому Отсюда получаем Уравнение квадрики имеет вид и окончательно в канонической форме Пример.

Получить каноническое уравнение квадрики с помощью инвариантов.

поэтому Это вырожденный гиперболический случай, квадрика представляет собой пару пересекающихся прямых. В канонической системе координат так что Отсюда получаем Уравнение квадрики имеет вид Получить каноническое уравнение квадрики с помощью инвариантов.

поэтому Это невырожденный эллиптический случай. В канонической системе координат так что Отсюда получаем Уравнение квадрики имеет вид Получить каноническое уравнение квадрики с помощью инвариантов.

поэтому Это невырожденный параболический случай. В канонической системе координат так что Отсюда получаем Для того чтобы получить каноническое уравнение параболы, нужно взять b 1 = 75; тогда Пример.

Получить каноническое уравнение квадрики с помощью инвариантов.

поэтому Имеем вырожденный параболический случай, для которого требуется вычислить семиинвариант K:

В канонической системе координат так что Уравнение квадрики имеет вид

Похожие работы:

«ЭВОЛЮЦИЯ НРАВСТВЕННОСТИ Открытая лекция академика НАМНУ Запорожана В.Н. Уважаемые коллеги! Сегодняшняя открытая лекция посвящена очень важной, с моей точки зрения, теме, которая касается каждого человека в мире. Но в особенности – медиков. Как будущие врачи, которым предстоит нести людям здоровье не только телесное, но и духовное, вы как никто другой должны осознавать наиболее острые, глобальные проблемы, стоящие сейчас перед человечеством. Мир оказался в ситуации, когда современные технологии,...»

«Динамическое программирование, вторая лекция Иван Казменко Кружок по алгоритмам и структурам данных в СПбГДТЮ Четверг, 21 сентября 2011 года Иван Казменко (Кружок в СПбГДТЮ) Динамическое программирование 2 22.09.2011 1 / 10 Оглавление Дискретная задача о рюкзаке 1 Постановка задачи Варианты постановки задачи Пример Решения: наивный алгоритм Решения: жадные алгоритмы Решения: динамическое программирование Восстановление решения Иван Казменко (Кружок в СПбГДТЮ) Динамическое программирование 2...»

«Текст, подготовленный для выступления Новый многосторонний подход для XXI века: лекция имени Ричарда Димблби Кристин Лагард Директор-распорядитель, Международный Валютный Фонд Лондон, 3 февраля 2014 года Добрый вечер! Для меня большая честь быть приглашенной выступить с лекцией имени Димблби в этом году, и я хотела бы поблагодарить Би-Би-Си и семью Димблби за столь любезное приглашение — и особенно Дэвида Димблби за его теплое вступительное слово. Сегодня вечером я хотела бы поговорить о...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет Кафедра лесных машин и технологии лесозаготовок А. П. Матвейко, А. С. Федоренчик ТЕХНОЛОГИЯ И МАШИНЫ ЛЕСОСЕЧНЫХ И ЛЕСОСКЛАДСКИХ РАБОТ Тексты лекций по одноименной дисциплине для студентов специальности Лесоинженерное дело специализации Транспорт леса Минск 2014 ЛЕКЦИЯ 1 1.1. Лесные ресурсы Республики Беларусь, их значение для национальной экономики и общества Леса занимают...»

«ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М. В. КЕЛДЫША РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СБОРНИК ЛЕКЦИЙ VII Москва 2013 Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской Академии Наук Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СБОРНИК ЛЕКЦИЙ МОЛОДЕЖНЫХ НАУЧНЫХ ШКОЛ

«ВВЕДЕНИЕ В ИНФОРАЦИОННУЮ БИОЛОГИЮ Н.А. Колчанов, С.А. Лашин Электронно-лекционный курс разработан в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ 2012 год Лекция 10 Математическое и компьютерное моделирование эволюционнопопуляционных процессов Что такое эволюция? • Эволюция (от лат. evolutio-развертывание) – процесс изменения (развития) системы • Эволюция состоит из постепенных изменений (в противовес революции) • Эволюция относительно детерминирована исходным состоянием системы (эволюция звёзд,...»

«ТЕЗИС ЛЕКЦИИ КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ АДМИНИСТРАТИВНОЕ ПРАВО РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ЛЕКЦИЯ № 1 Понятие, предмет и методы административного права. Данная тема является вводной для изучения дисциплины административного права. Цель лекции – разъяснить базовые понятия административного права как науки, дисциплины и отрасли права. А также ее места в системе права Республики Казахстан. Задачи лекции: разъяснить понятие и особенности административного права, как науки о государственном...»

«РОССИЙСКО-АРМЯНСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ УТ В Е Р Ж Д А Ю : Ректор А.Р. Дарбиня н “_”_ 201 г. Институт Права и политики Кафедра: Политических процессов и технологий Автор: д.и.н., проф. Манукян А.С У Ч Е Б Н А Я П РО Г Р А М М А Дисциплина: Политические институты и процессы ЕРЕВАН 1. Аннотация: с углублением процессов демократизации в странах постсоциалистического пространства и расширением процессов модернизации государственного управления в мире для эффективного функционирования...»

«1. Цели подготовки Цель – изучить особенности промышленного овощеводства открытого грунта и требования, предъявляемые к месту проведения исследований, точности проведения научных исследований, изучить особенности приемов и технологии выращивания, уборки высоких и устойчивых урожаев овощной продукции, сырья для перерабатывающей промышленности наилучшего качества при наименьших затратах труда и средств с одновременным повышением плодородия почвы и улучшением внешней среды. Целями подготовки...»

«Антитромбоцитарная терапия при КБС – существует ли предпочтительное средство Н.А.Грацианский Центр атеросклероза и лаборатория клинической кардиологии НИИ Физико-Химической Медицины ФМБА РФ athero.ru 24.04.2012 Потенциальный конфликт интересов Н.А.Грацианский 2011-2012 Платные лекции – Гедеон-Рихтер, Санофи, Астра-Зенека. Поездки на конгрессы - Санофи Некоторые состояния, при которых используется антитромбоцитарная терапия Острые коронарные синдромы С подъемами ST, Без подъемов ST Без связи с...»

«Глубинная Россия наших дней Публичная лекция Вячеслава Глазычева Мы публикуем расшифровку лекции признанного специалиста по городскому и региональному развитию, теоретика проектирования профессора Вячеслава Глазычева, прочитанную в клубе Bilingua в четверг, 16 сентября 2004 года в открытие осенне-зимнего семестра проекта Публичные лекции Полит.ру. В идее публичных лекций для нас особенно важно суметь организовать такую встречу публики и сильнейших интеллектуалов и практиков страны таким...»

«Евгений Богданов Налоги и налогообложение (Конспект лекций) Богданов / Налоги и налогообложение (Конспект лекций): АСТ; М.; 2010 ISBN 978-5-17-065804-6 Аннотация В книге кратко изложены ответы на основные вопросы темы Налоги и налогообложение. Издание поможет систематизировать знания, полученные на лекциях и семинарах, подготовиться к сдаче экзамена или зачета. Пособие адресовано студентам высших и средних образовательных учреждений, а также всем, интересующимся данной тематикой. Е. Богданов....»

«2012.07.10. Йога Триада. Введение. Лекция 48. Итак, друзья, у нас сегодня 10 июля 2012 года, меня зовут Вадим Запорожцев. Я преподаю йогу. Это у нас лекции по йоге Триаде, то есть по Тантра йоге, йоге Влюбленности, йоге Сексуального Союза. Вся архивная информация находится на сайтах ww.yogatriada.ru, www.yogatriada.narod.ru. Предполагается, что все вы изучаете теорию йоги. Сделать это можно самостоятельно на интернет йога курсах – самоучителях по адресу www.kurs.openyoga.ru, так как мы будем...»

«О.И. Царева СОПОСТАВЛЕНИЕ НА УРОКАХ ЛИТЕРАТУРЫ План лекции 1. Методологические основы использования приема сравнения на уроках литературы. 2. Сопоставление (сравнение) как общедидактический и методический прием и его роль в литературном образовании. 3. Прием сопоставления в методической традиции. 4. Виды сопоставления и методика их применения на уроках литературы. 1. В методической науке и практике предпочтение отдается приемам работы, обеспечивающим целостность восприятия художественного...»

«1. Цели и задачи дисциплины Основная цель изучения дисциплины – формирование представлений, знаний, умений в области стандартизации, метрологии, сертификации, потребительских свойств растениеводческой продукции, нормирования качества. Задачами дисциплины является изучение: - основ стандартизации, метрологии и сертификации; - стандартизации и сертификации продукции растениеводства; - управление качеством продукции в сельском хозяйстве. 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В...»

«51 Лекция 3 РУССКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ 1. Реформы Петра - истоки русского просвещения Реформами Петра Великого (1672 - 1725) открывается новая страница в истории Российского государства. Исчерпав свои исключительно национальные элементы, Россия, как пишет К.Д.Кавелин, вошла в жизнь 1 общечеловеческую, инициатива которой в Новое время прочно перешла к Западной Европе. Поэтому нет ничего удивительного, что именно к Европе обратился Петр в поисках общечеловеческого опыта и не побоялся поставить себя и...»

«Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ОАО Ульяновское конструкторское бюро приборостроения А. А. Кучерявый БОРТОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ КУРС ЛЕКЦИЙ 2-е издание, переработанное и дополненное Ульяновск 2004 УДК 629.054 (075) ББК 39.56я7 К 95 Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия. Рецензенты: кафедра воздушной навигации и пилотажно-навигационных комплексов Ульяновского высшего авиационного...»

«2011.05.03. Йога Триада. Лекция 4. Название лекции: Автор: Вадим Запорожцев. Дата: 2011.05.03. Фото: Где: Йога центр Просветление на Автозаводской. Аудио, видео и текст лекции принадлежат: Школа йоги традиции Анандасвами. Вы имеете полное право копировать, тиражировать и распространять материалы этого сайта, желательно делайте ссылку на наш сайт www.yogatriada.ru Текст напечатан: Светланой Ерохиной Текст отредактирован: Еленой Подрядовой Скачать Текст, Аудио, Видео здесь: www.yogatriada.ru...»

«Министерство образования и науки РФ ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт физики В.М. Безменов Картографо-геодезическое обеспечение кадастра Конспект лекций Казань 2014 Безменов В.М Картографо-геодезическое обеспечение кадастра.Конспект лекций / Безменов В.М.; Казанский (Приволжский) федеральный университет. – Казань. – 39 с Аннотация Предлагаемые лекции предназначены для студентов, обучающихся по направлению Геодезия и дистанционное зондирование, Землеустройство и...»

«Н. Ф. Семенюта МАТЕМАТИКА ГАРМОНИИ: ОБЩИЕ ВОПРОСЫ, РЕКУРРЕНТНЫЕ И МУЛЬТИРЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, РЕШЕНИЯ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ Комментарий Алексея Стахова. Настоящая статья, написанная Почетным Профессором Белорусского государственного университета транспорта (БелГУТа) Николаем Филипповичем Семенютой, в определенном смысле является исторической. Эта статья является изложением первой лекции, которую прочел Николай Филиппович для студентов университета после Международного Конгресса по...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.