WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Лекция 1: Комплексные числа

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук,

кафедра алгебры и дискретной математики

Б.М.Верников Лекция 1: Комплексные числа

Вступительные замечания

В школьном курсе математики понятие числа постепенно расширяется.

Сначала речь идет только о натуральных числах, затем последовательно

появляются целые, рациональные и, наконец, действительные числа. В этой лекции понятие числа будет еще раз расширено: будут введены так называемые комплексные числа, включающие в себя действительные числа как весьма частный случай. В лекции рассматриваются операции над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме. Более глубокое изучение комплексных чисел выходит за рамки нашего курса.

Одной из причин расширения понятия числа является потребность в решении уравнений. В множестве натуральных чисел N неразрешимо даже такое простейшее уравнение, как x + 1 = 0, в множестве целых чисел Z уравнение 2x = 1, в множестве рациональных чисел Q уравнение x 2 = 2. В множестве действительных чисел R все эти уравнения имеют решение, но остается неразрешимым такое простое уравнение, как, например, x 2 + 1 = 0. Как мы увидим в этой лекции, в множестве комплексных чисел C это уравнение разрешимо. Более того, как мы узнаем в следующей лекции, в множестве C разрешимо любое алгебраическое уравнение с одним неизвестным.

Б.М.Верников Лекция 1: Комплексные числа Определение комплексных чисел Определение Комплексным числом называется упорядоченная пара (a, b) действительных чисел a и b. Числа (a, b) и (c, d ) называются равными, если a = c и b = d. Действительное число a называется действительной частью числа (a, b), а действительное число b мнимой частью числа (a, b). Суммой комплексных чисел (a, b) и (c, d ) называется число (a + c, b + d ), а их произведением число (ac bd, ad + bc). Множество всех комплексных чисел обозначается через C.

Тот факт, что некие новые числа вводятся как пары старых, не должен удивлять. Ведь и рациональное число m при желании можно n определить как упорядоченную пару целых чисел (m, n). На языке пар можно определить и операции над рациональными числами. Правда, действовать с рациональными числами в таком виде неудобно, поэтому лучше перейти к традиционной их записи в виде дроби. С комплексными числами ситуация аналогична: уже совсем скоро мы перейдем от записи комплексных чисел в виде пар к более удобному виду записи (так называемой алгебраической форме комплексных чисел).

Б.М.Верников Лекция 1: Комплексные числа Вложение действительных чисел в комплексные Из определения операций сложения и умножения комплексных чисел с очевидностью вытекает, что (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) и (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0). (1) Мы будем отождествлять комплексное число (a, 0) с действительным числом a.

Из равенств (1) видно, что сумма и произведение чисел a и c не зависят от того, рассматривать ли эти числа как действительные или как комплексные. Это позволяет считать множество всех действительных чисел R подмножеством множества всех комплексных чисел. А именно:

R = {(a, 0) | a R}.

Аналогичным образом целые числа вкладываются в рациональные:

целое число n отождествляется с рациональным числом (n, 1), которое обычно записывают в виде n (см. замечание на предыдущем слайде).

Б.М.Верников Лекция 1: Комплексные числа Умножение действительного числа на комплексное Из определения произведения комплексных чисел вытекает, что для любых a, b, c, d R выполнены равенства a · (c, d ) = (a, 0) · (c, d ) = (ac, ad ) и (a, b) · c = (a, b) · (c, 0) = (ac, bc).

Иными словами, при умножении действительного числа на комплексное (с любой стороны) действительная и мнимая части комплексного сомножителя умножаются на действительный сомножитель.

Алгебраическая форма комплексных чисел (1) Определение Комплексное число (0, 1) называется мнимой единицей и обозначается через i.

По определению умножения комплексных чисел Как мы уже договорились, мы не различаем комплексное число (1, 0) и действительное число 1. Таким образом, i 2 = 1. Заметим, что Определение Выражение a + bi называется алгебраической формой комплексного числа Алгебраическая форма комплексных чисел (2) Заметим, что Иными словами, сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме осуществляется как сложение и умножение обычных многочленов с неизвестным i; при умножении дополнительно учитывается, что Свойства сложения и умножения комплексных чисел Свойства сложения и умножения 1) x, y C: x + y = y + x (сложение комплексных чисел коммутативно);

2) x, y, z C: (x + y ) + z = x + (y + z) (сложение комплексных чисел ассоциативно);

3) существует, и притом только одно, комплексное число 0 такое, что для любого комплексного числа u выполнено равенство u + 0 = u;

4) для любого комплексного числа v существует, и притом только одно, комплексное число w такое, что v + w = 0;

5) x, y C: xy = yx (умножение комплексных чисел коммутативно);

6) x, y, z C: (xy )z = x(yz) (умножение комплексных чисел ассоциативно);

7) x, y, z C: x(y + z) = xy + xz (умножение комплексных чисел дистрибутивно относительно сложения);

8) существует, и притом только одно, комплексное число e такое, что для любого комплексного числа u выполнено равенство ue = u;



9) для любого комплексного числа v, отличного от 0, существует, и притом только одно, комплексное число w такое, что vw = e.

Доказательство свойства 3) Свойства 1), 2) и 5)–7) проверяются с помощью прямых вычислений, основанных на определениях суммы и произведения комплексных чисел.

Докажем свойство 3). Ясно, что в качестве комплексного нуля можно взять число 0 + 0 · i. Проверим единственность нуля. В самом деле, предположим, что наряду с элементом 0 = 0 + 0 · i существует элемент такой, что для произвольного комплексного числа u выполнено равенство u + 01 = u. Взяв в последнем равенстве в качестве u число 0, получаем, что 0 + 01 = 0. С другой стороны, из коммутативности сложения и равенства u + 0 = u следует, что 0 + 01 = 01 + 0 = 01. Следовательно, Доказательство свойства 4) Докажем свойство 4). Пусть v = a + bi. Положим w = a + (b)i. Легко проверяется, что v + w = 0. Итак, число w с требуемым свойством существует. Докажем его единственность. Предположим, что существует еще одно число w1 такое, что v + w1 = 0. Тогда Следовательно, w = w1.

Определение Число w, существование и единственность которого устанавливается в свойстве 4), называется противоположным к v и обозначается через v.

Используя противоположное число, можно определить разность комплексных чисел x и y, полагая x y = x + (y ).

Доказательство свойств 8) и 9) Докажем свойство 8). Легко проверяется, что в качестве комплексной единицы e можно взять число 1 + 0 · i. Проверим единственность числа e. Предположим, что наряду с числом e = 1 + 0 · i существует число e такое, что для произвольного комплексного числа u выполнено равенство ue1 = u. Взяв в последнем равенстве в качестве u число e, получаем, что ee1 = e. С другой стороны, из коммутативности умножения и равенства ue = u следует, что ee1 = e1 e = e1. Следовательно, e1 = e.

Докажем, наконец, свойство 9). Пусть v = a + bi и v = 0. Отметим, что a2 + b 2 = 0, поскольку в противном случае a = b = 0 и v = 0. Положим Непосредственная проверка показываает, что vw = e. Осталось проверить единственность числа w. Предположим, что существует еще одно число w1 такое, что для любого числа x выполнено равенство vw1 = e. Тогда Определение Число w, существование и единственность которого устанавливается в свойстве 9), называется обратным к v и обозначается через v 1.

Комплексное сопряжение (1) Определение Если x = a + bi комплексное число, то число a bi называется комплексно сопряженным к x и обозначается через x.

Свойства операции комплексного сопряжения Если x и y произвольные комплексные числа, то:

1) x = x тогда и только тогда, когда x действительное число;

2) x + x действительное число;

тогда и только тогда, когда x = 0;

Доказательство этих свойств см. на следующем слайде.

Комплексное сопряжение (2) Доказательство. Пусть x = a + bi и y = c + di.

1) Если x = x, т. е. a + bi = a bi, то 2bi = 0, откуда b = 0, и значит x R. Обратно, если x R, то b = 0, и потому x = x.

2) Достаточно учесть, что x + x = 2a.

3) А здесь достаточно учесть, что x · x = (a + bi)(a bi) = a2 + b 2.

4) Ясно, что 5) Ясно, что Все свойства доказаны.

Свойство 3) можно использовать для того, чтобы найти алгебраическую форму числа c+di. В самом деле, умножив числитель и знаменатель этой дроби на c di, имеем Геометрическая интерпретация комплексных чисел (1) Зафиксируем на плоскости прямоугольную декартову систему координат.

Комплексное число a + bi будем изображать точкой плоскости с координатами (a, b). Тогда каждому комплексному числу будет соответствовать точка на плоскости (причем только одна) и, наоборот, каждой точке на плоскости будет соответствовать комплексное число (причем только одно). Точки оси абсцисс и только они будут изображать действительные числа. Начало координат соответствует числу 0.

Указанная геометрическая интерпретация множества всех комплексных чисел обобщает известную из школьного курса математики геометрическую интерпретацию множества всех действительных чисел как числовой прямой.

Определение Пусть комплексное число z = a + bi изображается на плоскости точкой M (см. рис. 1 на следующем слайде). Тогда длина отрезка OM называется модулем числа z. Если z = 0, то угол между положительным направлением оси Ox и отрезком OM называется аргументом числа z. У числа 0 аргумент не определен. Модуль комплексного числа z обозначается через |z|, а его аргумент через arg(z).

Геометрическая интерпретация комплексных чисел (2) На следующем рисунке r = |z| и = arg(z).

Рис. 1. Геометрическая интерпретация комплексного числа Отметим, что для действительных чисел, рассматриваемых как комплексные, введенное только что понятие модуля совпадает с понятием модуля (абсолютной величины), известным из школьного курса;

аргумент ненулевого комплексного числа определен неоднозначно, так как если аргумент числа a + bi, то + 2k также его аргумент Тригонометрическая форма комплексных чисел Пусть r модуль, а аргумент комплексного числа a + bi. Ясно, что Определение Если r модуль, а аргумент комплексного числа a + bi, то выражение r (cos + i sin ) называется тригонометрической формой этого числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа определена неоднозначно это вытекает из неоднозначности аргумента комплексного числа.





Пусть, например, z1 = 1 + i. Тогда r = 2 и cos = sin = 2. Из двух последних равенств вытекает, что = 4. Следовательно, тригонометрической формой записи числа z1 является 2(cos + i sin ).

Рассмотрим еще один пример. Пусть z2 = 1 + 3i. Тогда r = 2, cos = 2 и sin = 23. Из двух последних равенств вытекает, что = 2. Следовательно, z2 = 2(cos 2 + i sin 2 ).

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме С помощью тригонометрической формы легко находятся произведение и частное от деления двух комплексных чисел. В самом деле, пусть Мы видим, что:

модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов;

модуль частного от деления z1 на z2 равен частному от деления модуля z1 на модуль z2, а аргумент частного разности аргументов Возведение в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме Из результата о произведении комплексных чисел в тригонометрической форме вытекает, что для любого натурального n. Таким образом, при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

В качестве примера, вычислим z 2012, где z = 1 + 3i. Как мы видели выше, z = 2(cos 2 + i sin 2 ). Следовательно, Формула Муавра Из формулы (2) при r = 1 получается равенство, известное как формула Муавра:

Эта формула оказывается удобным средством для преобразования тригонометрических выражений. Продемонстрируем это на следующем примере: выразить cos 5 и sin 5 через cos и sin. Будем исходить из равенства которое получено из формулы Муавра при n = 5. Правую его часть преобразуем по формуле бинома Ньютона (используя равенства i 2 = 1, Следовательно, Извлечение корней из комплексных чисел (1) Определение Пусть n натуральное число. Корнем степени n из комплексного числа z называется комплексное число w такое, что w n = z.

Если z = 0, то, очевидно, для любого натурального n существует ровно один корень n-й степени из z, равный нулю. Пусть теперь z = 0 и z = r (cos + i sin ). Корень степени n из z будем искать тоже в тригонометрической форме. Пусть w = q(cos + i sin ) и w n = z. Тогда, в силу формулы (2), Получаем равенства q n = r и n = + 2k, где k некоторое целое число. Поскольку q и r положительные действительные числа, это означает, что q арифметический корень степени n из числа r. Для аргумента числа w справедливо равенство = +2k. В частности, мы видим, что корень n-й степени из числа z всегда существует.

Извлечение корней из комплексных чисел (2) Выясним, сколько значений может иметь корень из комплексного числа.

Как мы видели, все корни n-й степени из числа z задаются формулой где k целое число. Ясно, что wk = w тогда и только тогда, когда = +2 + 2m при некотором целом m. Последнее равенство равносильно равенству k = m. Иными словами, числа wk и w совпадают тогда и только тогда, когда разность k нацело делится на n.

Таким образом, чтобы получить все различные значения корня, достаточно в формуле (3) взять n последовательных значений k, например, последовательно приравнивать k к 0, 1,..., n 1. Таким образом, произвольное комплексное число, отличное от 0, а n произвольное натуральное число, то корень n-ной степени из z имеет ровно n различных значений, которые могут быть вычислены по Извлечение корней из комплексных чисел: примеры (1) Приведем два примера применения формулы (4).

Задача 1. Найти все значения 4 z, где z = 1 + 3i.

Найдем каждое из значений корня:

Извлечение корней из комплексных чисел: примеры (2) Задача 2. Найти все корни уравнения x 2 + 1 = 0.

Решение. Другими словами, надо найти все значения 1. Одним из значений этого корня, как мы знаем, является число i. В силу формулы (4) должно существовать еще одно значение. Легко понять, что 1 = 1 · (cos + i sin ). Следовательно, 1 = cos +2k + i sin +2k, где Ответ. i, i.

Извлечение квадратного корня из комплексного числа, записанного в алгебраической форме (на примере) Часто возникает необходимость найти квадратный корень из комплексного числа, не обращаясь к тригонометрической форме. Покажем на примере числа z = 3 4i, как это можно сделать. Пусть 3 4i = a + bi. Тогда 3 4i = (a + bi) = a b + 2abi. Имеем систему уравнений Подчеркнем, что нам необходимо найти действительные решения этой системы. Возведем обе части каждого из этих уравнений в квадрат и рассмотрим сумму полученных равенств:

Получаем, что a2 + b 2 = 5 (ясно, что случай a2 + b 2 = 5 невозможен, поскольку a и b действительные числа). Отсюда и из первого уравнения системы (5) имеем a2 = 4, b 2 = 1, откуда a = ±2 и b = ±1. Из второго уравнения системы (5) видно, что ab < 0. Поэтому мы получаем два решения: a1 = 2, b1 = 1 и a2 = 2, b2 = 1. Итак, мы нашли два значения Рассуждая аналогичным образом, можно извлечь квадратный корень из произвольного комплексного числа.



Похожие работы:

«2013г. Российской муниципальной академии www.ros-ma.ru Префектуры Юго-Восточного административного округа города Москвы www.uvao.ru Евразийского открытого института www.eoi.ru Тема Вам управлять Москвой лекции Сформировать представление Цель о системе и структуре управления лекции в Москве 1. Россия сегодня 2. Москва – столица Российской Федерации 3. Система и структура управления Москвой План 4. Шаги в профессию – государственный гражданский лекции служащий 5. Ищем таланты 6. Информируем...»

«2012.07.10. Йога Триада. Введение. Лекция 48. Итак, друзья, у нас сегодня 10 июля 2012 года, меня зовут Вадим Запорожцев. Я преподаю йогу. Это у нас лекции по йоге Триаде, то есть по Тантра йоге, йоге Влюбленности, йоге Сексуального Союза. Вся архивная информация находится на сайтах ww.yogatriada.ru, www.yogatriada.narod.ru. Предполагается, что все вы изучаете теорию йоги. Сделать это можно самостоятельно на интернет йога курсах – самоучителях по адресу www.kurs.openyoga.ru, так как мы будем...»

«Концепция инкапсуляции и ее реализация в языке C# © Учебный Центр безопасности информационных технологий Microsoft Московского инженерно-физического института (государственного университета), 2003 Комментарий к слайду В данной лекции будут рассмотрены вопросы, относящиеся к истории развития, идеологии, математическому основанию и обзору возможностей инкапсуляции – одной из фундаментальных концепций, на которых базируется объектно-ориентированное программирование. Современные языки...»

«Кооперативная теория игр. Азбука. Борис Демешев 14 июня 2010 г. Содержание I Кооперативные игры. 2 1 Ядро и вектор Шепли. Первое знакомство 2 1.1 Игра в характеристической форме........................ 2 1.2 Ядро.......................................... 3 1.3 Вектор Шепли.................................... 1.4 Дз 1...........................................»

«Семинар по сложности булевых функций Лекция 6: Коммуникационная сложность и глубина схем А. Головнёв Computer Science клуб при ПОМИ http://compsciclub.ru 06.11.2011 А. Головнёв (Computer Science клуб)сложность 6. Коммуникационная 06.11.2011 1 / 43 План лекции Введение 1 Коммуникационная сложность 2 Покрытие прямоугольниками 3 Игры Карчмера-Вигдерсона 4 Задачи 5 А. Головнёв (Computer Science клуб)сложность 6. Коммуникационная 06.11.2011 2 / 43 План лекции Введение 1 Коммуникационная сложность...»

«Южно-Уральский профессиональный институт Кафедра информатики и вычислительной техники Курс лекций по дисциплине Конструкторско-технологическое обеспечение производства ЭВМ для специальности 230101.65 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети Челябинск 2007 Лекция 1 ВВЕДЕНИЕ План. 1. Важность предмета. 2. Связь конструирования и проектирования. Определение конструирования: Конструирование как инженерная деятельность есть процесс поиска, нахождения и отражения в конструкторской...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ В.Д. ПОПОВ ПАРАДИГМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ Лекции УДК 070 (075.8) ББК 76.0 П 57 Попов В.Д. П 57 Парадигмы исследования информационных процессов: Лекции. – М.: Изд-во РАГС, 2010. – 60 с. Лекции Владимира Дмитриевича Попова – доктора философских наук, профессора, заслуженного деятеля науки Российской Федерации – посвящены проблемам исследования информационного общества в современном мире. Автор подробно...»

«ЛЕКЦИИ ПО ИСТОРИИ РУССКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ХІХ века (ІІ пол.) УДК 811.161.0(091) ББК 83.3(2Рос=Рус)1я7 Р 89 Рекомендовано к изданию Ученым советом филологического факультета БГУ (протокол № 1 от 20. 10. 2004) А в т о р ы: Н. Л. Блищ (И. А. Гончаров, Проза А. П. Чехова); С.А. Позняк (Новаторство драматургии А. П. Чехова, А. Н. Островский) Р е ц е н з е н т ы: кандидат филологических наук, доцент — А. В. Иванов; кандидат филологических наук, доцент — Н. А. Булацкая Русская литература ХIХ века (II...»

«Лекция № 2 Правовое регламентирование выписывания и отпуска лекарственных средств. План: Фармацевтическая помощь в РФ. 1. Инструкция о порядке назначения лекарственных средств и выписывания рецептов на них. 2. Предельно допустимое количество лекарственных средств для выписывания на один рецепт Формы рецептурных бланков. 4. Правила отпуска лекарственных средств из аптечных организаций. 5. Требования к отпуску наркотических и психотропных средств, лекарственных средств, 6. подлежащих...»

«561 Лекция 29. Механизм адаптации политической системы: соотношение правовых, политических и социальных факторов § 1. Начало века: в поисках оптимальной модели адаптации политических систем За сравнительно короткий отрезок времени, прошедший с момента выхода в свет первого издания данной работы, выражение адаптация политической системы уже достаточно прочно вошло в лексикон отечественных политологов. Это не означает, однако, что мы полностью постигли все тонкости этого чрезвычайно сложного,...»

«Биологический факультет (Специальность биофизика) Факультет биоинженерии и биоинформатики 2005/2006 Общая и неорганическая химия ЛЕКЦИИ Лекция 10. Азот, фосфор, мышьяк Свойства простых веществ N2 P(бел) As Температура плавления, 0С 817 (36 атм) -210 44,2 0 Температура кипения, С -195,8 280 613 (возг) Радиус атома, пм 52 92 100 Реакции N2 (Энергия связи NN 945 кДж) 3 Mg + N2 = Mg3N2 + 461 кДж CaC2 + N2 = CaCN2 + C + 301 кДж В 1990 г. в мире произведено 97 млн. т. аммиака по реакции: N2 + 3 H2 =...»

«И. И. ТАШЛЫКОВА-БУШКЕВИЧ ФИЗИКА В 2-х частях Часть 2 ОПТИКА. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА. СТРОЕНИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений, обеспечивающих получение высшего образования по техническим специальностям Минск БГУИР 2008 УДК 53 (075.8) ББК 22.3 я 73 Т 25 Р е ц е н з е н т ы: кафедра технической физики Белорусского национального технического университета (доцент кафедры, канд. физ.-мат. наук В. А....»

«ВОПРОСЫ ТЕСТА ЛЕКЦИЯ 1 1. Теория вероятностей изучает явления: А) сложные Б) детерминированные В) случайные Г) простые 2. Количественная мера объективной возможности это : А) опыт Б) вероятность В) событие Г) явление 3. Опыт – подбрасывание 2-х игральных кубиков. Сколько всего элементарных исходов в опыте: А) 6 Б) 12 В) 18 Г) 36 4. Достоверным называется событие А, если: А) A = Б) A = В) A = 1 Г) A = 0 5. В ящике находятся белые, красные и черные шары. Какое событие является невозможным: А) из...»

«1 ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ЛЕКЦИИ для студентов 4 курса медико-биологического факультета ВолгГМУ по курсу общей иммунологии в 2012-13 уч.г. 1. Тема 1: Предмет и задачи иммунологии. Основные аспекты фундаментальной иммунологии. Структура и функции иммунной системы. Антигены. Понятие об антигенности. Химическая природа антигенов. Полные и неполные антигены. Основные свойства антигенов. Виды специфичности. Проникновение в организм и пути элиминации. Антигены как биологические маркеры. Номенклатура...»

«ДОЛЖНЫ ЛИ БЫТЬ ПОЛЕЗНЫМИ ГУМАНИТАРНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ? Вынесенный в заглавие вопрос, отчасти философский, а для кого то, может быть, всего лишь риторический, на самом деле является названием сборника небольших, но проникновенных эссе, выпу щенного в этом году издательством Корнеллского университета, того самого, возвышенное (sublime) месторасположение которого прославил в своей известной лекции Жак Деррида (см. Отечест венные записки № 6, 2003). Авторы сборника – преподаватели различных гуманитарных...»

«1 Лекции №5-6 НАКОПИТЕЛИ ИНФОРМАЦИИ Устройства для долговременного хранения информации (иногда в русскоязычной литературе называются внешней памятью). Бывают: внешние – выполненные в отдельном корпусе (подключаются к портам системного блока) и внутренние – располагающиеся в системном блоке. Подразделяются на устройства с последовательным (sequence) и произвольным (random) доступом (access). 1. СТРИМЕРЫ Устройства с последовательным доступом обычно представляют собой ленточные накопители –...»

«УЧЕБНЫЙ ПЛАН: Мастер делового администрирования – Master of Business Administration (MBA) Формирование и систематизация необходимых практикоориентированных навыков Цель обучения: для организации системы управления в организации, а также обеспечения процессов выработки и принятия эффективных управленческих решений с учетом текущей ситуации, планов развития и специфики предприятия. Руководители и линейные менеджеры предприятий Категория слушателей: 1810 академических часов Количество часов...»

«МАКЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБУВИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ВИТЕБСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.И. Линник МАКЕТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБУВИ КУРС ЛЕКЦИЙ для студентов специальности 1-50 02 01 Конструирование и технология изделий из кожи специализации 1-50 02 01 03 Конструирование обуви ВИТЕБСК 2010 УДК 685.34.016.5 ББК 37.255 М1 Рецензенты: к.т.н., доцент кафедры Конструирование и технология одежды УО ВГТУ Пантелеева А.В.; к.т.н., доцент...»

«2 Цель и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе Ветеринарное акушерство, гинекология и биотехника размножения сельскохозяйственных животных – это профилирующая клиническая дисциплина, которая освещает вопросы физиологии и патологии размножения животных с учетом целостности организма и его неразрывной связи с условиями окружающей среды. Цель курса - студент-заочник должен получить теоретические знания и практические навыки по акушерству, гинекологии и биотехнике размножения...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ГРАДОСТРОИТЕЛЬСТВА УПРАВЛЕНИЯ И РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКИ Кафедра Водоснабжение и водоотведение Водоотводящие системы промышленных предприятий КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для студентов направления 270100 специальности 270112.62 Водоснабжение и водоотведение Красноярск – 2008 1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.