WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Лекция 15: Собственные значения и

собственные векторы линейного

оператора

Б.М.Верников

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук,

кафедра алгебры и дискретной математики

Б.М.Верников Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы

Определение собственных чисел и собственных векторов

Определение

Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A, если существует действительное число t такое, что A(x) = tx. (1) Действительное число t называется собственным значением или собственным числом оператора A, если существует ненулевой вектор x такой, что выполнено равенство (1). При наличии равенства (1) мы будем называть x собственным вектором, относящимся к собственному значению t, а t собственным значением, относящимся к собственному вектору x.

Б.М.Верников Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы Свойство собственных векторов, относящихся к одному и тому же собственному значению Теорема Совокупность всех собственных векторов, относящихся к одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образует подпространство.

Доказательство. Обозначим через M0 множество всех собственных векторов, относящихся к собственному значению t0 и положим M = M0 {0}. Пусть x1, x2 M. Если x1 + x2 = 0, то x1 + x2 M. Пусть теперь x1 + x2 = 0. Поскольку A(x1 + x2 ) = A(x1 ) + A(x2 ) = t0 x1 + t0 x2 = t0 (x1 + x2 ), получаем, что x1 + x2 M0 M. Аналогично, для любого числа t имеем:

если tx1 = 0, то tx1 M, а если tx1 = 0, то A(tx1 ) = tA(x1 ) = t(t0 x1 ) = t0 (tx1 ), откуда tx1 M0 M.

Б.М.Верников Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы Свойство собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям (1) Теорема Если векторы x1, x2,..., xk являются собственными и относятся к попарно различным собственным значениям t1, t2,..., tk соответственно, то векторы x1, x2,..., xk линейно независимы.

Доказательство будем вести индукцией по числу векторов.

База индукции. Пусть k = 1 и x1 собственный вектор. По определению собственного вектора, x1 = 0. Поэтому если t1 x1 = 0, то t1 = 0.

Следовательно, система, состоящая из вектора x1, линейно независима.

Шаг индукции. Предположим, что k > 1 и доказываемое утверждение справедливо для любой системы из менее чем k векторов. Докажем его для произвольной системы из k векторов. Пусть x1, x2,..., xk собственные векторы оператора A, относящиеся к попарно различным собственным значениям t1, t2,..., tk. Пусть s1 x1 + s2 x2 + · · · + sk1 xk1 + sk xk = 0 (2) для некоторых чисел s1, s2,..., sk1, sk.

Б.М.Верников Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы Свойство собственных векторов, относящихся к различным собственным значениям (2) Используя замечание 1 из лекции 14, имеем 0 = A(0) = A(s1 x1 + s2 x2 + · · · + sk1 xk1 + sk xk ) = = s1 A(x1 ) + s2 A(x2 ) + · · · + sk1 A(xk1 ) + sk A(xk ) = = s1 t1 x1 + s2 t2 x2 + · · · + sk1 tk1 xk1 + sk tk xk.

Итак, s1 t1 x1 + s2 t2 x2 + · · · + sk1 tk1 xk1 + sk tk xk = 0. (3) С другой стороны, умножая обе части равенства (2) на tk, получаем, что s1 tk c1 + s2 tk x2 + · · · + sk1 tk xk1 + sk tk xk = 0. (4) Вычитая равенство (4) из (3), получаем, что s1 (t1 tk )x1 + s2 (t2 tk )x2 + · · · + sk1 (tk1 tk )xk1 = 0.

По предположению индукции векторы x1, x2,..., xk1 линейно независимы.

Следовательно, s1 (t1 tk ) = s2 (t2 tk ) = · · · = sk1 (tk1 tk ) = 0.

Поскольку числа t1, t2,..., tk1, tk попарно различны, получаем, что s1 = s2 = · · · = sk1 = 0. Из равенства (2) вытекает теперь, что sk xk = 0.

Учитывая, что xk = 0 (поскольку вектор xk собственный), получаем, что sk = 0. Итак, если выполнено равенство (2), то s1 = s2 = · · · = sk1 = sk = 0. Следовательно, векторы x1, x2,..., xk1, xk линейно независимы. Теорема доказана.

Нахождение собственных значений и собственных векторов (1) Пусть A линейный оператор, действующий в векторном пространстве V. Зафиксируем некоторый базис пространства V и обозначим через A матрицу оператора A в этом базисе. Для произвольного вектора x V обозначим через X столбец его координат в выбранном базисе. В силу замечания 3 из лекции 14 равенство (1) равносильно матричному равенству AX = tX. Последнее равенство можно переписать в виде AX = tEX, где E единичная матрица того же порядка, что и A.

Следовательно, AX tEX = O, где O нулевой столбец. Последнее равенство можно переписать в виде Мы получили матричную запись системы линейных уравнений, основная матрица которой содержит параметр t. Эта система крамеровская (так как ее основная матрица квадратная) и однородная. Очевидно, что собственными значениями оператора A являются те значения параметра t, при которых система (5) имеет ненулевые решения, и только они; собственными векторами этого оператора являются ненулевые решения системы (5) и только они.

Нахождение собственных значений и собственных векторов (2) В силу следствия 4 из лекции 6 справедливо следующее Предложение пространстве V.

а) Число t является собственным значением линейного оператора A тогда и только тогда, когда t R и б) Собственными векторами линейного оператора A, относящимися к его собственному значению t0, являются ненулевые решения системы линейных уравнений (A t0 E )X = 0 и только они.



Легко понять, что |A tE | многочлен n-й степени, где n = dim V.

Определение Многочлен |A tE | называется характеристическим многочленом линейного оператора A, а уравнение (6) характеристическим уравнением этого оператора.

Инвариантность характеристического многочлена относительно выбора базиса В определении характеристического многочлена и характеристического уравнения линейного оператора фигурирует матрица этого оператора в некотором базисе. Следующее предложение показывает, что в действительности характеристический многочлен (а значит и характеристическое уравнение) не зависит от выбора базиса.

Предложение соответственно. Тогда |AF tE | = |AG tE |.

Доказательство. Обозначим через T матрицу перехода от базиса F к базису G. Используя формулу (2) из лекции 14 и лемму 1 из той же лекции, получаем, что AG = T 1 AF T. Ясно, что T 1 ET = T 1 T = E.

Используя свойства умножения матриц и свойства определителей, имеем Предложение доказано.

Нахождение собственных значений и собственных векторов: пример (1) В качестве примера найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей Вычислим характеристический многочлен этого оператора. Разлагая соответствующий определитель сначала по четвертому столбцу, а затем по второй строке, имеем:

Характеристическое уравнение данного оператора, т. е. уравнение t 3 (t 1) = 0, имеет два корня: t1 = 0 и t2 = 1. Мы нашли собственные значения оператора.

Нахождение собственных значений и собственных векторов: пример (2) Найдем собственные векторы, отвечающие собственному значению t1. Для этого надо найти все ненулевые решения однородной системы с основной матрицей A t1 E = A 0 · E = A. Приведем эту матрицу к ступенчатому Система линейных уравнений, соответствующая последней матрице, имеет две свободных переменных: x3 и x4. Полагая сначала x3 = 1, x4 = 0, а затем x3 = 0, x4 = 1, находим два вектора, образующих фундаментальную систему решений нашей однородной системы: f1 = ( 1, 0, 1, 0) и f2 = (0, 0, 0, 1). Они образуют базис пространства решений нашей системы. Совокупность всех ее решений это множество всех векторов вида c1 f1 + c2 f2, где c1, c2 R. Все эти векторы, кроме нулевого, и только они суть собственные векторы нашего оператора, отвечающие собственному значению t1. Будучи базисом, векторы f1 и f2 линейно независимы. Следовательно, c1 f1 + c2 f2 = 0 тогда и только тогда, когда c1 = c2 = 0. Таким образом, собственными векторами нашего оператора, отвечающими собственному значению t1, являются векторы вида ( 2, 0, 1, 0)c1 + (0, 0, 0, 1)c2, где c1 + c2 = 0, и только они.

Нахождение собственных значений и собственных векторов: пример (3) Наконец, найдем собственные векторы, отвечающие собственному значению t2. Для этого надо найти все ненулевые решения однородной системы с основной матрицей A t2 E = A E. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:

Система линейных уравнений, соответствующая последней матрице, имеет одну свободную переменную, а именно x3. Полагая x3 = 1, находим вектор, образующий фундаментальную систему решений нашей однородной системы: f3 = (1, 0, 1, 0). Совокупность всех ее решений это множество всех векторов вида cf3, где c R. Ясно, что cf3 = 0 тогда и только тогда, когда c = 0. Таким образом, собственными векторами нашего оператора, отвечающими собственному значению t2, являются векторы вида (1, 0, 1, 0)c, где c = 0, и только они.

Операторы, приводимые к диагональному виду (1) В оставшейся части лекции изучаются операторы, матрица которых в некотором базисе устроена очень просто.

Определение Линейный оператор A, действующий в пространстве V, называется приводимым к диагональному виду, если существует базис пространства V, в котором матрица этого оператора диагональна. Такие операторы называются также операторами простой структуры.

Теорема Линейный оператор A в векторном пространстве V приводим к диагональному виду тогда и только тогда, когда в V существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица A оператора A в базисе y1, y2,..., yn является диагональной, т. е.

Операторы, приводимые к диагональному виду (2) Тогда по определению матрицы оператора в базисе A(y1 ) = t1 y1, A(y2 ) = t2 y2,..., A(yn ) = tn yn. В силу замечания 3 из лекции 8 векторы y1, y2,..., yn ненулевые. Следовательно, базис y1, y2,..., yn состоит из собственных векторов оператора A.

Достаточность. Предположим теперь, что базис y1, y2,..., yn пространства V состоит из собственных векторов оператора A, т. е. A(y1 ) = s1 y1, A(y2 ) = s2 y2,..., A(yn ) = sn yn для некоторых чисел s1, s2,..., sn. Тогда по определению матрицы оператора в базисе матрица оператора A в базисе Следовательно, оператор A приводим к диагональному виду.

Операторы, приводимые к диагональному виду (3) Из доказательства теоремы 3 непосредственно извлекается следующая информация, полезная при решении задач.

Если пространство имеет базис, состоящий из собственных векторов линейного оператора A, то матрица оператора A именно в этом базисе диагональна и на ее диагонали стоят собственные значения, причем каждое собственное значение стоит столько раз, сколько имеется относящихся к нему линейно независимых собственных если матрица линейного оператора A в некотором базисе диагональна, то именно этот базис состоит из собственных векторов Операторы, приводимые к диагональному виду (4) Следствие n-мерное векторное пространство, A этом пространстве, а A уравнение |A tE | = 0 имеет n различных действительных корней, то оператор A приводим к диагональному виду.





Доказательство. Пусть t1, t2,..., tn различные действительные корни уравнения |A tE | = 0. Они являются собственными значениями оператора A. Для каждого собственного значения ti зафиксируем собственный вектор yi относящийся к ti. По теореме 2 векторы y1, y2,..., yn линейно независимы. В силу замечания 8 из лекции 8 они образуют базис пространства V. Следовательно, по теореме 3 оператор A приводим к диагональному виду.

Применение операторов, приводимых к диагональному виду (1) Укажем класс задач, связанных с линейными операторами, решение которых существенно упрощается, если операторы приводимы к диагональному виду. Пусть в пространстве Rn в базисе y1, y2,..., yn линейный оператор A имеет матрицу A. Если обозначить через X и Y столбцы координат векторов x и A(x) в базисе y1, y2,..., yn соответственно, то, в силу замечания 3 из лекции 14, Y = AX. Если мы к вектору AX снова применим оператор A, то получим вектор A2 X, и т. д.

После k-кратного применения оператора A мы будем иметь вектор Ak X.

Обозначим через Ak оператор, соответствующий матрице Ak. Во многих приложениях надо знать поведение оператора Ak при k.

Для произвольной матрицы A даже третьего порядка вычислить Ak при произвольном k довольно сложно. Однако если A матрица диагонализируемого оператора A в некотором базисе F, то можно указать простую формулу для вычисления Ak. В самом деле, пусть G тот базис, в котором матрица оператора A диагональна, а именно имеет вид Применение операторов, приводимых к диагональному виду (2) Базис G и матрицу A можно считать известными, поскольку способ их нахождения указан после доказательства теоремы 3. Легко понять, что Обозначим через T матрицу перехода от базиса F к базису G. Ее также можно считать известной (алгоритм ее нахождения указан в лекции 8). В силу формулы (4) из лекции 14 A = T 1 AT. Умножая обе части этого равенства слева на T и справа на T 1, получаем, что A = TA T 1. Но тогда Итак, Ak = T (A )k T 1. Это и есть упоминавшаяся выше формула для вычисления Ak.

Операторы, приводимые к диагональному виду: первый пример В оставшейся части лекции мы на двух конкретных примерах рассмотрим следующую задачу: выяснить, приводим ли данный оператор к диагональному виду; если да найти базис, в котором матрица этого оператора диагональна, и саму эту диагональную матрицу. В дальнейшем мы будем формулировать эту задачу более кратко: привести оператор к диагональному виду.

Задача 1. Привести к диагональному виду оператор, заданный матрицей Как показано выше в данной лекции, этот оператор имеет два собственных значения: t1 = 0 и t2 = 1, первому из которых отвечают два линейно независимых собственных вектора f1 = ( 1, 0, 1, 0) и f2 = (0, 0, 0, 1), а второму один линейно независимый собственный вектор f3 = (1, 0, 1, 0). По теореме 2 векторы f1, f2 и f3 линейно независимы. Но добавить к ним еще один собственный вектор так, чтобы набор векторов остался линейно независимым, невозможно. Учитывая, что оператор действует в четырехмерном пространстве, получаем, что в пространстве нет базиса, состоящего из собственных векторов оператора.

По теореме 3 оператор не приводим к диагональному виду.

Операторы, приводимые к диагональному виду: второй пример (1) Задача 2. Привести к диагональному виду оператор, заданный матрицей Найдем характеристический многочлен этого оператора:

Следовательно, оператор имеет два собственных значения: t1 = 1 и Чтобы найти собственные векторы, отвечающие собственному значению t1, приведем к ступенчатому виду матрицу A E :

Соответствующая однородная система линейных уравнений имеет две свободных переменных x2 и x3, а ее фундаментальная система решений состоит из двух векторов f1 = (2, 1, 0) и f2 = (0, 0, 1).

Операторы, приводимые к диагональному виду: второй пример (2) Теперь найдем собственные векторы, отвечающие собственному значению t2. Для этого приведем к ступенчатому виду матрицу A + 2E :

Соответствующая однородная система линейных уравнений имеет одну свободную переменную x3, а ее фундаментальная система решений состоит из вектора f3 = (1, 1, 1).

По теореме 2 векторы f1, f2 и f3 линейно независимы. Поскольку оператор действует в трехмерном пространстве, эти векторы образуют его базис. В силу теоремы 3 наш оператор приводим к диагональному виду. Базис, в котором его матрица диагональна, состоит из векторов (2, 1, 0), (0, 0, 1) и (1, 1, 1), а сама матрица оператора в этом базисе имеет вид

Похожие работы:

«В. Н. Шивринский НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ Ульяновск 2012 УДК 629.7.05 (076) ББК 32я7 Ш 55 Рецензент доцент кафедры Электроснабжение энергетического факультета Ульяновского государственного технического университета кандидат технических наук А. Е. Усачев Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета Шивринский, В. Н. Ш 55 Навигационные системы летательных аппаратов : конспект лекций / В. Н. Шивринский. – Ульяновск : УлГТУ, 2012. – 148 с. Данное...»

«Лекция 5а Топологические пространства — 1 0. Открытые множества и окрестности Установим сначала одно простое, но важное утверждение, демонстрирующее то общее, что есть у понятия открытого множества в топологическом пространстве и его частного случая — открытого множества в метрическом пространстве. Напомним только прежде, что в топологическом пространстве открытыми называются в точности те множества, которые входят в топологию. Теорема 0. Для того чтобы множество в топологическом пространстве...»

«Лекция на тему: Платим налоги, когда и сколько НАЛОГ НА ДОХОДЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЛИЦ Налогоплательщиками являются две группы физических лиц: 1) налоговые резиденты — физические лица, фактически находящиеся на территории РФ более 183 дней в календарном году; 2) физические лица, не являющиеся налоговыми резидентами (нерезиденты), то есть фактически находящиеся на территории РФ менее 183 дней в календарном году. Объект налогообложения признается: 1) для налоговых резидентов — доход, полученный от...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра плодоводства ПЛОДОВОДСТВО Курс лекций для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 610600 Агрономия Часть 1 ВВЕДЕНИЕ. БИОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЛОДОВОДСТВА Краснодар 2010 УДК Г 278 Рецензенты: Гегечкори Б.С.,. Г278 Плодоводство: Курс лекций. Часть 1. Введение. Биологические...»

«ИСТОРИЯ НЕФТЕГАЗОВОЙ ОТРАСЛИ Лекция № 1 История нефти разворачивается на фоне трех великих процессов. Первый процесс - это подъем и развитие капитализма и современного бизнеса. Нефть - это самый крупный и распространенный бизнес в мире, величайшая из великих индустрий, которая возникла в последние десятилетия девятнадцатого века. Так в число двадцати ведущих корпораций мира входит семь нефтяных компаний. И пока не будет открыт альтернативный источник энергии, нефть будет попрежнему оказывать...»

«2/27/2014 Другая Россия. Очертания будущего Эдуард Лимонов Другая Россия. Очертания будущего О ГЛАВЛЕНИЕ Предисловие. I HAVE A DREAM. Лекция 1. Монстр с заплаканными глазами: семья. Лекция 2. Scooling: они украли у вас детство. Лекция 3. Самый угнетённый класс. Лекция 4. Всё начиналось с Китая. Лекция 5. Откуда берутся старухи? Лекция 6. Смесь Турции с Германией. Лекция 7. Трупный яд XIX века. Лекция 8. Маргиналы: активное меньшинство. Лекция 9. О чём стоит поразмышлять: рабочие. Лекция 10....»

«А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 1 1.1. Введение По-видимому, не существует единого общепринятого мнения о том, что такое функциональный анализ. Наиболее широкая точка зрения состоит в том, что основным предметом функционального анализа следует считать объекты, наделенные согласованными алгебраической и топологической структурами (цит. по А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, М.: Наука, 1988)1. В качестве простейшего примера рассмотрим хорошо...»

«Мы родились в глухом средневековье, В хибарах, прилепившихся к дворцу, И все питали преданность сыновью К тому, кто нас по горло залил кровью, К великому и мудрому творцу Из стихов знакомого филолога, эмигрировавшего в США 1975г Анатолия Либермана. ВВЕДЕНИЕ У меня никогда ранее не появлялось желания написать чтонибудь о себе. Я даже никогда не вел дневников. Кроме научных статей и двух сугубо специальных монографий я ничего публичного не писал. Пожалуй, основным инициатором написания этой...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет Юридический факультет Кафедра гражданского права и предпринимательской деятельности Автор: Попова Ольга Павловна ФОНДОВАЯ ЛЕКЦИЯ по ПРАВУ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ АВТОРСКОЕ ПРАВО Хабаровск 2012 2 ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Объекты авторского права 2. Субъекты авторского права 3. Срок действия...»

«Начало Название Ядро Литература Безопасность Определение ОС Примеры Компоненты ОС Лекция 1. Введение Операционные системы 10 сентября 2012 г. Лекция 1 1 / 31 Начало Название Ядро Литература Безопасность Определение ОС Примеры Компоненты ОС Список литературы Обзор Д. В. Иртегов. Введение в операционные системы. БХВ-Петербург, СПб., 2-е edition, 2008. В. Столлингс. Операционные системы: Пер. с англ. Вильямс, М., 4-е edition, 2004. Э. Таненбаум. Современные операционные системы: Пер. с англ....»

«МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР ЛЕНИНГРАДСКИЙ ИНСТИТУТ АВИАЦИОННОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ П. В. МАКОВЕЦКИЙ, В. Г. ВАСИЛЬЕВ ОТРАЖЕНИЕ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ Лекции ЛЕНИНГРАД 1975 2 Одобрено к печати Методической комиссией радиотехнического факультета УДК 621.396.96 В лекциях большое внимание уделено физической трактовке процессов отражения. Причём широко привлекаются изученные в физике методы геометрической и волновой оптики. Этим подчёркивается как преемственность...»

«1 Лекция № 1 КЛАССИФИКАЦИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 1 Общие принципы выбора конструкционного материала В процессе эксплуатации на изделие в целом и отдельные детали постоянно воздействуют различные внешние факторы: механические, химические, физические и др. Под действием этих воздействий в материале происходят определенные изменения, которые могут привести к ухудшению или полной потере его работоспособности. Характер и скорость этих процессов зависит от свойств материала, из которого...»

«Фридрих Вильгельм Йозеф Шеллинг. Лекции о методе университетского образования, 1803. Первая лекция Об абсолютном понятии Науки [фрагмент] Пожалуй, здесь будет уместно указать на те особенные причины, которые побудили меня к прочтению настоящих лекций. С другой стороны, представляется совершенно излишним слишком долго задерживаться на общих доказательствах необходимости лекций о методе университетского образования, что они не только нужны и полезны для обучающегося студента, но важны и...»

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФАРМАЦЕВТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ТЕХНОЛОГИИ ЛЕКАРСТВ ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫЕ И НЕСОВМЕСТИМЫЕ ПРОПИСИ В РЕЦЕПТАХ ЛЕКЦИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ФАРМАЦИЯ И КЛИНИЧЕСКАЯ ФАРМАЦИЯ Доцент кафедры технологии лекарств НФаУ, кандидат фармацевтических наук Соболева Валентина Алексеевна ПЛАН ЛЕКЦИИ ВВЕДЕНИЕ 1. Затруднительные прописи и пути их устранения 2. Случаи неправильного прописывания рецептов, поступающих в аптеки. Права и обязанности...»

«сoгЛACoBAIIo ЕP}ItДAIo rй кaфедpoй bwIЪTeTa / /TpyIrпсинB.A./ l,Ipyпкин B.A./,/ lт 20ТЗ r' 20|З г. PAБoЧАЯ ПPOГPAМMA ДИсЦиПЛинЬI (MoДyЛJI) ЭЛЕкTPOTЕхниЧЕскиЕ MATЕPиAЛЬI,.{исциплинa HaпpaвлеI{ие ПoДГoToBки 1 10800.62 AгpоиH}I(eIIеpия Пpoфиль ПoДГoToвки Электpooбopyдoв anИe и ЭЛекTpoTrхIIoЛoгии Квaлификaци'l (степeнь) Бaкaлaвр BЬIПyскIIикa HopмaтиBI{ЬIй сpoк 4 гoлa oбyvения Фopмa oбy.rения Oчнaя Кoличествo ЧacoB в m.ч. no Cел4есmpаJv| Bсeгo z 1 4 5 J oбщaя Tpy,цoеМкoсTЬ Дис. 4 шиплиньI. ЗЕT t44...»

«Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Основы ОТО Лекция 25 ЛЕКЦИЯ 25 Равенство инертной и гравитационной масс. Принцип эквивалентности. Искривление луча света в гравитационном поле. Изменение частоты света при движении в гравитационном поле. Равенство инертной и гравитационной масс Массу тела можно определить путем измерения испытываемого телом ускорения a под действием известной силы F F Mин =. (1) a Определяемая таким путем масса Mин известна под названием инертной массы. Массу можно также...»

«РЕВОЛЮЦИЯ ПРОРОКОВ Собрание философских работ и лекций Гейдара Джемаля ВОЛЯ К НЕБЫВШЕМУ (интервью) ТРАДИЦИОНАЛИЗМ И ПРОФАНИЗМ ТРАДИЦИЯ И РЕАЛЬНОСТЬ o Лекция № 1. Традиция как отношение к ноумену o Лекция № 2. Глобальная перцепция и последняя реальность o Лекция № 3. Профаны и жрецы o Лекция № 4. Кризис реальности o Лекция № 5. Традиция жрецов и традиция пророков o Лекция № 6. Традиция и революция o Лекция № 7. О принципах новой социологии o Лекция № 8. Зло и общество ОРИЕНТАЦИЯ - СЕВЕР ЗА...»

«ЛЕКЦИИ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ Лектор – С. А. Дзюба Текст: С.А. Дзюба, В.П. Замураев, А.П. Калинина Часть I. Молекулярно-кинетическая теория ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 1. Идеальный газ (2). Давление идеального газа (5). Температура и кинетическая энергия (7). Уравнение состояния идеального газа (10). Глава 2. Распределение Максвелла (12). Средняя, среднеквадратичная и наиболее вероятная скорости молекул (15). Молекулярные пучки (потоки) (16). Приложение: Интеграл Пуассона (18). Глава 3. Барометрическая...»

«2013.01.15. Йога Триада. Введение. Лекция 60. Итак, друзья, у нас сегодня 15 января 2013 года. Меня зовут Вадим Запорожцев, я преподаю йогу, со мной Александр Запорожцев тут сидит тоже. Это у нас лекции по Йоге Триаде, по Тантре Триаде. Вся информация на сайте opentantra.com, iogatriada.ru. Сегодня мы будем продолжать рассматривать тему Триады. И я сегодня хочу начать с чего? Я хочу начать с вопросов, которые, может быть, у кого-то возникают или возникли, чтобы мы их обсудили. Если есть...»

«Лекция 7. Вариационные методы. Метод Люстерника–Шнирельмана. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 6 ноября 2013 г. Корпусов Максим Олегович Лекция 7 Обозначения Пусть B — это вещественное и сепарабельное банахово пространство с сопряженным B*. Пусть, кроме того, C(2) (B; R1 ), т. е. функционал является дважды дифференцируемым по Фреше, причем вторая его производная () : B L(B; B* ) и, кроме того, является непрерывным отображением, т. е. () C(B; L(B; B*...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.