WWW.KONFERENCIYA.SELUK.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Конференции, лекции

 

Pages:   || 2 |

« MuHucrepcreo o6pasoranrrflu HayKI{Poccnficrcofi ( T EOYBIIO ! (I4PKYTCKI4IZ TNXTTTAqNCKIIIT TOCYAAPCTBEHHbIfr YHI,IBEPCI4TET> I{Hcruryr apxr{TeKTypbr crpol{TeflbcrBa rr ...»

-- [ Страница 1 ] --

a

@eAepaqun

MuHucrepcreo o6pasoranrrflu HayKI{Poccnficrcofi

( T EOYBIIO

!

(I4PKYTCKI4IZ TNXTTTAqNCKIIIT

TOCYAAPCTBEHHbIfr

YHI,IBEPCI4TET>

I{Hcruryr apxr{TeKTypbr crpol{TeflbcrBa

rr

MarepHaJoB crpoure.nrsofi ruexanuxn t{ KaSegpa cofiporrrB,'IeHIrfl YTBEPXNAK) llpope4rypno yve6nofipa6ore H.lI.KoHosaros 2 12 2013r.

TEXHI4IIECKA.fl MEXAHIIKA (pa6ouaryve6Harnporpavvaaucurnluru) Hanpan,renuerroAroroBKu 270800Crpoure,rrcrso :

Ilpo$u.nr noAroroBKH AsroMo6rarlgrre rqporu :

(crenenr): 6axarasp Kna.nuQurcaqun (Doprua o6yueuun:

Cocranure,rr rtporpaMMr'r:

Barepzfi Baczruen[q. K.r.H.,npo$eccop rade.[prr conporzgreHlaq Celaenos Marepuarog 14crpofireruHoi{ N4exaHI'IxI'I I4pr 0, изгибающий момент M алгебраически возрастает, то есть слева направо положите q 7 F D. На участках, где Q > 0, изгибающий момент M алгебраически возрастает, то есть слева направо полож M M Q Q Рис. Лекция 10. Нормальные и касательные напряжения в поперечном сечении балки. Элементы рационального проектирования.

При прямом поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент М и поперечная сила Q.

Расчетная практика показывает, что изгибающий момент в большинстве случаев имеет решающее значение при подборе сечения и проверке прочности балок.

Для выяснения характера распределения и значения напряжений, вызываемых изгибающим моментом, обратимся к случаю ч и с т о г о изгиба.

Нормальные напряжения при чистом изгибе При чистом изгибе в поперечных сечениях балки в результате действия нагрузок возникает только изгибающий момент.

М М dz а) б) Рис. 8. Прямоугольная сетка, нанесённая на поверхность балки до нагружения (рис.8.1,а), искажается в результате действия нагрузок (рис.8.1,б).

Поперечные линии, оставаясь прямыми, поворачиваются на некоторый угол;

продольные – превращаются в дуги, длина их изменяется (увеличивается или уменьшается). Есть линия, которая не изменяет своей длины (изображена штрихами). Она проходит через нейтральный слой. Основываясь на результатах экспериментов, предполагается:

- действует гипотеза плоских сечений;

- часть продольных волокон балки растягивается, часть – сжимается;

между растянутыми и сжатыми волокнами существует слой, который не изменяет своей длины (нейтральный слой). Пересечение нейтрального слоя с поперечным сечением образует нейтральную ось, которая проходит через центр тяжести поперечного сечения балки;

- продольные волокна балки не оказывают давление друг на друга.

Следовательно, при чистом изгибе продольные волокна испытывают чистое растяжение или сжатие. В поперечном сечении балки возникают только нормальные напряжения. В направлении перпендикулярном продольной оси балки напряжения отсутствуют.

При выводе формулы для определения напряжений используем интегральную зависимость между изгибающим моментом и напряжением Геометрическая часть. Рассмотрим деформацию произвольного продольного отрезка АВ малой величины dz. Участок балки до нагружения (рис.8.2, а) и после нагружения (рис.8.2, б). Угол поворота сечения d – малая величина. Дуга О1О – нейтральная линия радиусом. Длина отрезка АВ:

Физическая часть. Так как продольные волокна испытывают растяжение или сжатие, нормальные напряжения в поперечном сечении балки описываются законом Гука: = E. Используя выражения из геометрической и физической частей, получаем: = E. (2) Выражение (2) указывает на линейный закон распределения напряжений по высоте поперечного сечения (рис.8.2,в). По ширине поперечного сечения напряжения распределены равномерно. Поэтому чаще изображается эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении в виде плоского графика y dA = I X, получаем выражение кривизны нейтральной линии:

Величина EIX - жёсткость поперечного сечения при изгибе.

Выражение кривизны (3) вводим в (2) и после преобразований получаем выражение для определения напряжения в произвольной точке поперечного сечения: = ИЗ. Максимальное напряжение возникает в точках наиболее удалённых от нейтральной оси: МАХ = ИЗ МАХ = ИЗ, где X = W X – осевой момент сопротивления поперечного сечения.

Касательные напряжения в поперечном сечении балки В общем случае плоского (прямого) изгиба в поперечном сечении балки кроме изгибающего момента действует поперечная сила. Следовательно, кроме нормальных напряжений в сечении возникают и касательные напряжения. Касательные напряжения определяются по формуле

Q SX ОТС

Журавского:

момент относительно оси х части поперечного сечения, отсечённой на уровне точек, в которых определяется напряжение; I X - осевой момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси х; bY - ширина сечения на уровне точек, в которых определяется напряжение.

поперечного сечения на уровне обозначенных точек: bY = b. Статический момент относительно оси х части поперечного сечения, отсечённой на уровне точек, в которых определяется напряжение, – это статический момент заштрихованной части поперечного сечения. Заштрихованная площадь:

AОТС = b y. Координата центра тяжести заштрихованной площади:

yC = y = + = + y. Статический момент отсечённой части:

ОТС ОТС

По формуле Журавского получаем: = После преобразований выражение для определения касательного напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки имеет вид:



Получили параболическую зависимость от координаты у. Касательное напряжение в точках, наиболее удалённых от оси х: y =h / 2 = 0; y = h / 2 = 0.

Максимальное касательное напряжение возникает в точках нейтральной y=-h/2 и мах строится эпюра касательных напряжений (рис.8.3).

Прочность балок из пластичных материалов проверяется по опасному сечению, где изгибающий момент на эпюре достигает наибольшего значения независимо от знака.

Балоки из хрупких материалов рассчитываются по наибольшим значениям М с учетом знака. Расчет должен гарантировать прочность сжатой и растянутой зон. Поэтому условие прочности (3) распадается на два:

где Jx — момент инерции сечения относительно нейтральной оси;

yt и yc — расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных волокон соответственно растянутой и сжатой зон асимметричного сечения.

При знакопеременной эпюре моментов (рис. 25) минимальный (алгебраически) изгибающий момент может вызвать наибольшие по величине растягивающие напряжения (эпюра б) в менее развитой верхней зоне сечения, что необходимо учитывать при проектировании.

Подбор сечения упрощается, а рациональность использования материала повышается, если, для принимаемых конструктивно размеров полки и ширины ребра, задаться соотношением расстояний для крайних волокон пропорционально одноименным расчетным сопротивлениям.

Условие прочности по касательным напряжениям. Наибольшее касательное напряжение вычисляют по формуле Журавского в том сечении по длине балки, где возникает наибольшая по абсолютной величине поперечная сила Qmax, а по высоте сечения — в точках, расположенных на его нейтральной оси и сравнивают его с расчетным сопротивлением срезу Rs Это условие прочности применяется, в основном, для проверки прочности балки, но может использоваться для определения размеров поперечного сечения в коротких балках. Балка называется короткой, если её длина меньше пятикратного линейного размера поперечного сечения.

Лекция 11. Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Метод начальных параметров.

Наряду с проверкой на прочность материала балки проводится расчет ее на жесткость и с этой целью вычисляют прогибы и углы поворота сечений от действия нормативных нагрузок.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки, называют ее прогибом y в данной точке (рис.

40). Угол, на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению — есть угол поворота сечения.

Угол поворота сечения равен углу между касательной к данной точке изогнутой оси и первоначальной осью балки, а при малых угловых Угол считают положительным, если сечение поворачивается по ходу часовой стрелки.

Кривую (пунктирная на рис. 40) в которую обращается ось балки при упругой работе материала после приложения нагрузки, называют упругой линией. Максимальный прогиб балки называют стрелой прогиба – f.

Функционально-аналитическое определение перемещений при изгибе балок сводится к нахождению уравнения изогнутой оси или то же упругой линии. Существует несколько способов вычисления перемещений в балках.

Приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки постоянного сечения, которым пользуются в инженерной практике, имеет вид y — вторая производная от прогиба балки;

EJx — жесткость сечения балки;

M(z) — аналитическое выражение изгибающего момента на силовом участке балки, где определяют перемещения.

Знак «минус» перед моментом в формуле (17) согласован с принятой системой координат. При положительном направлении оси y вверх знаки изгибающего момента и второй производной совпадают.

После первого интегрирования получается уравнение углов поворота где С — произвольная постоянная интегрирования.

Второе интегрирование дает уравнение прогибов здесь D — вторая произвольная постоянная интегрирования.

В уравнениях (18) и (19) перемещения положительны, если прогибы совпадают с положительным направлением оси y, а поворот сечения происходит по ходу часовой стрелки.

Так как изгибающий момент М изменяется по силовым участкам балки, то дифференциальных уравнений (17) будет столько, сколько участков имеет балка. Следовательно, постоянных интегрирования С и D будет в два раза больше числа участков. Постоянные интегрирования определяются из граничных условий: условий сопряжения участков балок и условий закрепления балок на опорах.

Пример 1. Балка длиной l (рис. 41), лежащая на двух опорах загружена сосредоточенным моментом М на правой опоре. Найти уравнение изогнутой оси и определить максимальный прогиб в середине пролета.

Реакции VА и VВ найдены из уравнения равенства реактивного момента от опорных реакций и внешнего момента Балка имеет один участок. Изгибающий момент в произвольном сечении:

Составим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Проинтегрируем его дважды Граничные условия для свободно опертой балки откуда С = Мl/6. Подставляя С в формулу (20), найдем уравнение изогнутой Тогда максимальный прогиб в сечении при z = l/ Методом непосредственного интегрирования, рассмотренным выше, удобно пользоваться для определения перемещений в балке, имеющей минимальное число участков (один – два).

В общем случае, когда к балке приложена система нагрузок, делящих ее на n участков, для вычисления перемещений требуется составить n дифференциальных уравнений и определить 2n произвольных постоянных, то есть задача оказывается весьма трудоемкой. В таких случаях предпочтительнее пользоваться универсальным уравнением упругой линии (методом начальных параметров), составляемого для последнего (крайнего правого) участка балки.





При составлении универсального уравнения необходимо соблюдать следующие правила:

1. начало координат совмещают с крайней левой точкой балки и считают постоянным при составлении аналитических выражений изгибающего момента для всех участков балки;

2. при наличии сосредоточенного момента М его значение представлять в виде произведения М (z - a)0, где а — расстояние от начала координат до сечения, в котором этот момент приложен;

3. при действии на каком-либо участке балки распределенной нагрузки ее необходимо продолжить до конца балки и ввести точно такую же компенсирующую нагрузку;

4. интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки содержащего скобки, производить без раскрытия скобок.

Выполнение перечисленных условий позволяет ограничиться определением только двух постоянных интегрирования независимо от числа участков. Дифференциальное уравнение любого промежуточного участка может быть получено из универсального уравнения путем исключения слагаемых, которые содержат нагрузки, приложенные правее рассматриваемого участка.

Лекция 12. Определение перемещений методом Мора. Способ Верещагина.

н.с. большинстве случаев не требует точного построения длиной dz, деформированный вид которого представлен на рис. 44.

Примем условно левое поперечное сечение балки за неподвижное, тогда правое при изгибе повернется на угол d по отношению к левому.

Радиус кривизны нейтрального слоя связан с изгибающим моментом зависимостью Так как волокна на уровне нейтрального слоя не меняют своей длины, то можно записать, что dz = d и, следовательно, Полную энергию определим интегрированием по длине балки Формула (32) часто используется для определения потенциальной энергии балки и при поперечном изгибе, так как не учет поперечной силы приводит к ошибке не превышающей 2%.

Излагая суть энергетического метода Мора, условимся относительно обозначений. Перемещение какой-либо точки по определенному направлению от какой-либо группы сил, обозначается греческой буквой, а перемещение от силы, равной единице, — буквой. Кроме того, каждое из перемещений обозначается двумя индексами, например, k f, ki и т.п.

Первый индекс обозначает точку, для которой определяется перемещение и вместе с тем направление этого перемещения, а второй индекс определяет причину, вызвавшую данное перемещение.

Так, например, k f может обозначать перемещение по направлению силы Fk от нагрузки — какой-либо силы или группы сил, обозначаемой индексом f.

Под обозначением k i нужно понимать перемещение по направлению воздействия k от i-й единичной силы.

Такие обозначения обладают универсальностью, их можно понимать в обобщенном смысле как групповое перемещение, вызванное совокупностью воздействий.

Предположим, что требуется определить прогиб k f в точке k балки (рис.46) от силы F. Перемещение балки под силой F обозначим f f. Сила F на перемещении f f совершает работу W f, которая переходит в потенциальную энергию изгиба балки согласно выражению (32) Изменение изгибающего момента, как подынтегральной функции, по длине балки показано на эпюре M f (рис.46,а).

Рассмотрим теперь второе состояние балки, которое назовем вспомогательным или единичным состоянием. Свободную от заданной нагрузки балку загрузим единичной силой, в том сечении, где нас интересует прогиб k f.

(рис.46,в), которая вызовет дополнительный прогиб балки. Для упругих линейных систем справедлив принцип независимости действия сил. Поэтому дополнительные прогибы в точках k и F будут такими же, как и при первом загружении балки силой F (см. рис.46,а).

При этом работа силы F будет равна W f, а дополнительная работа силы F k = 1 окажется равной Wkf = 1 kf, так как при загружении силой F в процессе деформирования балки сила Fk = 1 оставалась постоянной.

Таким образом, при поочередном действии нагрузок Fk и F суммарная работа определится выражением Каждой из этих работ соответствует своя доля потенциальной энергии.

Общую потенциальную энергию найдем, загрузив балку сразу силами F и Fk = 1 одновременно, поскольку потенциальная энергия линейно деформированных систем не зависит от порядка приложения нагрузок. Тогда изгибающий момент будет равен M = M f + M k, а потенциальная энергия определится выражением или раскрывая скобки, получим Очевидно, что первый и второй интегралы соответствуют работе, которую совершили силы F и Fk = 1 при их отдельном воздействии на балку.

Тогда на долю третьего интеграла остается работа, которую совершает сила Fk = 1 при воздействии силы F на систему, уже нагруженную единичной силой. Таким образом Выражение (33) носит названия интеграла Мора. Оно позволяет определить искомое перемещение путем интегрирования. В подынтегральное выражение входят функции изгибающих моментов, полученные от заданной нагрузки и единичного загружения. При этом для отыскания линейного перемещения прикладывается единичная сила, а при определении угла поворота – «единичная пара», т.е. пара сил с моментом, M = 1.

С физической точки зрения интеграл Мора представляет собой работу единичной силы на перемещении точки ее приложения, вызванном реальной нагрузкой.

Для балок, включающих n силовых участков, следует пользоваться более общей формулой Мора Основным недостатком определения перемещений по методу Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций M k и M f.

Вычисление определенного интеграла в (34) выполняется всеми известными способами высшей математики, в том числе приближенными.

Однако если балка состоит из элементов с постоянной жесткостью сечений Ei I i, операцию интегрирования целесообразно упростить, воспользовавшись способом А.В. Верещагина.

Интеграл в (35), собственно интеграл Мора от произведения двух функций M f и M k, одна из которых линейна, можно представить символически и определить как «перемножение эпюр».

Положим, на участке от a до d (рис.47) нужно взять интеграл от произведения двух функций M f = f 1 (z ) и M k = f 2 (z ), при условии, что, по крайней мере, одна из этих функций – линейная. Пусть f 2 = b + kz. Тогда выражение (36) примет вид Первый из написанных интегралов представляет собой площадь, ограниченную кривой f 1 ( z ), т.е. площадь эпюры f 1 ( z ) Второй интеграл численно равен статическому моменту этой площади относительно оси ординат где z c - координата центра тяжести первой эпюры.

Приходим к выражению Величина, стоящая в скобках, представляет собой ординату линейной функции (эпюры M k ), соответствующую абсциссе zc под центром тяжести нелинейной эпюры (эпюры M f ).

Окончательно имеем следующую формулу Верещагина для определения перемещений от нагрузки Величина произведения с считается положительной, если обе эпюры одного знака, и отрицательной, если эпюры M f и M k разнозначны.

Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы.

Необходимо помнить, что ордината c берется обязательно с прямолинейной эпюрой. В частном случае, если обе эпюры прямолинейные, можно умножить площадь любой из них на соответствующую ординату другой.

Если фигура эпюры сложна, то есть для нее неизвестно положение центра тяжести, то для использования правила Верещагина ее разбивают на простые фигуры и результат получают как сумму произведения площадей простых фигур на соответствующие ординаты с другой эпюры.

Лекция 13. Анализ напряженно – деформированного состояния в точке тела. Виды напряженного состояния. Напряжения по наклонным площадкам.

Напряженное состояние в данной точке характеризуется совокупностью нормальных и касательных напряжений возникающих на всех площадках, которые можно провести через эту точку. В окрестностях точки выделим бесконечно малый элемент, имеющий форму параллелепипеда. По его граням действует напряжения, которые можно разложить по трем площадкам параллельным координатным осям. Эти напряжения называются компонентами напряженного состояния в данной точке. Причем zy = yz и т.д. Среди бесчисленного множества площадок, которые можно провести через данную точку, имеются три взаимно перпендикулярные, на которых касательные напряжения отсутствуют. Эти площадки называются главными, а напряжения на них называются главными напряжениями.

Главные напряжения обозначаются 1, 2, 3, причем должно выполняться алгебраическое неравенство 1 > 2 > 3, 1 - наибольшее напряжение, 3 - наименьшее напряжение. В зависимости от совокупности главных напряжений различают виды напряженного состояния:

1 0, 2 = 3 = 0 – линейное или одноосное напряженное состояние.

1 0, 2 0, 3 0 - объемное напряженное состояние (трехосное).

Определение напряжений в наклонных площадках при Л.Н.С.

1) В сечении перпендикулярном оси возникает нормальные напряжения, а касательные = 0.

2) Максимальные касательные напряжения возникают по площадкам 3) В плоскости параллельной оси стержня не возникают напряжения = 0, = 0. Продольные волокна при растяжении и сжатии друг с другом не взаимодействуют. Правило знаков: растяжения «+», сжатия «-», - «+» если оно стремится повернуть рассматриваемую часть элемента относительно любой точки, взятой внутри ее, по часовой стрелке. Угол а «+» против хода часовой стрелки.

+ = 1 - сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам есть величина постоянная и равная главным напряжениям.

Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по знаку =.

касательные напряжения. Площадки сдвига.

Определение напряжений в наклонных площадках при плоском напряженном состоянии.

Напряжение на второй взаимно перпендикулярной площадке:

площадкам есть величина постоянная и равна сумме главных напряжений.

сохранении и для плоского напряженного состояния.

Интерес представляют частные случаи нагружения пластины:

1) растяжение одинаковой интенсивности в обоих направлениях;

2) растяжение в одном направлении и сжатие такой же интенсивности в другом. Во втором случае При = 45°(или = 135°) обнаруживаем, что т.е. по площадкам с экстремальными касательными напряжениями нормальные напряжения отсутствуют, и, таким образом, возникает чистый сдвиг.

Решая, так называемую обратную задачу при известных напряжениях на произвольных площадках,, главные напряжения 1, 2 и угол наклона главных площадок 0, находят по следующим выражениям Лекция 15. Тензор деформаций. Главные деформации. Обобщенный закон Гука. Объемная деформация. Потенциальная энергия.

В общем случае нагружения деформированное состояние не однородно, то есть деформации в точках тела различны.

различным осям и в различных плоскостях, X деформированного состояния в точке. 2 XY Y нагруженного тела напряжённому состоянию можно представить тензором деформаций ТД:

X, Y, Z – линейные деформации в направлении осей х, у, z;

XY, YZ, XZ – углы сдвига в координатных плоскостях.

Через рассматриваемую точку всегда можно провести три взаимно перпендикулярных оси, в системе которых угловые деформации отсутствуют. Линейные деформации в направлении этих осей называются главными деформациями. Главные деформации обозначаются с цифровыми индексами: 1, 2, 3. В изотропном материале направление главных деформаций совпадает с направлением главных напряжений.

Согласно выражению закона Гука при осевом растяжении-сжатии продольная деформация а поперечная деформация Эти два равенства характеризуют зависимость между деформациями и напряжениями при линейном напряженном состоянии. В случае объемного напряженного состояния, когда по граням элементарного параллелепипеда действуют главные напряжения 1, 2, 3, на основании принципа суперпозиции можно записать поэтому, применяя формулы (3.23) и (3.24), получим Сложив эти величины, найдем Аналогично определяются и два других главных удлинения. Таким образом:

выражением обобщенного закона Гука для изотропного тела. В случае плоского напряженного состояния они упрощаются.

Если на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, обобщённый закон Гука записывается в следующей форме:

XY YZ ZX

Из обобщённого закона Гука видно, что линейные деформации зависят от нормальных, а угловые деформации – от касательных напряжений.

Объёмная деформация Объёмная деформация характеризуется относительным изменением изменение объёма. Подставив значения деформаций по обобщённому закону Гука, получим выражение относительного изменения объёма через напряжения: = Потенциальная энергия деформации Удельная потенциальная энергия в общем случае нагружения определяется следующим образом: u = 1 1 + 2 2 + 3 3.

Подставив в эту формулу выражения деформаций по обобщённому закону Гука, получим: u = Одна часть потенциальной энергии расходуется на изменение объёма, другая - на изменение формы: u=uОБ+uФ.

Удельная потенциальная энергия изменения формы:

Лекция 16. Теории предельных напряженных состояний материала. Расчет по теориям прочности.

Предельное состояние материала под нагрузкой характеризуется переходом в пластическую стадию или стадию разрушения в зависимости от его свойств. По опасным напряжениям устанавливают расчетное сопротивление материала растяжению Rt или сжатию R C, обеспечивая известный запас против наступления предельного состояния. Условие прочности при линейном напряженном состоянии имеет следующий вид:

В материале, находящимся в сложном напряженном состоянии, достижение предельного состояния происходит уже при наличии двух или всех трех главных напряжений 1, 2, 3, отличных от нуля. Вследствие неисчерпаемости всевозможных видов напряженного состояния число опытов, которые необходимо было бы провести для выявления опасных значений главных напряжений, также оказалось бы велико. Поэтому возникла необходимость оценивать предельное состояние при сложном нагружении, используя опыты (в том числе механические характеристики прочности материала) при растяжении, сжатии. Для этого вводится понятие эквивалентного напряжённого состояния и эквивалентное напряжение экв.

Это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце (рис.13.5,б), чтобы его напряженное состояние стало равноопасным (равнопрочным) с заданным напряженным состоянием (рис.13.5,а).

Предполагается, что два элемента считаются равнопрочными, если их коэффициенты запаса прочности одинаковы. Для сравнения различных напряженных состояний используют гипотезы (теории) прочности.

Согласно классическим теориям прочности определяется эквивалентное напряжение экв R. Расчеты по эквивалентному напряженному состоянию проверяются опытным путем, экв = f ( 1, 2, 3 ) = 1 теория прочности - критерий наибольших нормальных напряжений.

Критическое или опасное состояние материала наступает тогда, когда нормальное наибольшее напряжение достигает опасного значения. Согласно этой теории сложное напряженное состояние равноопасно с простым растяжением ( max = 1 ).

Из трех главных напряжений по этой теории учитывается только одно.

Условие прочности по первой теории прочности Для плоского напряженного состояния.

Эта теория дает достаточно удовлетворительный результат при расчете деталей из хрупких материалов. Начало разрушения пластических материалов, т.е. появление в них напряжений текучести, этой теорией не объясняется.

2 теория прочности - критерий наибольших линейных деформации.

Согласно этой теории материал разрушается тогда, когда наибольшая линейная деформация достигает опасного значения соответствующего линейному напряженному состоянию.

Для плоского напряженного состояния.

Для линейного напряженного состояния.

Эта теория дает хорошие результаты для хрупких материалов. Для пластичных ее не применяют (не подтверждается опытным путем).

3 теория прочности- критерий наибольших касательных напряжений.

Критическое или опасное состояние наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения, действующие в каком-либо сечении, достигают опасного значения соответствующего Л.Н.С.

Для плоского напряженного состояния max = Эта теория объясняет наступление пластического состояния, но не поясняет появления трещин. Она дает хороший результат для пластических материалов и используется в инженерных расчетах как одна из основных теорий прочности.

4 теория прочности – критерий удельной потенциальной энергии изменения формы (энергетическая).

Критическое или опасное состояние материала наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает опасного значения соответствующего линейному напряженному состоянию. uф u При линейном напряженном состоянии Для плоского напряженного состояния экв = 1 + 2 1 2 R Четвертая теория прочности применима для пластических материалов.

Лекция 17. Расчет статически неопределимых стержневых систем при растяжении – сжатии. Расчет по упругой стадии.

Под с т е р ж н е в о й с и с т е м о й, рассматриваемой в лекции, понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса, если элементы конструкции работают только на растяжение или сжатие.

Системы, в которых общее число неизвестных (реакции опор и внутренние усилия) превышает число независимых уравнений статики, называются статически неопределимыми.

Разность между числом неизвестных С и количеством уравнений равновесия статики У, действительных для рассматриваемой системы, называется степенью статической неопределимости:

Статически неопределимая система (СНС) имеет «лишние» связи. За «лишние» связи принимаются те, которые необходимо отбросить для получения статически определимой и геометрически неизменяемой системы.

Необходимо подчеркнуть, что лишними эти связи являются только в смысле обеспечения кинематической неизменяемости системы. Но в смысле прочности и надежности самой конструкции эти связи далеко не избыточные. В частности, чем больше таких связей, чем выше надежность конструкции.

Статически определимые системы, изображенные на рис. 14, не имеют ни одной лишней связи, удаление хотя бы одной связи превращает их в геометрически изменяемую систему, т.е. в механизм.

Рис. 14. Статически определимые стержневые системы Простота вычисления внутренних усилий в статически определимых системах обусловила широкое распространение этих систем в строительных конструкциях. Однако статически определимые системы имеют и свои недостатки, главным из которых является отсутствие резервирования при разрушении одного из элементов, что уменьшает надежность конструкции.

Системы, показанные на рис. 15, получены из статически определимых систем путем добавления одной связи (одного стержня). Легко убедиться, что определение усилий в стержнях из уровней статики стало невозможно – системы превратились в один раз статически неопределимые.

Брус ВС на рис. 14, 15 рассматривается как абсолютно жесткий недеформируемый элемент.

Отличительными свойствами СНС являются: более высокая жесткость, экономичность;

повышенная надежность (нарушение «лишних» связей превращает такие системы в статически определимые и не ведет к их немедленному разрушению);

зависимость распределения усилий в элементах от соотношения жесткостей;

чувствительность к кинематическим воздействиям (изменение температуры, смещение опор и неточность изготовления).

Для расчета прочности, жесткости и устойчивости статически неопределимой конструкции необходимо предварительно определить внутренние усилия в стержнях, т.е. раскрыть статическую неопределимость системы.

Смысл всех методов расчета статически неопределимых систем заключается в том, что помимо уравнений равновесия к решению задач необходимо привлекать и условия неразрывности деформаций элементов конструкций под действием нагрузки. Рассмотрим два наиболее простых – метод с использованием уравнений совместности деформаций и метод сил.

Раскрытие статической неопределимости стержневой системы с использованием уравнений совместности деформаций Предположим, что требуется подобрать сечения элементов для системы, состоящей из трех стержней, соединенных между собой шарнирно и нагруженных силой F. Стержни 1 и 3 сделаны из одинакового материала, при одинаковой площади поперечного сечения имеют равную жесткость Е1 А1= Е3 А3. Средний стержень 2 выполнен из другого материала, площадь его поперечного сечения А2 А1, модуль упругости Е2 Е1. Известны и длины стержней (рис. 16).

Расчет выполняется с использованием принципа неизменности начальных параметров по известной в сопротивлении материалов схеме.

Статическая сторона задачи. Устанавливается число неизвестных усилий. Используя метод сечений, мысленно отбрасываем верхнее закрепление и заменяем его действие неизвестными усилиями N1, N2 и N (рис. 16, б). Имеем два уравнения статики (Х = 0 и Y = 0), из которых первое в силу симметрии системы обращается в тождество N1 = N3, а второе дает следующее уравнение равновесия:

Разность между числом неизвестных усилий в стержнях и числом уравнений равновесия Л = С – У = 3 – 2 = 1 указывает на степень статической неопределимости – задача один раз статически неопределимая.

Требуется составить дополнительное уравнение.

Геометрическая сторона задачи.

усилия N1 стержень 1 удлинится на величину l1. Эта величина пока неизвестна, поэтому отложим ее произвольно от точки Н по направлению стержня 1. Отрезок НТ будет представлять в некотором масштабе величину l1. Для симметричной системы стержни 1 и 3 будут иметь одинаковое удлинение, то есть Откладываем на плане перемещений отрезок НK = l3 = l1. Но так как концы стержней, т.е. точки Т и K не должны быть разобщены, а должны сходиться в какой-то точке Н1, то новое положение узла получим, описав из точек В и D дуги ВТ и DK. В эту же точку должен прийти и конец стержня 2, точка Н переместится в положение Н1. Отрезок НН1 даст удлинение l2.

Таким образом, на плане перемещений отложен произвольно только отрезок НТ = l1, а отрезок НН1 получился при построении плана: первый его конец – в точке Н, а второй – на пересечении дуг ВТ и D K. Однако в связи с тем, что при растяжении в пределах упругости деформации весьма малы по сравнению с длинами стержней, дуги KН1 и ТН1 всегда заменяют перпендикулярными отрезками KН1 и ТН1. Из плана перемещений (см.

рис. 16, б) получим условие совместности деформаций, то есть Физическая сторона задачи. Закон Гука l = N l / EA позволяет связать абсолютные удлинения стержней l1 и l2 с искомыми усилиями N1 и N2, после чего уравнение (10) принимает вид Решая совместно систему уравнений (9) и (11), находят усилия в стержнях:

Сравнивая значения усилий в стержнях в формулах (12) и (13), отметим, что в статически неопределимых конструкциях, в отличие от статически определимых, распределение усилий в стержнях зависит не только от геометрических размеров, но и от соотношения жесткостей: чем больше жесткость элемента, тем большую часть нагрузки он способен воспринять. Эта особенность позволяет регулировать усилия в статически неопределимых системах путем соответствующего подбора материалов стержней и площадей поперечных сечений.

Напряжения в стержнях находят по выражениям С учетом формул (12) и (13) легко убедиться в том, что 1 2 и что в данной конструкции нельзя добиться равенства напряжений во всех стержнях. Если принять Е1 = Е2, то 2 > 1 = 3. При подборе сечений стержней по условию прочности только в среднем, наиболее нагруженном элементе материал может быть использован полностью 2 = R. В двух других элементах напряжения будут меньше расчетного сопротивления.

Оказывается, это свойство присуще не только рассматриваемой системе, но также всем статически неопределимым конструкциям, рассчитываемым по упругой стадии работы.

Лекция 18. Температурные напряжения. Монтажные напряжения и искусственное регулирование напряжений. Суммарные напряжения.

Определение температурных напряжений в стержнях статически неопределимой системы, сечение которых подобрано из расчета на действие полезной нагрузки, при соотношении площадей, А2 = 2А1 = 11,8 см2.

стержень нагревается до 30°.

Коэффициент линейного стали = 1,25· °С-1.

удлинился бы на величину Однако такому удлинению (рис. 15) будет препятствовать, посредством жесткого бруса BCD, стержень 2. В результате, в первом стержне появятся сжимающие напряжения, а во – втором - растягивающие.

Направления внутренних температурных усилий в стержнях всегда согласованы со схемой деформаций стержней.

Используем только одно уравнение равновесия статики Недостающее уравнение, связывающее неизвестные усилия в стержнях, получим из рассмотрения условия совместности деформаций. Треугольники ВСС1 и ВDD1 подобны, тогда Выразим деформации в уравнении (4) по закону Гука через усилия Решая систему уравнений (3) и (5), получаем После подстановки в последнее выражение всех величин в основных единицах системы СИ получаем Подставляя этот результат в уравнение (3) Положительные значения найденных внутренних усилий подтверждают правильность направления усилий - стержень 1 сжат, стержень 2 растянут. Температурные напряжения в стержнях:

Монтажные напряжения и искусственное регулирование напряжений.

В статически неопределимой системе кроме напряжений, вызываемых нагрузкой, возможны также самонапряжения, не связанные с нагрузкой и не исчезающие после снятия последней. Такие напряжения называются остаточными (или начальными) и могут быть вызваны искусственной деформацией элементов, например путем их нагрева или натяжки при сборке конструкций (в случае, когда эти напряжения возникают вследствие неточности изготовления элементов конструкции, их называют монтажными).

С помощью предварительного напряжения элементов статически неопределимой системы можно добиться более равномерного распределения напряжений и создать для работы конструкции в стадии упругой деформации наиболее благоприятные условия. Предварительное напряжение оказывается целесообразным в элементах конструкции, не воспринимающей сжатие (фермы из тросов, гибкие нити) или растяжение (бетон железобетонных конструкций, каменная кладка и пр.). Этим приемом можно исключить возникновение растягивающих напряжений в бетоне, например, в нижнем поясе фермы или балки.

Следует подчеркнуть, что в статически определимых системах начальные напряжения существовать не могут.

Определим напряжения, возникающие при сборке системы, рассчитываемой выше. Длина стержня 2 меньше номинального размера на Для выяснения направления сил, которые возникают в стержнях при сборке системы, предположим, что сборку осуществили, растянув стержень на 2. Когда растянутый стержень 2 был шарниром соединен с жестким брусом и внешняя нагрузка удалена (используется принцип независимости действия сил), стержень в силу своей упругости поднял точку С бруса, повернув брус вокруг шарнира В и вызвал сжатие стержня 1. Полностью восстановить свою первоначальную длину стержень 2 не может - этому препятствует стержень 1, следовательно, стержень 2 остается растянутым на l2 < 2. Стержень 1 при этом сжат. На рис. 16 дано положение бруса после сборки системы, все перемещения показаны весьма преувеличенными.

Усилия в стержнях строго согласованы со схемой деформаций. Ограничимся одним уравнением статики, связывающим два неизвестных усилия, mB = Деформации в уравнении (7) выразим по закону Гука через усилия Откуда усилие N или после преобразований N 1 = 8,596 10 4 2,001 N 2.

Подставляя этот результат в уравнение (6), находим монтажное усилие Монтажные напряжения в стержнях:

в растянутом стержне Суммарные напряжения в стержнях от совместного действия внешних факторов (нагрузки, температуры и неточности изготовления) определяются как алгебраическая сумма составляющих, не должны превосходить расчетного сопротивления:

Лекция 19.

предельного равновесия), элементы рационального проектирования простейших систем.

Строительные нормы и правила рекомендуют рассчитывать статически неопределимые системы, выполняемые из пластичных сталей, с учетом неупругих деформаций материала по методу предельного равновесия.

Рассматриваемый метод, являясь одним из прикладных методов теории пластичности, дает ряд преимуществ перед расчетом конструкций по упругой стадии деформации и позволяет использовать резервы прочности, заложенные в упругопластической стадии их работы.

Основоположниками метода являются российские ученые (1936 г.):

А.А. Гвоздев, А.Р. Ржаницин, Н.И. Безухов.

Если при расчете по упругой стадии предельное состояние системы отождествлялось с моментом перехода наиболее нагруженного стержня в пластическую стадию, то в методе предельного равновесия предельное состояние конструкций из материалов, имеющих хорошо выраженные пластические свойства, характеризуется началом интенсивного развития деформаций системы без увеличения нагрузки, т.е. моментом превращения конструкций в геометрически изменяемую систему с бесконечно малой степенью подвижности (условия малых деформаций сохраняются, что предопределяет возможность расчета несущей способности по недеформируемой схеме).

Для реализации указанного метода необходимо, чтобы:

- материал имел хорошие пластические свойства; относительное удлинение при разрыве r должно быть не менее 4 %;

- процесс деформирования, вплоть до состояния предельного равновесия, включал в себя определенный участок работы системы за пределом упругой области, то есть чтобы появление первого пластического элемента не приводило конструкцию к потере геометрической неизменяемости.

Первое требование исключает возможность применения метода предельного равновесия к расчету конструкций, материал которых или недостаточно пластичен, или вовсе хрупкий.

Второе требование указывает на то, что расчеты по предельному равновесию дают результаты, отличные от расчетов по упругой стадии, только для статически неопределимых систем.

Действительно, статически определимые конструкции приобретают свойство геометрической изменяемости после возникновения уже одного пластического элемента. Момент перехода к состоянию предельного равновесия для них совпадает с концом упругой стадии; упругопластическая стадия работы в таких конструкциях отсутствует.

В противоположность этому в статически неопределимых системах появление пластического элемента приводит лишь к уменьшению статической неопределимости на одну степень, но отнюдь не к исчерпанию ее несущей способности. Система продолжает оставаться геометрически неизменяемой и способной воспринимать дополнительную нагрузку, в процессе роста которой происходит так называемое перераспределение усилий. Оно выражается в том, что после того, как в одном, наиболее напряженном элементе возникло предельное усилие текучести (неизменное в последующем), прирост нагрузки на конструкцию воспринимается за счет увеличения напряжений в других ее элементах, продолжающих до известного предела работать упруго. Состояние предельного равновесия система достигнет в момент превращения ее в геометрически изменяемую при заметно больших значениях нагрузки.

При расчете конструкций за пределом упругости по предложению проф.

Л. Прандтля используют упрощенную диаграмму зависимости между напряжениями и продольными деформациями –. Считают, что материал следует закону Гука до предела текучести, а, достигнув его, неограниченно деформируется при постоянном напряжении. Такая диаграмма называется обычно диаграммой работы упругопластического тела, или диаграммой Прандтля (рис. 24).

Идеализация Прандтля (неучет упрочнения и разупрочнения материала) оказывается возможной вследствие того, что в момент достижения предельного состояния для большинства конструкций наибольшие относительные деформации не выходят за пределы площадки текучести.

Кроме того, расчеты по методу предельного равновесия подтверждаются многочисленными опытами, поскольку лучше отражают действительную работу строительных конструкций, чем расчеты конструкций как чисто упругих систем.

Рис. 24. Диаграмма растяжения (сжатия) Л. Прандтля Рассмотрим пример, иллюстрирующий некоторые из высказанных выше соображений.

Представим себе конструкцию (рис. 25), состоящую из абсолютно жесткого диска, подвешенного на двух различной длины стержнях из одинакового упругопластического материала, деформируемых согласно диаграмме Прандтля. Будем полагать, что жесткий диск по мере увеличения нагрузки F может перемещаться только параллельно самому себе.

возникновения состояния предельного равновесия.

Предположим вначале, что l2 < l1, вследствие чего с увеличением нагрузки F напряжение в стержне 2 будет расти быстрее, чем в стержне 1. В результате предельное усилие N2u и соответствующее ему напряжение текучести у возникнут сначала в стержне 2, а стержень 1 будет продолжать работать в упругой стадии с некоторым напряжением 1 < у. Момент, соответствующий возникновению пластической деформации в стержне (первый пластический элемент), является концом упругой работы, или предельным состоянием системы при расчете ее по упругой стадии.

Предельная нагрузка, вызывающая такое состояние при одинаковых площадях поперечных сечений А стержней:

Рис. 25. Деформации СНС при увеличении нагрузки Величина перемещения жесткого диска в конце упругой стадии работы системы равняется упругому удлинению стержня 2, то есть а соответствующее этому перемещению напряжение в стержне С учетом формулы (37) предельная нагрузка для статически неопределимой системы, рассчитываемой по упругой стадии, может быть определена по выражению Отметим, что если бы материал для стержня 2 был бы хрупким, величина Fu явилась бы уже разрушающей нагрузкой, следовательно, конструкция смогла бы работать только в упругой стадии. Результаты расчета по методу предельного равновесия не отличались бы от данных, полученных при расчете системы как упругой. Несущая способность системы, исходя из упругой работы материала, определяется по выражению (38) при замене предельного сопротивления u = у на расчетное сопротивление:

В рассматриваемой задаче после достижения нагрузкой значения F eu разрушения не происходит. С окончанием упругой работы в стержне устанавливается постоянное предельное усилие N2u= у А, и система становится статически определимой. При дальнейшем увеличении нагрузки F и перемещении жесткого диска вниз деформации этого стержня являются уже чисто пластическими, а вся дополнительная нагрузка воспринимается только стержнем 1, работающим еще в упругой стадии.

Приращение силы F возможно до тех пор, пока усилие в стержне 1 также не достигнет предельной величины N1u = у A. Предельная нагрузка для системы в состоянии текучести обоих стержней может быть определена из рассмотрения равновесия – момента, когда конструкция находится в состоянии неустойчивого равновесия и может становиться геометрически изменяемой без увеличения внешней нагрузки:

Экспериментальная проверка предельной несущей способности статически неопределимых систем подтвердила близкое совпадение ее с данными расчетов по методу предельного равновесия.

Выше предполагалось, что l2 / l1< 1; для обратного соотношения длин, то есть при l1 < l2 (меняется последовательность перехода стержней в пластическое состояние) формула (39), определяющая предельную несущую способность, сохраняется без изменения, а выражение (38) принимает вид Из сказанного вытекает, что несущая способность статически неопределимой конструкции не зависит от последовательности образования пластических элементов, однако изменение соотношения жесткости стержней меняет значение нагрузки, вызывающей образование первого и последнего пластического элемента, следовательно, влияет на деформативность системы.

Завершая изложение основ расчета статически неопределимых систем, отметим, что учет температурных напряжений, начальных (монтажных) напряжений, равно как и осадки опор в методе расчета по предельному равновесию, излишен. Поскольку еще в предшествующий состоянию предельного равновесия момент система становится статически определимой, для которой указанные воздействия влияния не оказывают.

Обеспечение требований (бесконечно малая степень подвижности, неразрушимость статически неопределимых конструкций, проектируемых по методу предельного равновесия) достигается ограничением величин максимальных усилий (напряжений) в стержнях системы, то есть Тогда условие обеспечения несущей способности жесткого диска, подвешенного на двух стержнях, можно записать в виде Выражение (39) используется только при определении теоретического значения предельной несущей способности Fu и при проведении экспериментальных исследований стадии разрушения.

Условие (41) позволяет:

1) решить проектировочную задачу, найти требуемое значение площади поперечного сечения стержней:

2) проверить прочность заданной системы по выражению (41);

3) вычислить несущую способность конструкции, определяемую по правой части условия Экономичность расчетов по методу предельного равновесия Расчет по методу предельного равновесия позволяет вскрыть резервы прочности конструкций за счет пластических свойств материалов, остающихся вне поля зрения методологии расчета упругих систем. В результате расчеты по предельному равновесию могут приводить к более или менее значительной экономии материалов.

Экономичность метода зависит от очень многих факторов, в числе которых наиболее важную роль играют степень статической неопределимости, схема передачи нагрузок, деформативные свойства, возможность возникновения неупругих деформаций. Поэтому дать количественную оценку степени экономичности можно только для конкретной конструкции. Ограничимся при выяснении экономичности метода анализом результатов расчета жесткого диска, удерживаемого на двух стержнях (см. рис. 25).

Установим величину превышения предельной нагрузки F u, определенной для конструкции по методу предельного равновесия над таковой Fu, вычисленной на основании расчета системы по упругой стадии работы. Для чего строим график отношения F u / Fu как функции от l2 / l (рис. 26), где на участке 0 l2 / l1 1 при определении Fu использовано выражение (38), а на участке 1 l2 / l1 – выражение (40). Значение F u, не зависящее от порядка возникновения пластических элементов, определяется на всем протяжении графика по формуле (39).

Fupl График свидетельствует о том, что во всех случаях, при которых конструкция является статически неопределимой (при l2 / l1 1), предельная несущая способность, подсчитанная с учетом упругопластической работы материала, до двух раз превышает вычисленную по упругой стадии. При этом превышение оказывается тем больше, чем значительнее в упругой стадии разница напряжений в обоих стержнях конструкции. Несущая способность при l2 / l1 = 1 по обоим методам расчета оказывается одинаковой; это объясняется тем, что при l2 = l1 система становится статически определимой. Последнее обуславливает одновременное возникновение пластических элементов в стержнях 1 и 2, из-за чего ее несущая способность исчерпывается уже в конце упругой стадии, пластические свойства остаются неиспользованными.

Необходимо подчеркнуть, что экономический эффект от расчета статически неопределимых систем с учетом перераспределения усилий не исчерпывается лишь снижением расхода материалов. Метод предельного равновесия позволяет шире осуществлять унификацию и стандартизацию конструкций, ее узлов сопряжений.

Лекция 21. Метод сил. Расчет простейших статически неопределимых систем по методу сил. Канонические уравнения метода сил.

Определение перемещений методом Мора. Правило Верещагина Решение сформулированной в заглавии задачи необходимо не только для оценки жесткости конструкций. На основе определения перемещений разработаны общие методы расчета статически неопределимых систем, об одном из них – методе сил – будет сказано ниже.

Немецкий ученый Отто Мор предложил общий энергетический метод определения перемещений при любых видах деформаций для стержней любого очертания и переменной жесткости, основанный на известном из теоретической механики принципе возможных перемещений.

Для удобства изложения метода Мора для стержневых систем условимся относительно обозначений. Перемещение какой-либо точки по определенному направлению от какой-либо группы сил, а также от любого вынужденного изменения (смещения опоры, неточности изготовления или температурного воздействия) обозначается греческой буквой, а перемещение от силы, равной единице, – буквой. Кроме того, каждое из перемещений обозначается двумя индексами, например kf, kt, ki и т.п.

Первый индекс обозначает точку, для которой определяется перемещение и вместе с тем направление этого перемещения, второй определяет причину, вызвавшую данное перемещение.

Так, например, kf может обозначать перемещение по направлению силы Fk от нагрузки – какой-либо силы (или группы сил), обозначаемой индексом F.

Перемещение по направлению силы Fk от температуры, соответственно, следует обозначать kt. Под обозначением ki нужно понимать перемещение по направлению воздействия k от i-й единичной силы.

Такие обозначения отличаются универсальностью, их можно понимать как групповое перемещение, вызванное совокупностью воздействий.

Согласно принципу возможных перемещений применительно к упругодеформируемым системам, находящимся в положении равновесия, работа всех сил на любых малых возможных (в пределах упругого деформирования материала) перемещениях равна нулю, то есть Здесь первое слагаемое представляет собой работу внешних сил на заданных возможных перемещениях, а второе – работу внутренних сил также на возможных перемещениях внутренних частиц тела.

Из равенства (14) следует, что Возможная работа внешних сил равна по абсолютной величине и противоположна по знаку возможной работе внутренних сил.

При выводе общей формулы перемещений рассмотрим два состояния какого-либо статически определимого стержня (рис. 17). Положим, что действительное состояние стержня, которое назовем состоянием m, характеризуется действием группы внешних сил Fi и qi, вынужденным удлинением (вследствие смещения опоры или неточности изготовления) 0 и приращением температуры tm. Требуется определить перемещение правого торца стержня – точки K. Другое состояние стержня k, которое назовем вспомогательным (или единичным), характеризуется тем, что в сечении, где нужно определить перемещение и по направлению искомого перемещения, прикладывается единичная (безразмерная) сила Fk = 1.

Все перемещения при этом будем считать малыми, допускающими применение принципа независимости действия сил.

Для получения общей формулы возможной работы исследуем равновесие единичного состояния k. В качестве возможных перемещений примем перемещения, которые произойдут вследствие деформации, и перемещения произвольного малого элемента длиной dz действительного состояния m. Предположим, что перемещение (dz)m вызвано группой внешних сил, приращением температуры и наличием абсолютного перемещения.

Для рассматриваемого случая формула (14) имеет вид Первое слагаемое в формуле (15) – элементарная (возможная) работа внешней единичной силы Fk на перемещениях элемента dz, созданных действующими силами и иными причинами действительного состояния m.

Второе слагаемое – элементарная (возможная) работа внутренней силы N k, вызванной силой Fk на тех же перемещениях.

Рис. 17. Состояние системы m (а) и k (б) при определении перемещений Поскольку возможное перемещение элемента dz определяется как сумма трех слагаемых (dz)f + (dz)t+0, элементарную работу внутренней силы можно представить как Работа внутренних сил всегда отрицательная, так как направление перемещений совпадает с направлением внешних воздействий и противоположно реактивным внутренним усилиям.

Удлинение элемента dz от:

группы внешних сил по закону Гука температурных воздействий – коэффициент линейного расширения;

где t – приращение температуры по модулю.

Выражая из формулы (15) перемещение dkm c учетом зависимостей (16)-(18), имеем:

Это перемещение возникает вследствие деформации и перемещения одного малого элемента dz. Для учета деформаций всего стержня необходимо проинтегрировать выражение (19), тогда искомое перемещение Для систем, включающих n силовых участков или состоящих из ряда стержней, следует пользоваться более общей формулой Мора:

В шарнирно-стержневых системах, в которых стержни работают на нормальные силы, обычно не меняющие своей величины, формулу (20) можно упростить:

lt = t li – свободное температурное удлинение i–го стержня.

где Основным недостатком определения перемещений по методу Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций первого «грузового» члена формулы (20) N k и Nf:

Вычисление определенного интеграла в формуле (22) выполняется всеми известными способами высшей математики, в том числе приближенными.

Однако если стержневая система состоит из элементов с постоянной жесткостью сечений Еi Ai, операцию интегрирования целесообразно упростить, воспользовавшись способом А.В. Верещагина:

Интеграл в выражении (23), собственно интеграл Мора от произведения двух функций N k и Nf, одна из которых линейна, можно представить символически:

и определить как «перемножение эпюр».

Величина, стоящая в скобках, представляет собой ординату линейной функции (эпюры N k ), соответствующую абсциссе zc под центром тяжести нелинейной эпюры (эпюры Nf).

Введя обозначение ординаты b + k z с = с, получаем:

определения перемещений от нагрузки:

– площадь эпюры N f, а с - ордината линейной эпюры N k под где центром тяжести эпюры N k Величина произведения с считается положительной, если обе эпюры одного знака, и отрицательной, если эпюры Nf и N k разнозначны.

Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы.

Необходимо помнить, что ордината с берется обязательно с прямолинейной эпюры. В частном случае, если обе эпюры прямолинейные, можно умножить площадь любой из них на соответствующую ординату другой.

Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил Ранее отмечалось, что для определения усилий в статически неопределимых системах дополнительно к уравнениям статики составляются так называемые уравнения совместности деформаций. Каждая «лишняя»

связь, создавая статическую неопределимость, дает в то же время условие для составления одного недостающего уравнения.

В общем случае сечения деформируемой системы совершают перемещения (линейные и угловые). Однако есть сечения, которые составляют исключение из этого правила: это – сечения, к которым приложены связи. Связь ограничивает подвижность сечения в том или ином отношении независимо от условий нагружения. Например, шарнирнонеподвижная опора В (жесткая связь) (см. рис. 14), приложенная к левому концу бруса, предопределяет неподвижность левого сечения в горизонтальном и вертикальном направлениях, не препятствуя его повороту;

упругая вертикальная связь CD позволяет утверждать, что точка С (поперечное сечение С) переместится по вертикали ровно настолько, насколько изменится длина связи. Иначе говоря, в первом случае горизонтальное и вертикальное перемещение точки В равно нулю, во втором вертикальное перемещение точки С равно удлинению связи CD.

Сказанное относится, конечно, и к «лишним» связям: перемещения сечений, к которым приложены «лишние» связи, по направлению этих связей или равны нулю (жесткие связи), или равны деформациям этих связей (упругие связи). Но если податливую связь не выбрасывать, а разрезать и неизвестные ее усилия прикладывать в разрезе в виде двух равных и противоположных друг другу сил, то взаимное перемещение разрезанных частей связи будет всегда равно нулю.

В дальнейшем для упругих «лишних» связей («лишних» стержней конструкции) будем использовать только прием их разрезания, что обеспечит единство физического смысла уравнений метода сил, отрицающих перемещения (включая и взаимные) по направлению прерванных (по общепринятой терминологии «отброшенных») связей.

Приступая к непосредственному изложению сути расчета методом сил, отметим, что при раскрытии статической неопределимости необходимо придерживаться соответствующей последовательности действий.

1. По формуле (8) определяется степень статической неопределимости системы (т.е. число лишних связей).

2. Выбирается основная система, которая получается из данной системы после удаления (разрезания) лишних связей и заданной нагрузки.

3. Удаленные связи заменяются неизвестными усилиями Xi.

4. При использовании принципа независимости действия сил основная система (всегда статически определимая и геометрически неизменяемая) загружается неизвестными усилиями в прерванных связях и заданной нагрузкой.

5. Для эквивалентности основной системы с исходной неизвестные усилия подбираются так, чтобы деформация основной системы (точнее перемещения) от суммарного действия усилий Xi, нагрузки и других внешних воздействий не отличалась от деформаций заданной статически неопределимой системы. Для этого приравнивают к нулю перемещения точек приложения неизвестных усилий по направлению их действия. Из полученных уравнений определяются значения лишних неизвестных.

Определять перемещения соответствующих точек основной системы можно любым способом, но лучше всего энергетическим методом Мора или способом Верещагина.

6. После определения лишних неизвестных искомые внутренние усилия в элементах заданной системы находятся по принципу независимости действия сил как сумма значений усилий в основной системе от каждого неизвестного со значениями усилий от заданной нагрузки. В случае необходимости строится эпюра нормальных сил.

Подбор сечений и проверка прочности производятся в обычном порядке.

В указанном способе раскрытия статической неопределимости неизвестными оказываются силы. Отсюда название метода – «метод сил».

Рассмотрим на конкретных примерах выбор основной системы для конструкций, приведенных выше.

Рис. 19. Расчетная схема и выбор основной системы методом сил (ОСМС) Например, для системы из трех сходящихся в одном узле стержней (рис.

19, а), можно предложить основные системы (рис. 19, б и 19, в), которые получены путем разрезания одной из трех упругих связей – разрезания одного из стержней. Основная система (рис. 19, г) получена отбрасыванием жесткой вертикальной связи.

Для системы, включающей жесткий брус (рис. 20, а), можно также предложить несколько основных схем (20, б, в, г), которые получены путем прерывания одной «лишней» связи.

При выборе лишних связей необходимо следить за тем, чтобы получаемая путем отбрасывания «лишних» связей система оставалась уравновешенной при любом нагружении.

Канонические уравнения метода сил. Дополнительные уравнения перемещений, выражающие равенство нулю перемещений по направлениям лишних неизвестных, удобно составлять по определенной закономерности, в так называемой канонической форме.

На рис. 21, а приведена один раз статически неопределимая симметричная система. В качестве лишней связи принимаем вертикальный стержень 3, что позволит при сохранении общей симметрии упростить последующие расчеты. Загружаем основную систему (рис. 21, б) лишней неизвестной силой Х1 и заданной нагрузкой (рис. 21, в), тогда полное взаимное перемещение прерванной связи основной системы по направлению Х1 выразится как Здесь 1х1 – перемещение от силы Х1; 1f – перемещение от заданной нагрузки.

Рис. 21. Расчет статически неопределимой стержневой системы Если согласно методу Мора 11 – перемещение по направлению Х1 от силы X = 1, то 1х1 = 11 Х1; тогда уравнение (25) примет вид Это каноническая форма уравнения перемещений для один раз статически неопределимой системы.

По аналогии можно записать в канонической форме уравнения перемещений для любой п раз статически неопределимой системы:

Каждое уравнение системы (27) выражает условие равенства нулю взаимного перемещения по направлению любой из п прерванных (разрезанных) связей от суммарного действия «лишних» неизвестных и заданной нагрузки.

Единичные i k и грузовые перемещения if, входящие в систему уравнений (27), находят на основе общей формулы Мора (20):

а при постоянстве нормальных сил по длине стержней – с использованием выражения (21):

Как отмечалось выше, искомые перемещения могут быть определены и путем перемножения эпюр по правилу Верещагина. Индексы коэффициентов ik и if показывают номера эпюр, которые надо перемножить при вычислении данного коэффициента канонического уравнения.

Единичные перемещения, имеющие одинаковые индексы и называемые главными коэффициентами, определяются как а для шарнирно-стержневых систем при Ni = const по длине стержней – как Главные перемещения всегда положительны.

Единичные перемещения (28), имеющие неодинаковые индексы, называются побочными коэффициентами; могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

На основании теоремы о взаимности перемещений Напомним, что перемножение эпюр по правилу Верещагина производят по формулам где i – площадь одной из перемножаемых эпюр;

сi – ордината с другой перемножаемой фигуры, обязательно линейной, соответственно под центром тяжести площади i.

После определения коэффициентов i k и свободных членов if из системы канонических уравнений (27) находят значения лишних неизвестных усилий Х1, Х2, …, Хn. Достигается раскрытие статической неопределимости системы; в дальнейшем возможен ее расчет как статически определимой, если загрузить систему заданной нагрузкой и «лишними»

неизвестными. Усилие в любом элементе на основании принципа независимости действия сил вычисляется по формуле Иногда строят окончательную эпюру нормальных сил методом сложения эпюр N1, N 2,K, N n, умноженных на соответствующие значения Х1, Х2, …, Хn, и эпюры Nf.

Расчет статически неопределимых систем на действие температуры.

Выше отмечалось, что при изменении температуры в статически неопределимых системах возникают температурные усилия (напряжения).

Расчет на действие температуры ведется аналогично расчету на внешнюю нагрузку. Сначала выбирают основную систему, разрезая лишние связи и заменяя их действие неизвестными усилиями. Затем составляют уравнения, выражающие условие равенства нулю суммарных взаимных перемещений по направлению прерванных связей.

Канонические уравнения на действие температуры будут отличаться от уравнений (27) только свободными членами. Свободные члены if заменяются членами it, представляющими собой температурные перемещения в основной системе по направлению разрезных связей.

Тогда канонические уравнения метода сил на действие температуры будут иметь вид

K KKKKKKKKKKKKKKKK

Здесь коэффициенты канонических уравнений ik имеют такие же значения, что и при расчете на действие внешней нагрузки.

Температурные перемещения it определяют по общему методу Мора с использованием выражений (20) и (21):

Температурные усилия в каждом стержне заданной системы подсчитывают по формуле (32) с заменой последнего слагаемого Nf на Nt.

Начальные напряжения и предварительно напряженные конструкции. В статически неопределимой системе кроме напряжений, вызываемых нагрузкой, возможны также самонапряжения, не связанные с нагрузкой и не исчезающие после снятия последней. Такие напряжения называются остаточными (или начальными) и могут быть вызваны искусственной деформацией элементов, например путем их нагрева или натяжки при сборке конструкций (в случае, когда эти напряжения возникают вследствие неточности изготовления элементов конструкции, их называют монтажными).

С помощью предварительного напряжения элементов статически неопределимой системы можно добиться более равномерного распределения напряжений и создать для работы конструкции в стадии упругой деформации наиболее благоприятные условия. Предварительное напряжение оказывается целесообразным в элементах конструкции, не воспринимающей сжатие (фермы из тросов, гибкие нити) или растяжение (бетон железобетонных конструкций, каменная кладка и пр.). Этим приемом можно исключить возникновение растягивающих напряжений в бетоне, например, в нижнем поясе фермы или балки.

Следует подчеркнуть, что в статически определимых системах начальные напряжения существовать не могут.

При расчете начальных напряжений по методу сил основную систему получают только разрезанием (но не выбрасыванием) связей. Это дает возможность всегда записывать канонические уравнения в знакомом виде, а именно:

Здесь i0 – перемещение в основной системе по направлению прерванной i-й связи, возникающее от несовпадения длин стержней с их номинальными проектными значениями.

Рис. 22. Расчетная схема (а) и варианты ОСМС (б, в) геометрических соображений или формулы Мора (20):

N i – усилие в стержнях от Х 1 = 1 в основной системе.

где Чтобы уяснить применение формулы перемещений от несовпадения длин стержней («от начальных напряжений»), рассмотрим один раз статически неопределимую систему – жесткий брус с шарнирным закреплением левой опоры поддерживается двумя параллельными стержнями, правый стержень выполнен длиннее номинала на величину (рис. 22).

Основную систему первый раз получим, разрезав первый стержень.

Усилие в левом стержне от силы Х 1 = 1 показано на рис. 22, б.

Перемещение в основной системе по направлению прерванной связи ТD Если же основную систему выбрать путем разрезания левой связи (рис. 22, в), то перемещение по направлению разрезанной связи СK Начальные (предварительные, до приложения нагрузки) усилия в стержнях определяются по выражению а начальные напряжения – как Лекция 21. Сдвиг. Расчет соединений, соединений.



Pages:   || 2 |
Похожие работы:

«ЛЕКЦИЯ 2 БЕЗОТХОДНЫЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ ТВЕРДЫХ ГОРЮЧИХ ИСКОПАЕМЫХ 1.3. Охрана окружающей среды в коксохимическом производстве В существующих технологических процессах подготовки и коксования угля, улавливания и переработки химических продуктов образуются отходы, количество которых составляет (в % от массы сухой угольной шихты): выбросы в атмосферу (пыль, углеводороды, оксиды углерода, серы и азота и т.п.) – 0,7–0,8; фенолсодержащие...»

«Математика в высшем образовании 2004 №2 АРХИВ НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО МАТЕМАТИКЕ В РОССИИ О МЕСТЕ ЛЕКЦИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБРАЗОВАНИИ Б. В. Гнеденко Своими мыслями о роли лекции в процессе обучения студентов делится крупнейший математик России Борис Владимирович Гнеденко. Ключевые слова: лекция по высшей математике, методические, этические, нравственные аспекты. О ФОРМАХ ВУЗОВСКОГО ОБУЧЕНИЯ Поиски новых путей обучения в вузе и совершенствование старых, достаточно хорошо разработанных,...»

«История религий. Лекция 18 Мезоамерика Мацих: Пантеон богов коренных жителей Америки вобрал в себя всю печать самого чудовищного варварства, которое у азиатских и европейских народов, видимо, тоже когда-то было, но очень давно уже отмерло. И самым красноречивым свидетельством этого чудовищного архаизма являются, конечно, человеческие жертвоприношения, которые все, без исключения, эти народы практиковали. Это у них было общим местом. Почему они считали, что боги требуют человеческих жертв,...»

«КРАСНОДАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВА ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Частной методики преподавания учебной дисциплины Организация дорожного движения с курсантами очной формы обучения по специальности 030505 65 Правоохранительная деятельность Специализация - административная деятельность органов внутренних дел (профиль подготовки - Государственная инспекция безопасности дорожного движения) Составитель О.В. Шкеля Краснодар КрУ МВД России 2010 УДК 342. ББК...»

«В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ Л. Е. ГРИНИН ТЕОРИЯ, МЕТОДОЛОГИЯ И ФИЛОСОФИЯ ИСТОРИИ: ОЧЕРКИ РАЗВИТИЯ ИСТОРИЧЕСКОЙ МЫСЛИ ОТ ДРЕВНОСТИ ДО СЕРЕДИНЫ XIX ВЕКА * Лекция 1. ДРЕВНИЙ ВОСТОК Вводные замечания. До того, как возникла историография с собственной методологией, и тем более философия и теория истории, историческая мысль прошла длительный путь. Тем не менее элементы методологии, часто теории, а также философии истории всегда явно или скрыто присутствуют в сколько-нибудь связном историческом описании....»

«КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Филиал КФУ в г.Чистополе АНТОНОВ В.Н. ОРГАНИЗАЦИЯ АВТОМОБИЛЬНЫХ ПЕРЕВОЗОК И БЕЗОПАСНОСТЬ ДВИЖЕНИЯ Конспект лекций Казань – 2013 Антонов В.Н. Организация автомобильных перевозок и безопасность движения: Конспект лекций / Антонов В.Н., Каз.федер.ун-т. – Казань - 2013. – 83 с. В предлагаемых лекциях изучаются вопросы организации автомобильных перевозок и безопасности движения. Приведены основные положения и способы по организации автомобильных перевозок и...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка ЛЕКЦИИ по аналитической химии Минск 2011 Содержание ЛЕКЦИЯ № 1. ПРЕДМЕТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ЛЕКЦИЯ №2.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ. ПОНЯТИЕ О ХИМИЧЕКОМ РАВНОВЕСИИ ЛЕКЦИЯ №3. РАВНОВЕСИЯ РЕАКЦИЙ КОМПЛЕКСООБРАЗОВАНИЯ. 10 ЛЕКЦИЯ №7. ТИТРИМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛЕКЦИЯ №8. КОМПЛЕКСОНОМЕТРИЧЕСКОЕ И...»

«1. Цели подготовки Цель – ознакомиться с современными тенденциями развития технологий и средств технического обслуживания в сельском хозяйстве, изучить технологические основы инновационных методов ремонта и методы оценки эффективности их применения. Целями подготовки аспиранта, в соответствии с существующим законодательством, являются: • формирование навыков самостоятельной научно-исследовательской и педагогической деятельности; • углубленное изучение теоретических и методологических основ в...»

«Докладчики Родриго Эссампшио С декабря 2008 года г-н Родриго Эссампшио является Президентом Компании Dataprev, занимающейся проектированием информационно-компьютерного обеспечения для решения социальных задач Правительства Бразилии, Ранее он занимал должность pаместителя Секретаря по вопросам материально-технического обеспечения и информационных технологий в Министерстве бюджетного планирования и управления при Правительстве Бразилии, на которую был назначен в 2003 году. До того как возглавить...»

«УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе _Зарубина А.И. РАСПИСАНИЕ учебных занятий для студентов заочного отделения Вологодского института бизнеса на период летнй сессии с 13.01.2014г. по 06.02.2014г. 36-Ф, 66-Ф 46-Ф 36-Б, 46-Б, 66-Б недели День Дата № Время занятий дисциплина (26 чел.) ауд. дисциплина (39 чел.) ауд. дисциплина (30 чел.) ауд. 14.00 Организационное собрание актовый зал Кооперативнего колледжа Управленческий анализ в отраслях понедельник Финансовое планирование и бюджетирование...»

«2011.12.20. Йога Триада. Лекция 26. Краткое содержание: как возникает влюбленность с позиции аксиоматики йоги. Вторая стадия влюбленности и третья стадия влюбленности, как заслуженная влюбленность. Почему влюбленные со временем охладевают друг к другу, вплоть до полного безразличия? И почему так важно сохранить семью, а не менять одного партнера на другого. Йога триады предлагает довольно смелые практики, помогающие вернуть влюбленность, но уже на другом, качественно новом уровне. Что делать,...»

«2012.02.14. Йога Триада. Введение. Лекция 32. Итак друзья у нас сегодня 14 февраля 2012 года. Меня зовут Вадим Запорожце, я преподаю йогу. Это у нас лекции по йоге Триаде- йоге влюбленности, Тантра йоге, йоге союза. Для площадки единомышленников изучающих эти йоги. То есть для всех тех кто изучает взаимоотношения мужчины и женщины в свете теории йоги. Вся архивная информация, записи прошлых лекций, расписание занятий семинаров и прочее, связанное с Триадой находится на сайте:...»

«Формирование системы инновационного Образования в МГУ им.М.В.Ломоносова Новые материалы и химические технологии СОВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ Академик Ю.Д.Третьяков Профессора Е.А.Гудилин А.Р.Кауль А.В.Шевельков Лекция 8. Магнетики 1 Магнитные материалы -Основы теории магнетизма, типы магнитных материалов. -Магнитомягкие и магнитожесткие материалы. -Пути повышения магнитной энергии материалов. -Магнитодиэлектрики (ферриты). -Новые магнитоактивные композиты и материалы для магнитной...»

«1. Цели подготовки Цель – изучить современные и перспективные технологии механизации сельского хозяйства, приемы и способы применения технических средств при производстве сельскохозяйственной продукции. Освоить конструктивнотехнологические схемы, методы расчета и обоснования параметров средств механизации, обеспечивающих высокую производительность при наименьших затратах ресурсов с одновременным повышением плодородия почвы и улучшением окружающей среды. Целями подготовки аспиранта, в...»

«ПОНЯТИЕ КАНОНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. КРИТЕРИЙ КАНОНИЧНОСТИ, ВЫРАЖЕННЫЙ ЧЕРЕЗ МАТРИЦУ ЯКОБИ1 А.П.Маркеев 1. Введение. Пусть движение материальной системы с n степенями свободы описывается каноническими уравнениями dqi H dpi H = =,, i = 1, 2,., n, (1.1) dt pi dt qi где H = H(q1, q2,., qn, p1, p1,., pn, t) функция Гамильтона. При анализе и интегрировании дифференциальных уравнений (1.1), как и всяких других, очень важен удачный выбор переменных. Например, если для задания движения...»

«Павел Юрьевич Смирнов Мировая экономика. Шпаргалки Шпаргалки. Мировая экономика / Сост. П. Ю. Смирнов: АСТ; Сова; Москва; СПб.; 2009 ISBN 978-5-17-061060-0, 978-5-226-01228-0 Аннотация В книге кратко изложены ответы на основные вопросы темы Мировая экономика. Издание поможет систематизировать знания, полученные на лекциях и семинарах, подготовиться к сдаче экзамена или зачета. Пособие адресовано студентам высших и средних образовательных учреждений, а также всем, интересующимся данной...»

«МОСКОВСКАЯ Г О С УД А Р С Т В Е Н Н А Я К О Н С Е Р В АТО Р И Я П. И. ЧАЙКОВСКОГО ИМЕНИ Ю. А. Фортунатов Лекции по истории оркестровых стилей Воспоминания о Ю. А. Фортунатове МОСКВА 2004 УДК 78.021+78.072+781.63 Составление, расшифровка текста лекций, примечания Е. И. Гординой Редакторы — Е. И. Гордина, О. В. Лосева Фортунатов Ю. А. Лекции по истории оркестровых стилей. Воспоминания о Ю. А. Фортунатове / Сост., расшифровка текста лекций, примеч. Е. И. Гординой. Ред. Е. И. Гордина, О. В. Лосева....»

«Ю.А. Чаповский Лекции по дифференциальным уравнениям Группы: КА 15–16 II курс, семестр 4 Киев 2013 c Ю.А. Чаповский Оглавление 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 4 1.1 Общие сведения...................... 5 1.1.1 Скалярные дифференциальные уравнения... 5 1.1.2 Симметричная форма ДУ............. 9 1.2 Задача Коши........................ 12 1.2.1 Определение. Примеры............... 12 1.2.2 Теорема Пеано....»

«Лидия Владимировна Щербина История экономики: конспект лекций Лидия Владимировна Щербина Конспект лекций соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Доступность и краткость изложения позволяют быстро и легко получить основные знания по предмету, подготовиться и успешно сдать зачет и экзамен. Рассматриваются общие вопросы возникновения экономики и ее развития в разные периоды времени, сущность экономики, ее значение, особенности...»

«1 УДК 631.145 ББК 65.26 Г - 49 Страховые операции в торговле: Учебно - методический комплекс для студентов специальности 080401.65 Товароведение и экспертиза товаров / Гусарова О. Р.,- Димитровград, Технологический институт- филиал ФГОУ ВПО Ульяновская ГСХА, 2008.- 29 с. В учебно – методическом комплексе дана тематика лекций и семинарских занятий, задачи, вопросы для итоговой аттестации студентов, а так же примерные тесты. Рецензент: к.э.н., зав. кафедрой Экономика и АХД Технологического...»









 
2014 www.konferenciya.seluk.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Конференции, лекции»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.