WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Лекция 5. Вариационные методы. Теорема о

горном перевале.

Корпусов Максим Олегович

Курс лекций по нелинейному функциональному анализу

3 октября 2012 г.

Корпусов Максим Олегович Лекция 5

Введение

В этой лекции мы рассмотрим важный в приложениях

вариационный метод Амбросетти–Рабиновича, основанный на

так называемой теореме о горном перевале и имеющий важные

приложения в теории неограниченных функционалов. А также результат С. И. Похожаева о несуществовании нетривиального решения одной нелинейной эллиптической задачи.

Корпусов Максим Олегович Лекция 5 Некоторые обозначения Итак, пусть у нас задан функционал () C(1) (H; R1 ), удовлетворяющий, кроме того, условию, что его градиент F() = grad () : H H является сильно непрерывным по Липшицу и H вещественное гильбертово пространство.

Теперь введем некоторые обозначения { } H : (), { } H : () =, F() = grad () = 0.

Корпусов Максим Олегович Лекция Определения Определение 1. Пусть F — это совокупность функционалов () C(1) (H; R1 ), градиент которых сильно непрерывен по Липшицу.

Определение 2.

(i) Элемент H называется критической точкой, если grad () = 0.

(ii) Вещественное число называется критическим значением, если = Корпусов Максим Олегович Лекция Условия Пале–Смейла Теперь докажем, что если число не является критическим значением, то множество + легко деформируется в при некотором > 0. Доказательство основано на следующей идее: сначала надо решить соответствующее дифференциальное уравнение в H и затем провести спуск.

Поскольку пространство H, вообще говоря, бесконечномерно, нам понадобится условие компактности.

Определение 3. Функционал C(1) (H; R1 ) удовлетворяет условию компактности Palais–Smale (PS) если каждая последовательность { }+ H, удовлетворяющая условиям = (i) { ( )}+ ограничена;

= (ii) grad ( ) 0 в H содержит сильно сходящуюся подпоследовательность в H.

Корпусов Максим Олегович Лекция Теорема о деформации Теорема Пусть () F удовлетворяет условию Пале–Смейла (Palais–Smale). Предположим, что =. Тогда для любого достаточного малого > 0 существуют константа 0 < < и функция (, ) C([0, 1] H; H) такие, что отображения () = (, ) (0 1, H) удовлетворяет условиям (i) 0 () = ( H);

(ii) 1 () = ( 1 ([, + ]));

/ () ( H, (iii) ( ()) 1);

(iv) 1 (+ ).

Доказательство теоремы о деформации. Шаг 1.

Шаг 1. Сначала покажем, что существуют константы Доказательство ведется от противного. Если (1) не выполняется для всех констант, > 0, то существуют последовательности 0, 0 и элементы такие, что Доказательство теоремы о деформации. Шаг 1.

Согласно условию Пале–Смейла существуют подпоследовательность и элемент H такие, что сильно в H. Но, так как C(1) (H; R1 ), и из (2), (3) вытекает, что Следовательно, =, что противоречит нашему предположению о том, что =.

Доказательство теоремы о деформации. Шаг 2.

Шаг 2. Фиксируем > 0 такое, что Положим Поскольку F() = grad () ограничено на ограниченных множествах, можно проверить, что отображение ограничено снизу положительной константой на каждом ограниченном подмножестве H.

Доказательство теоремы о деформации. Шаг 2.

Следовательно, функция удовлетворяет условиям где липшицева на ограниченных множествах. Положим Наконец, определим отображение формулой Заметим, что V ограничено.

Доказательство теоремы о деформации. Шаг 3.

Шаг 3. Для произвольного H рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение Поскольку V ограничено и непрерывно по Липшицу на ограниченных множествах, существует единственное решение чтобы подчеркнуть зависимость решения, как от времени, так и от начального положения H. Ограничившись случаем 0 1, мы видим, что таким образом определенное отображение C([0, 1] H; H) удовлетворяет утверждениям (i) и (ii). Действительно, это следствие того, что = 0 при Доказательство теоремы о деформации. Шаг 4.

Шаг 4. Теперь вычислим В частности, Следовательно, утверждение (iii) доказано.

Доказательство теоремы о деформации. Шаг 5.

Шаг 5. Теперь фиксируем точку Наша цель — доказать соотношение и тем самым проверить утверждение (iv). Если () для некоторого [0, 1], мы сразу же получаем требуемое утверждение. Действительно, при этом если найдется такое * [0, 1], что то в силу (iii) И, значит, Доказательство теоремы о деформации. Шаг 5.

И, следовательно, Поэтому предположим, что () (0 1). Тогда ( ()) = 1 (0 1). Следовательно, из (9) вытекает Если то из (6) и (1) вытекает Доказательство теоремы о деформации. Шаг 5.

С другой стороны, если то из (6) и (1) получаем В силу этих неравенств, (12) и (4) выводим оценку из которой следует (11), и требуемое утверждение доказано.

Теорема о горном перевале.

Используя «минимаксную» технику и построенную деформацию, докажем существование критической точки. С этой целью докажем утверждение, которое носит название «теорема о горном перевале». Определение 4. C([0, 1]; H) (0) = 0, (1) =.

Теорема Пусть F удовлетворяет условию Пале–Смейла.

Предположим также, что (ii) существуют константы, > 0 такие, что (), если (iii) существует элемент H такой, что >, () Доказательство теоремы о горном перевале-1.

Пусть не является критическим значением (·), так что Выберем достаточно малое число Согласно теореме 1 о деформации существует константа 0 < < и гомеоморфизм такие, что Доказательство теоремы о горном перевале-2.



Выберем так, что Тогда также принадлежит, поскольку ((0)) = (0) = 0 и ((1)) = () = в силу (14). Но тогда из (15) следует max (()), откуда что приводит к противоречию. Напомним, что Пример.

Для иллюстрации применения теоремы о горном перевале рассмотрим следующую полулинейную краевую задачу:

где R — ограниченная область с достаточно гладкой границей, (·) гладкая и для некоторого где — константа.

Пример.

Пусть Тогда (19) влечет (0) = 0 и, очевидно, что 0 является тривиальным решением (16). Но нас интересует другое решение.

Пример.

Замечание. Уравнение с частными производными попадает под указанные условия. Позднее мы вернемся к этому виду нелинейности.

Теорема Краевая задача (16) имеет хотя бы одно слабое решение неравное тождественно нулю.

Доказательство теоремы. Шаг 1.

Шаг 1. Определим функционал Мы хотим применить теорему о горном перевале к функционалу I[]. Будем рассматривать пространство H H1 ( ) относительно одной из возможных норм Доказательство теоремы. Шаг 2.

Шаг 2. Сначала покажем, что I принадлежит классу F. Для этого заметим, что при любых, H, Поэтому I1 дифференцируем по Фреше в точке и grad I1 [] =. Следовательно, I1 F.

Доказательство теоремы. Шаг 2.

Шаг 2. Сначала покажем, что I принадлежит классу F. Для этого заметим, что при любых, H, Поэтому I1 дифференцируем по Фреше в точке и grad I1 [] =. Следовательно, I1 F.

Доказательство теоремы. Шаг 3-1.

Шаг 3. Теперь рассмотрим I2. Напомним, что по теореме Браудера–Минти, которую мы рассмотрим позже, в силу равномерной монотонности оператора Лапласа для любого * H1 ( ) задача имеет единственное решение H1 ( ). Положим = *, Доказательство теоремы. Шаг 3-2.

Заметим, что если L2/( +2) ( ), то линейный функционал *, определенный формулой принадлежит H1 ( ). Заметим, что и, таким образом, () L2/( +2) ( ) H1 ( ), если Доказательство теоремы. Шаг 3-3.

Теперь покажем, что для H1 ( ) Для этого заметим, что Таким образом, для любых H1 ( ) Доказательство теоремы. Шаг 3-4.

поскольку где остаточный член удовлетворяет в силу (17) оценке Доказательство теоремы. Шаг 3-5.

Поскольку + 1 < из неравенств Соболева следует = ( ). Таким образом, в силу (24) что и требовалось доказать. Наконец, заметим, что если Доказательство теоремы. Шаг 3-6.

Однако поскольку то, очевидно, что в силу (17) имеет место неравенство Доказательство теоремы. Шаг 3-7.

где мы воспользовались (17) и, кроме того, Таким образом, отображение непрерывно по Липшицу на ограниченных множествах.

Следовательно, I2 F и мы получаем требуемое утверждение.

Доказательство теоремы. Шаг 4-1.

Шаг 4. Теперь проверим условие Пале–Смейла. Для этого предположим, что Согласно вышесказанному Тогда для любого > при достаточно больших. Положим =.

Доказательство теоремы. Шаг 4-2.

для любого > 0 и достаточно больших. При = 1, в частности, имеем для всех достаточно больших. Но поскольку из (28) следует для всех и некоторой константы, Доказательство теоремы. Шаг 4-3.

заключаем, что Так как 2 < 1, последовательность { } ограничена в H1 ( ). Поэтому существуют подпоследовательность { }+ и сильно в L+1 ( ). Последнее утверждение справедливо поскольку + 1 < 2*. Но тогда ( ) () сильно в H1 ( ), откуда [ ( )] [ ()] сильно в H1 ( ).

Следовательно, из (30) получаем Значит, функционал I() удовлетворяет условию (PS).

Доказательство теоремы. Шаг 5-1.

Шаг 5. Наконец, проверим остальные условия теоремы о горном перевале. Очевидно, что I[0] = 0. Пусть H1 ( ), =, где > 0 будет выбрано ниже. Тогда В силу (19) В силу (33) если > 0 достаточно мало, так как + 1 > 2. Выберем теперь H, неравное тождественно нулю.

Доказательство теоремы. Шаг 5-2.

Положим, где > 0 надлежит выбрать соответствующим образом. Тогда при достаточно больших > 0, где мы опять воспользовались (19).

Доказательство теоремы. Шаг 6.

Шаг 6. Мы проверили все условия теоремы о горном перевале.

Поэтому существует функция H1 ( ), неравная тождественно нулю, такая, что В частности, для любой H1 ( ) откуда следует, что — слабое решение задачи (16).

Результат С. И. Похожаева об отсутствии нетривиальных решений.

Рассмотрим нелинейное эллиптическое уравнение с частными производными, для которого можно применить различные методы дифференциальных неравенств:

Применив развитую в предыдущем разделе технику можно доказать, что существует нетривиальное решение задачи (34) в случае Пусть Критический показатель.

Наша цель показать, что при некотором геометрическом условии на область R из (35) следует, что 0 будет единственным гладким решением задачи (34). Тогда становится ясно, что ограничение в условии (36) из предыдущего пункта в определенном смысле естественно и, следовательно, является критическим показателем.

Вспомогательная лемма.

Определение 5. Открытое множество называется звездным относительно 0, если для любой точки прямолинейный отрезок {|0 1} лежит в.

Очевидно, что если выпукло и 0, то звездно относительно 0. Однако в общем случае звездная область не обязана быть выпуклой.

Лемма Пусть класса C1 и — звездная область относительно 0.

Тогда где — единичная внешняя нормаль.

Доказательство леммы.

Поскольку класса C1, для и любого > существует > 0 такое, что при | | < и имеем Пусть =, где 0 < < 1. Тогда ввиду звездности.

Таким образом, Вспомогательная теорема.

Теорема Пусть C(2) ( ) — решение задачи (34) и показатель удовлетворяет неравенству (36). Предположим, что множество звездно относительно 0 и класса C1. Тогда Доказательство теоремы. Шаг 1.

Шаг 1. Умножив уравнение на (, ) и интегрируя по, находим Перепишем это равенство в виде =.

Доказательство теоремы. Шаг 2.

Шаг 2. Левая часть имеет вид Доказательство теоремы. Шаг 3-1.

Шаг 3. Имеем С другой стороны, поскольку = 0 на, градиент параллелен нормали в каждой точке. Таким образом, Доказательство теоремы. Шаг 3-2.

С помощью этого неравенства вычисляем Из (38)–(40) следует, что Доказательство теоремы. Шаг 4.

Шаг 4. Возвращаясь к (37) находим Доказательство теоремы. Шаг 5-1.

Шаг 5. Ввиду этого вычисления и (37) получаем В силу леммы 1 приходим к неравенству Доказательство теоремы. Шаг 5-2.

Умножая уравнение = ||1 на и интегрируя по частям, получим Подставив в (42), находим Поэтому, если неравно тождественно нулю, то

Похожие работы:

«367 Лекция 18. Политическая коммуникация § 1. Коммуникация: понятие и виды Определение. Среди политических процессов одно из ведущих мест занимает коммуникация (от лат. communicatio — способ сообщения, передачи) как необходимый элемент взаимодействия людей, групп, политических партий, государств, в ходе которого осуществляется передача и взаимопередача информации, чувств, оценок, значений, смыслов, ценностей и т. д. Без коммуникации невозможно конституирование политических партий и движений,...»

«Никин А.Д. Информационные технологии в обучении. Текст лекций. Лекция 1 Лекция 1 План лекции 1. Введение 2. Цель курса 3. Задачи курса 4. Связь с другими дисциплинами учебного плана 5. Основные термины и определения. человек не бывает от природы тем, чем он должен быть Гегель Введение Цель курса. Почему наша дисциплина появилась в Вашем расписании занятий? Не все знают где будут работать. Не все знают предстоящие виды работ. Действительно, сегодня неопределенность весьма велика. Но я могу...»

«ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ серия основана в 1 9 9 6 г. О.И. ВОЛКОВ В.К. С К Л Я Р Е Н К О ЭКОНОМИКА ПРЕДПРИЯТИЯ КУРС ЛЕКЦИЙ Москва ИНФРА-М 2006 УДК 658(075.8) ББК 65.9(2Р)29я73 В67 Волков О.И., Скляренко В.К. Экономика предприятия: Курс лекВ67 ций. - М.: ИНФРА-М, 2006. - 280 с. - (Высшее образование). ISBN 5-16-001952-9 В книге рассматриваются характеристика, функции и организаци­ онно-правовые формы предприятий и фирм, субъекты и виды предпри­ нимательства, методы организации производства,...»

«Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика СТО Лекция 22 ЛЕКЦИЯ 22 Связь энергии и импульса в релятивистской механике. Эффект Доплера. Момент импульса. Распад частиц. Звездные реакции с превращением энергии. Комптон эффект. Антипротонный порог. Связь энергии и импульса в релятивистской механике В предыдущей лекции мы вычислили квадрат 4-импульса, который является релятивистски инвариантной величиной (т. е. 4-скаляром) E2 i m2 c2, p2 = m2 c2. p pi = или (1) 0 0 2 c Отсюда можно получить связь энергии и...»

«Семинар по сложности булевых функций Лекция 6: Коммуникационная сложность и глубина схем А. Головнёв Computer Science клуб при ПОМИ http://compsciclub.ru 06.11.2011 А. Головнёв (Computer Science клуб)сложность 6. Коммуникационная 06.11.2011 1 / 43 План лекции Введение 1 Коммуникационная сложность 2 Покрытие прямоугольниками 3 Игры Карчмера-Вигдерсона 4 Задачи 5 А. Головнёв (Computer Science клуб)сложность 6. Коммуникационная 06.11.2011 2 / 43 План лекции Введение 1 Коммуникационная сложность...»

«Биологический факультет (Специальность биофизика) Факультет биоинженерии и биоинформатики 2005/2006 Общая и неорганическая химия ЛЕКЦИИ Лекция 13. Бор и подгруппа алюминия (Al, Ga, In, Tl). Свойства простых веществ [1,2] B Al Ga In Tl Температура плавления, 0С 2300 660 30 156 303 0 Температура кипения, С 2550 2467 2227 2047 1457 -12 Радиус атома, пм (10 м) 88 143 122 163 170 3+ Радиус иона Э, пм 23 57 62 92 105 Бор – типичный неметалл Элементарный бор существует в кристаллической и аморфной...»

«2012.04.03. Йога Триада. Введение. Лекция 39. Итак, друзья, у нас сегодня 3 апреля 2012 года, это у нас лекции по йоге Триаде – по Тантра йоге, йоге Влюбленности, йоге Сексуального Союза. Вся информация находится на сайтах www.yogatriada.ru, www.yogatriada.narod.ru, где вы можете скачать все наши архивы, узнать расписание, что и где у нас проходит и сколько это стоит. Предполагается, что все вы изучаете йогу через интернет йога курсы дистанционно на сайте www.kurs.openyoga.ru, так как мы...»

«НАЦИОНАЛЬНАЯ АССОЦИАЦИЯ ЦЕНТРОВ ОХРАНЫ ТРУДА Серия: Обучение требованиям охраны труда отдельных категорий застрахованных работников ОХРАНА ТРУДА КУРС ЛЕКЦИЙ для руководителей бюджетных учреждений Москва 2008 УДК 331.45+331.458 (075) О 926 Охрана труда: курс лекций для руководителей бюджетных организаций / д.э.н., профессор А.Л. Сафонов, В.К.Свиридов, д.э.н., профессор Н.П. Пашин, д.т.н., профессор. Г.З. Файнбург, д.т.н., профессор С.С. Тимофеева, к.т.н., профессор Ю.А. Федченко., к.т.н., доцент...»

«2012.07.17. Йога Триада. Введение. Лекция 49. Сегодня 17 июля 2012 года, меня зовут Вадим Запорожцев, я преподаю йогу, находимся мы в центре на метро Автозаводская. Вся архивная информация о предыдущих лекциях находится на сайте www.yogatriada.ru www.yogatriadanarod.ru. Предполагается, что все вы самостоятельно изучаете йогу через интернет курсы-самоучитель, расположенные по адресу www.kyrs.openyoga.ru. Там вся базовая фундаментальная теория, связанная с йогой, и как следствие, того раздела...»

«Лекция 1 1. Введение в курс До изучения курса Физика ядра и частиц знания студентов ограничивались двумя типами фундаментальных взаимодействий: электромагнитным и гравитационным. В этом курсе добавятся остальные два – сильное (его проявлением является межнуклонное или ядерное взаимодействие) и слабое. Мы ощущаем их лишь апосредовано. Без них мир бы совершенно другим. Солнце и звезды не могли бы существовать даже без слабого взаимодействия. Основное отличие данного раздела общего курса физики от...»

«1. Цели и задачи дисциплины Основная цель изучения дисциплины – формирование представлений, знаний, умений в области стандартизации, метрологии, сертификации, потребительских свойств растениеводческой продукции, нормирования качества. Задачами дисциплины является изучение: - основ стандартизации, метрологии и сертификации; - стандартизации и сертификации продукции растениеводства; - управление качеством продукции в сельском хозяйстве. 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины В...»

«creative club • golden drum 4 Рекламные Идеи № 5/2004 Одиннадцатый Golden Drum: медиа впереди всех Екатерина СУЧКОВА, Барабанные палочки закончились. Их больше не будет, Андрей НАДЕИН и русские люди уже никогда их не выиграют. Не пугайтесь, теперь на фестивале дают высоких богинь со златым бубном в руках. Бывают они трех мастей: бронзовые, серебряные и золотые. Как и положено. И говорят, это Ника, сама богиня Победы. Выигрывают только те счастливчики, которым удается добиться ее расположения....»

«ЛЕКЦИЯ 4А Метрические пространства — 1 1. Примеры и контрпримеры Мы начнём с рассмотрения примеров, демонстрирующих необходимость осторожного использования интуиции при решении вопросов, связанных с метрическими пространствами. Читателям рекомендуется там, где этого возможно, делать рисунки, но помнить, что рисунок — не часть доказательства, а лишь иллюстрация, помогающая понять ситуацию. 1. Может ли шар радиуса 4 быть подмножеством шара радиуса 3 в некотором метрическом пространстве? Да,...»

«Межправительственная океанографическая комиссия Доклады руководящих и основных вспомогательных органов Сорок первая сессия Исполнительного совета Париж, 24 июня – 1 июля 2008 г. ЮНЕСКО Межправительственная океанографическая комиссия Доклады руководящих и основных вспомогательных органов Сорок первая сессия Исполнительного совета Париж, 24 июня – 1 июля 2008 г. ЮНЕСКО 2008 г. IOC/EC-XLI/3 ПАРИЖ, 29 июля 2008 г. Оргинал: английский IOC/EC-XL1-3 page (i) СОДЕРЖАНИЕ Стр. ОТКРЫТИЕ СЕССИИ 1....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТОРФЯНОЙ КОМИТЕТ РФ ТОМСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ДОКУЧАЕВСКОГО ОБЩЕСТВА ПОЧВОВЕДОВ БОЛОТА И БИОСФЕРА МАТЕРИАЛЫ СЕДЬМОЙ ВСЕРОССИЙСКОЙ С МЕЖДУНАРОДНЫМ УЧАСТИЕМ НАУЧНОЙ ШКОЛЫ (13–15 сентября 2010 г.) Томск 2010 УДК 551.0 + 556.56 ББК 26.222.7 + 28.081. Б Б 79 Болота и биосфера...»

«А.П. Стахов Проблемы Гильберта и математика гармонии Введение В лекции Математические проблемы, представленной на 2-м Международном конгрессе математиков (Париж, 1900), выдающийся математик Давид Гильберт (1862-1943) сформулировал свои знаменитые 23 математические проблемы, которые в значительной степени определили развитие математики в 20-м веке [1 - 6]. Цель настоящей статьи – обсудить роль теории чисел Фибоначчи [7, 8] и математики гармонии [9] при решении 10-й и 4-й проблем Гильберта....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.АКМУЛЛЫ БИОЛОГИЯ РАЗМНОЖЕНИЯ И РАЗВИТИЯ КУРС ЛЕКЦИЙ УФА 2006 УДК 576.4 ББК 28.073 Б 63 Печатается по решению редакционно-издательского совета Башкирского государственного педагогического университета им. М.Акмуллы Биология размножения и развития: курс лекций [Текст] / сост. О.А. Абросимова; под ред....»

«Автоматизация управления предприятием при помощи системы MFG/PRO (продолжение) Содержание Лекция 10. Концепция управления снабжением в MFG/PRO Лекция 11. Концепция управления сбытом в MFG/PRO Лекция 12. Управление качеством в MFG/PRO Лекция 13. Концепция управление складскими запасами в MFG/PRO Лекция 14. Концепция управления себестоимостью в MFG/PRO Лекция 15. Финансовый блок в MFG/PRO Лекция 16. Финансовый блок в MFG/PRO (продолжение 1) Лекция 17. Финансовый блок в MFG/PRO (продолжение 2)...»

«2012.03.27. Йога Триада. Введение. Лекция 38. Сегодня 27 марта 2012 года, меня зовут Вадим Запорожцев, я преподаю йогу. Это лекция по йоге Триаде, т.е. по йоге Влюбленности, Тантра йоге и йоге сексуального Союза. В свою очередь это все опирается на Родовую йогу. Вся информация об этих лекция, об архивах на сайтах: www.yogatriada.ru, www.yogatriada.narod.ru. Также предполагается, что вы самостоятельно изучаете йогу через интернет йога курсы, которые находятся на сайте www.kyrs.openyoga.ru чтобы...»

«ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ОРГАНИЧЕСКОЙ ХИМИИ Полумикрометод ВВЕДЕНИЕ Лабораторный практикум по органической химии включает три раздела: -методы очистки, разделения и идентификации органических веществ; -синтез органических соединений; -химические реакции по основным классам органических веществ. В работу включены два первых раздела практикума. Успешное выполнение студентами практических работ помогает более глубокому освоению курса органической химии, а главное, способствует приобретению...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.